模型28 阿基米德折弦定理（原卷版）(1)

【问题呈现】 阿基米德 ，公元前 公元前212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数 学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M B C A D M B C A D F 【证明方法】 方法1:补短法 如图，延长DB 至F，使BF=B ∵M 是 的中点 ∴∠M= M= MB M ∠ ∠ ∵ 、B、、四点共圆 ∴∠M+ MB=180° ∠ MB+ MBF=180° MB= MBF MB=MB,BF=B MBF MB ∵∠ ∠ ∴∠ ∠ ∵ ∴△ ≌△ F= MB= MB MF=M ∴∠ ∠ ∠ ∴ MD F D=DF=DB+BF=B+BD ∵ ⊥ ∴ 方法2:截长法 如图，在D 上截取DG=DB ∵MD⊥BG ∴MB=MG，∠MGB=∠MB=∠M ∵M 是 的中点 ∴∠M=∠M=∠MGB 模型介绍 即∠MGB=∠MB+∠B=∠MB+∠BM 又∠MGB=∠MB+∠GM ∴∠BM=∠GM ∵M=M ∴△MB≌△MG(SS) ∴B=G ∴D=G+GD=B+BD M B C A D G 方法3:垂线法 如图，作M⊥射线B，垂足为。 ∵M 是 的中点 ∴M=M ∵MD⊥B ∴∠MD=90°=∠ ∵∠MB=∠MB ∴△M≌△MD(S) ∴=D，M=MD 又∵MB=MB ∴Rt△MB≌Rt△MDB(L) ∴B=BD ∴D==B+B=B+BD H M B C A D G 【例1】．已知M 是 的中点，B 为 上任意一点，B 不与、M 重合，且MD⊥B 于D． BD＝2，D＝6，求B 的长． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图， 是劣弧，M 是 的中点，B 为 上任意一点．自M 向B 弦引垂 线，垂足为D，求证：B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE⊥B 交△B 的 外接圆于E，连接E，则∠E＝ °． 【例2】．如图，，B 是⊙的两条弦，M 是 的中点，作MF⊥，垂足为F，若B＝ ， ＝3，则F＝ ． 【变式2-1】．如图，△B 内接于⊙，＞B，点D 为 的中点．求证：D2＝•B+D2． 【变式2-2】．如图，△B 内接于⊙，B＝2，B＝，点D 为 上的动点，且s∠B＝ ． （1）求B 的长度； （2）在点D 的运动过程中，弦D 的延长线交B 延长线于点E，问D•E 的值是否变化？ 若不变，请求出D•E 的值；若变化，请说明理由； （3）在点D 的运动过程中，过点作⊥BD，求证：B＝D+D． 1．如图，在边长为8 的正方形BD 中，E、F 分别是边B、B 上的动点，且EF＝6，M 为EF 中点，P 是边D 上的一个动点，则P+PM 的最小值是（ ） ．10 B．8 3 ﹣ ．6 +3 D．3 +5 2．在△B 中，＞B，M 是它的外接圆上弧B 的中点，上的点X 使得MX⊥，＝10，X＝3，则 B＝ ． 3．如图，矩形BD 中，D＝12，B＝8，E 是B 上一点，且EB＝3，F 是B 上一动点，若将 △EBF 沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为 ． 4．如图，在边长为 的等边△B 中，动点D，E 分别在B，边上，且保持E＝D，连接 BE，D，相交于点P，则P 的最小值为 ． 5．已知：如图，在△B 中，D 为边上一点，且D＝D+B．过D 作的垂线交△B 的外接圆于 M，过M 作B 的垂线M，交圆于．求证：M 为△B 外接圆的直径． 6．如图，在⊙中，B＝，点D 是 上一动点（点D 不与、B 重合），连接D、DB、D， ∠B＝120°． （1）若＝4，求⊙的半径； （2）写出D、DB、D 之间的关系，并证明． 7．如图，⊙是等边△B 的外接圆，P 是 上一点， （1）填空：∠P＝ 度，∠BP＝ 度； （2）若⊙的半径为4，求等边△B 的面积； （3）求证：P+PB＝P． 8．已知、B、、D 是⊙上的四点， ，是四边形BD 的对角线 （1）如图1，连接BD，若∠DB＝60°，求证：是∠DB 的平分线； （2）如图2，过点D 作DE⊥，垂足为E，若＝7，B＝5，求线段E 的长度． 9．阅读理解：如图1，B 和B 是⊙的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦），B＞B，点M 是 弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即D＝B+BD．下面是 运用“截长法”证明D＝B+BD 的部分证明过程． 证明：如图2，在B 上截取G＝B，连接M，MB，M 和MG．∴M 是弧B 的中点，∴M＝ M……． