模型28 阿基米德折弦定理（解析版）(1)

【问题呈现】 阿基米德 ，公元前 公元前212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数 学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M B C A D M B C A D F 【证明方法】 方法1:补短法 如图，延长DB 至F，使BF=B ∵M 是 的中点 ∴∠M= M= MB M ∠ ∠ ∵ 、B、、四点共圆 ∴∠M+ MB=180° ∠ MB+ MBF=180° MB= MBF MB=MB,BF=B MBF MB ∵∠ ∠ ∴∠ ∠ ∵ ∴△ ≌△ F= MB= MB MF=M ∴∠ ∠ ∠ ∴ MD F D=DF=DB+BF=B+BD ∵ ⊥ ∴ 方法2:截长法 如图，在D 上截取DG=DB ∵MD⊥BG ∴MB=MG，∠MGB=∠MB=∠M ∵M 是 的中点 ∴∠M=∠M=∠MGB 模型介绍 即∠MGB=∠MB+∠B=∠MB+∠BM 又∠MGB=∠MB+∠GM ∴∠BM=∠GM ∵M=M ∴△MB≌△MG(SS) ∴B=G ∴D=G+GD=B+BD M B C A D G 方法3:垂线法 如图，作M⊥射线B，垂足为。 ∵M 是 的中点 ∴M=M ∵MD⊥B ∴∠MD=90°=∠ ∵∠MB=∠MB ∴△M≌△MD(S) ∴=D，M=MD 又∵MB=MB ∴Rt△MB≌Rt△MDB(L) ∴B=BD ∴D==B+B=B+BD H M B C A D G 【例1】．已知M 是 的中点，B 为 上任意一点，B 不与、M 重合，且MD⊥B 于D． BD＝2，D＝6，求B 的长． 例题精讲 解：延长B 至E，使BE＝B，连接ME，M，MB，M，， ∵M 是 的中点， ∴∠M＝∠BM，M＝M， ∵∠BM+∠M＝∠EBM+∠BM＝180°， ∴∠BM＝∠EBM， 在△BM 和△EBM 中， B＝EB，∠BM＝∠EBM，BM＝BM， ∴△BM≌△EBM（SS）， ∴M＝EM， ∴EM＝M， ∵MD⊥E， ∴ED＝D＝6， ∵BD＝2， ∴B＝EB＝ED﹣BD＝6 2 ﹣＝4． 变式训练 【变式1-1】．如图， 是劣弧，M 是 的中点，B 为 上任意一点．自M 向B 弦引垂 线，垂足为D，求证：B+BD＝D． 证明：在D 上取点，使＝B，连接M，M ∵M 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴M＝M（等弧对等弦）， 又∵∠BM＝∠BM， 在△BM 和△M 中， ， ∴△BM≌△M（SS）， ∴BM＝M， ∴△BM 为等腰三角形（B 为底）， 又∵MD⊥B， ∴D 为B 中点（等腰三角形三线合一）， ∴BD＝D ∴B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE⊥B 交△B 的 外接圆于E，连接E，则∠E＝ 60 °． 解：如图2，连接、、E， ∵B＝8，B＝6，BD＝1， ∴D＝7，BD+B＝7， ∴D＝BD+B， 而ED⊥B， ∴点E 为弧B 的中点，即弧E＝弧E， ∴∠E＝∠E， ∵∠＝2∠B＝2×60°＝120°， ∴∠E＝∠E＝120°， ∴∠E＝ ∠E＝60°． 故答为60°． 【例2】．如图，，B 是⊙的两条弦，M 是 的中点，作MF⊥，垂足为F，若B＝ ， ＝3，则F＝ ． 