模型43 几何中等分面积问题（原卷版）(1)

线段分三角形面积问题 当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比 如图 当S△BD∶S△D＝m∶时，则＝ 【例1】．如图，△B 三边的中线D，BE，F 的公共点为G，且G：GD＝2：1，若S△B＝ 12，则图中阴影部分的面积是 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，点D、E、F 分别是B、D、E 的中点，且S△B＝8m2，则 S△BEF的面积是（ ） 模型介绍 例题精讲 ．4m2 B．3m2 ．2m2 D．1m2 【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形B 的顶点坐标B（17，6），（5， 6），直线y＝ x+b 恰好将平行四边形B 的面积分成相等的两部分，那么b＝ ． 【例2】．如图，在平面直角坐标系xy 中，长方形B 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝﹣x+b 恰好将长方形B 分成面积相等的两部分，那么b＝ ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在菱形BD 中，B＝6，∠B＝60°，点E 在边D 上，且E＝2．若直线l 经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF 的长为 ． 【变式2-2】．如图，△B 的面积为1，D、E 分别为B、的中点，F、G 是B 边上的三等分 点．那么△DEF 的面积是多少？△DE 的面积是多少？ 【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xy 中，多边形BDE 的顶点坐标分别是 （0，0），（0，6），B（4，6），（4，4），D（6，4），E（6，0）． 若直线l 经过点M（2，3），且将多边形BDE 分割成面积相等的两部分，求直线l 的函 数表达式． 1．如图，长方形BD 的面积为36m2，E，F，G 分别为B，B，D 的中点，为D 上任一点， 则图中阴影部分的面积为（ ） ．18m2 B．16m2 ．20m2 D．24m2 2．已知梯形BD 的四个顶点的坐标分别为（﹣1，0），B（5，0），（2，2），D（0， 2），直线y＝kx+2 将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ） ． B． ． D． 3．如图，在△B 中，∠B＝90°，D 是高，BE 是中线，F 是角平分线，F 交D 于点G，交BE 于点． ①△BE 的面积＝△BE 的面积；②F＝FB； ③∠FG＝2∠F．以上说法正确的是（ ） ．①③ B．①② ．②③ D．①②③ 4．如图，在△B 中，已知点D、E、F 分别为B、D、E 的中点，若阴影部分的面积为4，则 △B 的面积为 ． 5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形BD 顶点（0，0），（10，4），直线y＝ x 2 1 ﹣﹣将平行四边形BD 分成面积相等的两部分，求的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形B 是正方形，点B 的坐标为（4，4），直线y＝mx 2 ﹣恰好把正方形B 的面积分成相等的两部分，则m＝ ． 7．已知平面上四点（0，0），B（10，0），（14，6），D（4，6），若直线y＝mx 3 ﹣m 1 ﹣将四边形BD 分成面积相等的两部分，则m 的值为 ． 8．在△B 中，B＝5，＝12，B＝13，在B、上分别取点D、E，使线段DE 将△B 分成面积相 等的两部分，则这样线段的最小值是 ． 9．如图，在直角坐标系中，矩形B 的顶点B 的坐标为（15，6），直线 恰好将矩 形B 分成面积相等的两部分，那么b＝ ． 10．如图，△B 中，D 是中线，延长D 到E，使DE＝D，DF 是△DE 的中线．已知△B 的面 积为2，求：△DF 的面积． 11．正方形BD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使B 边落在X 轴的正半轴 上，且点的坐标是（1，0）． （1）直线y＝ x 经过点，且与x 轴交于点E，求四边形ED 的面积； （2）若直线l 经过点E，且将正方形BD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式； （3）若直线l1经过点F（﹣ ，0），且与直线y＝3x 平行，将（2）中直线l 沿着y 轴 向上平移 个单位交轴x 于点M，交直线l1于点，求△MF 的面积． 12．如图，直线y＝2x+4 与x 轴、y 轴分别交于、B 两点，把△B 绕点顺时针旋转90°得到 △D． （1）求经过、B、D 三点的抛物线的解析式； （2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线P 把△D 分成面积相等的两部分？