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知等腰△B 内接于⊙，B＝＝4，B＝3，点D 为弧上一点，∠BD＝45°， E⊥BD 于点E，△BD 的周长为 （直接写出结果） 10．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙中，是劣弧B 的中点， 直线D⊥B 于点E，则E＝BE．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P， PB 组成⊙的一条折弦．是劣弧B 的中点，直线D⊥P 于点E，则E＝PE+PB．可以通过 延长DB、P 相交于点F，再连接D 证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，P，PB 组成⊙的一条折弦，若是优弧B 的中点，直线D⊥P 于点E，则 E，PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 11．在⊙中 ＝ ，顺次连接、B、． （1）如图1，若点M 是 的中点，且M∥交B 延长线于点，求证：M 为⊙的切线； （2）如图2，在（1）的条件下，连接M，过点作P⊥BM 于点P，若BP＝，MP＝b，M ＝，则、b、有何数量关系？ （3）如图3，当∠B＝60°时，E 是B 延长线上一点，D 是线段B 上一点，且BD＝E，若 BE＝5，△EF 的周长为9，请求出S△EF的值？ 12．如图1，在平面直角坐标系xy 中，⊙M 与x 轴交于，B 两点，与y 轴于，D 两点，其中 （﹣4，0），B（1，0），（0，2）． （1）求圆心M 的坐标； （2）点P 为 上任意一点（不与、D 重合），连接P，PD，作E⊥DP 的延长线于点 E．当点P 在 上运动时， 的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变化，请 说明理由． （3）如图2，若点Q 为直线y＝﹣1 上一个动点，连接Q，Q，当s∠Q 的值最大时，求 点Q 的坐标． 13．【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，B 和B 是⊙的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦），B＞B，点M 是 的中点， 则从M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即D＝DB+B．下面是运用“截长法” 证明D＝DB+B 的部分证明过程． 证明：如图2，在D 上截取G＝B，连接M、MB、M 和MG． ∵M 是 的中点， ∴M＝M① 又∵∠＝∠② ∴△MB≌△MG③ ∴MB＝MG 又∵MD⊥B ∴BD＝DG ∴B+BD＝G+DG 即D＝DB+B 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ② ， ② ， ③ ； 【理解运用】如图1，B、B 是⊙的两条弦，B＝4，B＝6，点M 是 的中点，MD⊥B 于点D，则BD＝ ； 【变式探究】如图3，若点M 是 的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断D、 DB、B 之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，B 是⊙的直径，点圆上一定点，点D 圆上一动点，且满足∠D＝45°，若B＝6， ⊙的半径为5，求D 长． 14．先阅读命题及证明思路，再解答下列问题． 命题：如图1，在正方形BD 中，已知：∠EF＝45°，角的两边E、F 分别与B、D 相交于 点E、F，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 证明思路： 如图2，将△BE 绕点逆时针旋转90°至△DE′．∵B＝D，∠BD＝90°，∴B 与D 重合．∵∠D ＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，点F、D、E′是一条直线． 根据SS，得证△EF≌△E′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF． （1）特例应用 如图1，命题中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形BD 的边长． （2）类比变式 如图3，在正方形BD 中，已知∠EF＝45°，角的两边E、F 分别与B、D 的延长线相交于 点E、F，连接EF．写出EF、BE、DF 之间的关系式，并证明你的结论． （3）拓展深入 如图4，在⊙中，B、D 是⊙的弦，且B＝D，M、是⊙上的两点，∠M＝ ∠BD． ①如图5，连接MB、MD，MD 与交于点，求证：M＝BM+D，DM⊥； ②若点在 （点不与点、D、、M 重合）上，连接B、D 分别交线段M、或其延长线 于点E、F，直接写出EF、BE、DF 之间的等式关系．