解：如图，作直径M，延长MF 交⊙于K，作⊥于，连接K，K，，设交M 于T，M 交B 于R． ∵ ＝ ，M 是直径， ∴M⊥B，∵MF⊥， ∴∠RT＝∠MFT＝90°， ∵∠MTF＝∠TR， ∴∠B＝∠FMT， ∴ ＝ ， ∴B＝K＝ ， ∵M 是直径， ∴∠MK＝90°， ∴∠MK＝∠MFT， ∴∥K， ∴∠K＝∠K， ∴ ＝ ， ∴＝K， ∵∠＝∠KF＝90°，＝FK， Rt Rt ∴ △≌ △KF（L）， ∴＝F， ∵四边形KF 是矩形， ∴K＝F＝ ， ∴＝ （﹣F）＝ （3﹣ ）， ∴F＝+F＝ ． 解法二：连接M，BM．M，在上截取G，使得G＝B． ∵ ＝ ， ∴M＝BM． ∵∠＝∠B，G＝B， ∴△GM≌△BM（SS）， ∴MG＝M，G＝B＝ ， ∴G＝﹣G＝3﹣ ， ∵MG＝M，MF⊥G， ∴GF＝F＝ ， ∴F＝G+FG＝ 故答为： ． 变式训练 【变式2-1】．如图，△B 内接于⊙，＞B，点D 为 的中点．求证：D2＝•B+D2． 证明：如图，过点D 作DE⊥． 垂足为点E， D2﹣D2＝（E2+DE2）﹣（DE2+E2） ＝E2﹣E2， ＝（E+E）（E﹣E） ＝（E﹣E），① 过点D 作DF⊥B，交B 的延长线于点F．连接BD， ∵D 为弧B 的中点， ∴D＝BD， ∵∠D＝∠DB，∠DE＝∠DFB＝90°， Rt ∴ △ED Rt ≌ △BFD， ∴E＝BF，② DE＝DF， ∵∠DE＝∠DF＝90°，D＝D， Rt ∴ △ED Rt ≌ △FD， ∴E＝F③ 综合式①、②、③，得：D2﹣D2＝（BF﹣F）＝•B， 即：D2＝•B+D2． 【变式2-2】．如图，△B 内接于⊙，B＝2，B＝，点D 为 上的动点，且s∠B＝ ． （1）求B 的长度； （2）在点D 的运动过程中，弦D 的延长线交B 延长线于点E，问D•E 的值是否变化？ 若不变，请求出D•E 的值；若变化，请说明理由； （3）在点D 的运动过程中，过点作⊥BD，求证：B＝D+D． 解：（1）作M⊥B， ∵B＝，M⊥B，B＝2BM， ∴M＝ B＝1， s ∵∠B＝ ＝ ， 在Rt△MB 中，BM＝1， ∴B＝ ＝ ； （2）连接D， ∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∵四边形BD 内接于圆， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠E+∠B＝180°， ∴∠D＝∠E， ∵∠E 公共角， ∴△E∽△D， ∴ ＝ ， ∴D•E＝2＝10； （3）在BD 上取一点，使得B＝D， 在△B 和△D 中 ， ∴△B≌△D（SS）， ∴＝D， ∵＝D，⊥BD， ∴＝D， ∵B＝D，＝D， ∴B+＝D+D＝B． 1．如图，在边长为8 的正方形BD 中，E、F 分别是边B、B 上的动点，且EF＝6，M 为EF 中点，P 是边D 上的一个动点，则P+PM 的最小值是（ ） ．10 B．8 3 ﹣ ．6 +3 D．3 +5 解：延长D 到′，使′D＝D， P+PM＝′P+PM， 当′，P，M 三点共线时，′P+PM 的值最小， 根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3 为半径的圆弧上， 圆外一点′到圆上一点M 距离的最小值′M＝′B 3 ﹣， ∵B＝D＝8， ′ ∴＝16， ′ ∴B＝ ＝ ＝8 ． ∴P+PM 的最小值是8 3 ﹣． 故选：B． 2．在△B 中，＞B，M 是它的外接圆上弧B 的中点，上的点X 使得MX⊥，＝10，X＝3，则 B＝ 4 ． 解：连接M、BM，M，作M⊥B 的延长线于点， ∴∠BM＝90°． ∵MX⊥， ∴∠XM＝∠MX＝90°， ∴∠MX＝∠BM＝∠XM． ∵M 是它的外接圆上弧B 的中点， ∴BM＝M． ∴∠BM＝∠BM． ∵∠M＝∠BM， ∴∠M＝∠BM． ∵∠M＝∠BM， ∴∠M＝∠M． 