如果 存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 13．已知菱形B 在坐标系中的位置如图所示，是坐标原点，点（1，2），点在x 轴上．点 M（0，2）． （1）点P 是直线B 上的动点，求PM+P 最小值． （2）将直线y＝﹣x 1 ﹣向上平移，得到直线y＝kx+b． ①当直线y＝kx+b 与线段有公共点时，结合图象，直接写出b 的取值范围． ②当直线y＝kx+b 将四边形B 分成面积相等的两部分时，求k，b． 14．已知，y＝x2+bx 3 ﹣过（2，﹣3），与x 轴交于（﹣1，0），B（x2，0），交y 轴于． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作D∥x 轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1 将四边形DB 分成面积相等 的两部分，若存在，请求k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段、B 分别交于D、E 两点，则在x 轴上是否存在 点P，使得△DPE 为等腰直角三角形，若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理 由． 15．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝50，＝30，矩形DEFG 的顶点G 与△B 的顶点重合， 边GD、GF 分别与，B 重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG 沿射线B 的方向以每秒4 个单位长的速度匀速运动，点Q 从点B 出发沿B 方向以每秒5 个单位长的速度匀速运动， 过点Q 作射线QK⊥B，交折线B﹣于点，矩形DEFG、点Q 同时出发，当点Q 到达点时 停止运动，矩形DEFG 也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q 运动的时间是t 秒（t＞ 0）． （1）求线段DF 的长； （2）求运动过程中，矩形DEFG 与Rt△B 重叠部分的面积s 与t 的函数关系式（写出自 变量的取值范围）； （3）射线QK 能否把矩形DEFG 分成面积相等的两部分？若能，求出t 值；若不能，说 明理由； （4）连接D，当D∥B 时，请直接写出t 值． 16．已知m，是方程x2 6 ﹣x+5＝0 的两个实数根，且m＜．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+ 的图象经过点（m，0），B（0，）． （1）求抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为，抛物线的顶点为D，求，D 的坐标和 △BD 的面积； （3）已知P 是线段上一点，过点P 作P⊥x 轴，交抛物线于点，若直线B 把△P 分成面 积相等的两部分，求P 点的坐标． 17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于 对应底边的比． 如图1，△B 的边B 上有一点M，请证明： ＝ ． 【结论应用】如图2，△DE 的面积为1， ＝ ， ＝ ，求△B 的面积． 【拓展延伸】如图3，△B 的边B 上有一点M，D 为M 上任意一点，请利用上述结论， 证明： ＝ ． 【迁移应用】如图4，△B 中，M 是B 的三等分点（M＝ B），是B 的中点，若△B 的面 积是1，请直接写出四边形BMD 的面积 ． 18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+的图象经过点（m，0）、B（0，），其中m、是方程x2﹣ 6x+5＝0 的两个实数根，且m＜． （1）求抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为，抛物线的顶点为D，求、D 点的坐标 和△BD 的面积； （3）P 是线段上一点，过点P 作P⊥x 轴，交抛物线于点，若直线B 把△P 分成面积相等 的两部分，求P 点的坐标． 19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标 系上有两个不同的点（x，y）、B（xB，yB），则线段B 的中点坐标可以表示为（ ， ）． 【简单应用】如图1，直线B 与y 轴交于点（0，3），与x 轴交于点B（4，0），过原点 的直线L 将△B 分成面积相等的两部分，请求出直线L 的解析式； 【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过 另一条对角线的中点” 如图2，在四边形BD 中，对角线、BD 相交于点，S△BD＝S△BD．试说明＝； 【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中（1，4），B（3，﹣2），（2m，﹣ m+5），若恰好平分四边形B 的面积，求点的坐标．