在△BM 和△XM 中， ， ∴△BM≌△XM（S）， ∴B＝X． ∵＝10，X＝3， ∴X＝7， ∴B＝7． 在△M 和△MX 中 ， ∴△M≌△MX（S）， ∴＝X， ∴＝3． ∵B＝B﹣， ∴B＝7 3 ﹣＝4．故答为：4． 3．如图，矩形BD 中，D＝12，B＝8，E 是B 上一点，且EB＝3，F 是B 上一动点，若将 △EBF 沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为 10 ． 解：如图，连接PD，DE， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠＝90°， ∵B＝8，BE＝3， ∴E＝5， ∵D＝12， ∴DE＝ ＝13， 由折叠得：EB＝EP＝3， ∵EP+DP≥ED， ∴当E、P、D 共线时，DP 最小， ∴DP＝DE﹣EP＝13 3 ﹣＝10； 故答为：10． 4．如图，在边长为 的等边△B 中，动点D，E 分别在B，边上，且保持E＝D，连接 BE，D，相交于点P，则P 的最小值为 2 ． 解：∵△B 是等边三角形， ∴B＝B＝，∠B＝∠B＝∠BE＝60°， ∵E＝D ∴BD＝E， ∴△BD≌△BE（SS）， ∴∠BD＝∠BE， ∵∠PE＝∠BD+∠BE， ∴∠PE＝∠BE+∠BE＝∠B， ∴∠PE＝60°， ∴点P 的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上运动，如图， 连接交⊙于，则⊥B， 根据圆周角定理可得∠B＝120°，∠F＝30°，F＝ B＝ ， ∴＝ ＝2， ∴＝2＝4， 当点P 与重合时，P 的值最小， 最小值＝﹣＝4 2 ﹣＝2， 故答为：2． 5．已知：如图，在△B 中，D 为边上一点，且D＝D+B．过D 作的垂线交△B 的外接圆于 M，过M 作B 的垂线M，交圆于．求证：M 为△B 外接圆的直径． 证明：延长至E，使E＝B，连接M、MB、ME、BE，如图， ∵D＝D+B， ∴D＝D+E＝DE， ∵MD⊥E， ∴M＝ME，∠ME＝∠ME， 又∵∠ME＝∠MB， ∴∠ME＝∠MB， 又∵E＝B， ∴∠EB＝∠BE， ∴∠ME+∠EB＝∠MB+∠BE， 即∠MEB＝∠MBE， ∴ME＝MB， 又∵ME＝M， ∴M＝MB， 又∵M⊥B， ∴M 垂直平分B， ∴M 是圆的直径． 6．如图，在⊙中，B＝，点D 是 上一动点（点D 不与、B 重合），连接D、DB、D， ∠B＝120°． （1）若＝4，求⊙的半径； （2）写出D、DB、D 之间的关系，并证明． 解：（1）如图1，连接，，B， ∵B＝，∠B＝120°， ∴∠B＝∠B＝30°， ∴∠D＝∠B＝30°， ∴∠＝2∠D＝60°， ∵＝， ∴△是等边三角形， ∴＝＝4； （2）D+BD＝ D，理由如下： 延长DB 到点E，使BE＝D，连接E，如图2 ∴∠BE＝∠D， ∵B＝，BE＝D， ∵ ∴△BE≌△D（SS） ∴E＝D， ∵∠DB＝∠B＝30°， ∴∠DE＝∠E＝30°， ∴∠DE＝120°， ∴DE＝ D 即：BD+D＝ D． 7．如图，⊙是等边△B 的外接圆，P 是 上一点， （1）填空：∠P＝ 60 度，∠BP＝ 60 度； （2）若⊙的半径为4，求等边△B 的面积； （3）求证：P+PB＝P． （1）解：∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°， ∴∠P＝∠B＝60°，∠BP＝∠B＝60°， 故答为：60，60； （2）如图1， 连接B，则B＝4， 过点作D⊥B 于D， ∴BD＝ B， 连接D，则D 过点， ∴＝4， ∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BD＝ ∠B＝30°， 在Rt△DB 中，D＝ B＝2， 根据勾股定理得，B＝2 ， ∴B＝2BD＝4 ， ∴等边△B 的面积为 BD•D＝ BD（+D）＝ × ×6＝12 ； （3）证明：如图，在线段P 上截取PF＝PB，连接BF， ∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝60°，B＝， ∵PF＝PB，∠BP＝∠B＝60°， ∴△PBF 是等边三角形， ∴PB＝BF，∠BFP＝60°， ∴∠BF＝180°﹣∠PFB＝120°， ∵∠BP＝∠P+∠BP＝120°， ∴∠BP＝∠BF， 在△BP 和△BF 中， ， ∴△BP≌△BF（S）， ∴P＝F， ∴P+PB＝PF+F＝P． 8．已知、B、、D 是⊙上的四点， ，是四边形BD 的对角线 （1）如图1，连接BD，若∠DB＝60°，求证：是∠DB 的平分线； （2）如图2，过点D 作DE⊥，垂足为E，若＝7，B＝5，求线段E 的长度． （1）证明：∵ ， ∴D＝BD， ∵∠DB＝60°， ∴△BD 是等边三角形， ∴ ＝ ， ∴∠D＝∠B，即是∠DB 的平分线； （2）解：连接BD，在线段E 上取点F，使得EF＝E，连接DF， ∵DE⊥， ∴DF＝D， ∴∠DFE＝∠DE， ∵ ＝ ， ∴D＝BD，∠D＝∠DB， ∴∠DFE＝∠DB， ∵四边形BD 是圆的内接四边形， ∴∠DB+∠DB＝180°， ∵∠DF+∠DFE＝180°， ∴∠DF＝∠DB， ∵在△DF 和△BD 中， ∴△DF≌△BD（S）， ∴F＝B＝5， ∵＝7，B＝5， ∴E＝ F＝ （﹣F）＝1． 9．阅读理解：如图1，B 和B 是⊙的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦），B＞B，点M 是 弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即D＝B+BD．下面是 运用“截长法”证明D＝B+BD 的部分证明过程． 证明：如图2，在B 上截取G＝B，连接M，MB，M 和MG．∴M 是弧B 的中点，∴M＝ M……． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知等腰△B 内接于⊙，B＝＝4，B＝3，点D 为弧上一点，∠BD＝45°， E⊥BD 于点E，△BD 的周长为 3+4 （直接写出结果） （1）证明：如图2，在B 上截取G＝B，连接M，MB，M 和MG． ∵M 是 的中点， ∴M＝M． 在△MB 和△MG 中， ， ∴△MB≌△MG（SS）， ∴MB＝MG， 又∵MD⊥B， ∴BD＝GD， ∴D＝G+GD＝B+BD； （2）解：∵△B 是等边三角形， ∴B＝B＝2，∠B＝∠B， ∴由（1）的结论得，BE＝DE+D， 在Rt△BD 中，∠BD＝45°，B＝4， ∴BE＝2 ， ∴DE+D＝2 ， ∴则△BD 的周长是B+BD+D＝B+BE+DE+D＝3+4 ． 故答为：3+4 ． 10．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙中，是劣弧B 的中点， 直线D⊥B 于点E，则E＝BE．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P， PB 组成⊙的一条折弦．是劣弧B 的中点，直线D⊥P 于点E，则E＝PE+PB．可以通过 延长DB、P 相交于点F，再连接D 证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，P，PB 组成⊙的一条折弦，若是优弧B 的中点，直线D⊥P 于点E，则 E，PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． （1）证明：连接D，BD， ∵是劣弧B 的中点， ∴∠D＝∠BD， ∵D⊥B， ∴△BD 是等腰三角形， ∴E＝BE； （2）证明：延长DB、P 相交于点F，连接D， ∵是劣弧B 的中点，D⊥P， 由（1）可知，E＝EF，D＝DF， ∴∠F＝∠PD， ∵、D、B、P 四点共圆， ∴∠FPB＝∠DB， ∴∠FBP＝∠F， ∴BP＝PF， ∴E＝EP+PF＝EP+BP； （3）解：E＝PE﹣PB，理由如下： 连接D、B、DB 与P 相交于F 点， ∵是优弧B 的中点， ∴∠D＝∠BD， ∵D⊥P， ∴∠DE＝∠DEF＝90°，∠DE＝∠FDE， ∴△DE≌△DFE（S）， ∴D＝DF，E＝EF， ∴∠DF＝∠DF， ∴∠DF＝∠PFB，∠PBD＝∠DP， ∴∠PFB＝∠PBF， ∴FP＝BP， ∴E＝PE﹣PB． 11．在⊙中 ＝ ，顺次连接、B、． （1）如图1，若点M 是 的中点，且M∥交B 延长线于点，求证：M 为⊙的切线； （2）如图2，在（1）的条件下，连接M，过点作P⊥BM 于点P，若BP＝，MP＝b，M ＝，则、b、有何数量关系？ （3）如图3，当∠B＝60°时，E 是B 延长线上一点，D 是线段B 上一点，且BD＝E，若 BE＝5，△EF 的周长为9，请求出S△EF的值？ 解：（1）如图1，连接M， ∵M 是 的中点， ∴M⊥， ∵M∥， ∴M⊥M， ∵M 为⊙的半径， ∴M 为⊙的切线； （2）如图2，连接M 交于K，连结M， ∵M 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴M＝M＝， ∵P⊥BM， ∴∠PM＝∠PB＝90°， ∴P2＝M2﹣PM2＝2﹣b2， ∴B2＝P2+BP2＝2﹣b2+2， ∴＝B＝ ， ∵M 是 的中点， ∴M⊥， ∴K＝K＝ ＝ ， ∵∠PB＝∠KM＝90°，∠BP＝∠MK， ∴△BP∽△MK， ∴ ＝ ， ∴BP•M＝K•B， ∴＝ • ， 2 ∴＝2﹣b2+2， ∴（﹣）2﹣b2＝0， ∴（+b﹣）（﹣b﹣）＝0， + ∵b﹣＞0， ∴﹣b﹣＝0， ∴＝b+； （3）过点B 作B∥，过点D 作D∥B，B 与D 交于点，连接， 则∠BD＝∠B＝60°，∠DB＝∠B＝60°， ∴△BD 是等边三角形， ∴B＝BD，∠DB＝60°， ∴B＝E，∠B＝∠B+∠DB＝60°+60°＝120°， ∵∠E＝180°﹣∠B＝120°＝∠B，＝B， ∴△E≌△B（SS）， ∴∠E＝∠B，E＝， ∵D∥B，D＝E， ∴四边形ED 是平行四边形， ∴E∥ED，＝ED， ∴∠B＝∠BED，＝E， ∴∠BED＝∠E，E＝ED， 过点E 作ET⊥B 于点T，交于点L，连接DL， 则T＝TD＝ D，L＝DL， ∵∠B＝60°， ∴△DL 是等边三角形， ∴∠LD＝60°＝∠B， ∴DL∥B，即D 与DL 在同一直线上， ∴四边形BL 是平行四边形， ∴L＝B＝BD＝E，L＝B， 设E＝x，则L＝x，B＝＝5﹣x，D＝DL＝L＝﹣L＝5 2 ﹣x，T＝ ， ∵DF∥， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴LF＝ ， ∴F＝L+LF＝5 2 ﹣x+ ＝ ， 在Rt△BET 中，ET＝BE•s60°＝ ， ∵E2＝T2+ET2， ∴E2＝（ ）2+（ ）2＝x2 5 ﹣x+25， 延长B，ED 交于点R，则∠RD＝∠FE，∠R＝∠FE，D＝E， ∴△DR≌△EF（S）， ∴DR＝EF， ∴ER＝ED+DR＝E+E