第24讲 特殊四边形-菱形（练习）（原卷版）

第24 讲 特殊四边形-菱形 目 录 题型01 利用菱形的性质求角度 题型02 利用菱形的性质求线段长 题型03 利用菱形的性质求周长 题型04 利用矩形的性质求面积 题型05 利用矩形的性质求坐标 题型06 利用矩形的性质证明 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形 题型08 证明四边形是菱形 题型09 根据菱形的性质与判定求角度 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长 题型11 根据菱形的性质与判定求面积 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题 题型13 与菱形有关的新定义问题 题型14 与菱形有关的规律探究问题 题型15 与菱形有关的动点问题 题型16 菱形与反比例函数综合 题型17 菱形与一次函数、反比例函数综合 题型18 菱形与二次函数综合 题型01 利用菱形的性质求角度 1．（2021·河北唐山·统考一模）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以 调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB=20cm，则∠DAB的度数是（ ） ．90° B．100° ．120° D．150° 2．（2021·广东深圳·统考一模）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） ．4: 1 B．5: 1 ．6: 1 D．7: 1 3．（2021·河北·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于1 2 AB的长为半径，分别以点A， B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则 ∠EBD的度数为 ． 4．（2021·浙江温州·统考一模）如图，在菱形BD 中，E⊥B 于点E，F⊥D 于点F． (1)求证：BE＝DF． (2)当∠BD＝110°时，求∠EF 的度数． 题型02 利用菱形的性质求线段长 5．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形BD 中，B＝5，＝6，过点D 作DE⊥B，交B 的延长线于点 E，则线段DE 的长为（ ） ．12 5 B．18 5 ．4 D．24 5 6．（2021·黑龙江大庆·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH ⊥AB 于点H，连接OH，若OA=6，S 菱形ABCD=48，则OH的长为（ ） ．4 B．8 ．❑ √13 D．6 7．（2021·广东中山·校联考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC ,BD相交于点，点E 在OB上，连接AE， 点F 为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 ． 8．（2021·湖北荆州·统考一模）如图，在菱形BD 中，B＝6，∠B＝60°，点E 在边D 上，且E＝2．若直线 l 经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF 的长为 ． 题型03 利用菱形的性质求周长 9．（2021·湖北黄石·统考模拟预测）若菱形BD 的一条对角线长为8，边D 的长是方程x2 10 ﹣ x+24＝0 的一 个根，则该菱形BD 的周长为（ ） ．16 B．24 ．16 或24 D．48 10．（2021·辽宁大连·统考一模）菱形的两条对角线长分别是6 和8，则此菱形的周长是（ ） ．5 B．20 ．24 D．32 11．（2021·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）若菱形一条对角线长为8，其边长是方程 x 2−10 x+24=0的一个根，则菱形的周长为 12．（2021·广东湛江·统考三模）如图，在菱形BD 中，与BD 交于点E，F 是B 的中点，如果EF＝3，那 么菱形BD 的周长是 ． 题型04 利用矩形的性质求面积 13．（2021·广西百色·统考二模）如图，在菱形BD 中，对角线，BD 交于点，其中＝1，B＝2，则菱形BD 的面积为 ． 14．（2021·湖南长沙·二模）如图，在△BD 中，∠DB＝90°，∠＝30°，B＝10，点E 是边B 的中点．分别以 点B，D 为圆心，以BE 的长为半径画弧，两弧交于点，连接B，D，则四边形BDE 的面积为 ． 15．（2021·新疆乌鲁木齐·校考二模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 为B 的中点，AE∥DC， CE∥DA． (1)求证：四边形DE 是菱形； (2)连接DE，若AC=2❑ √3，B＝2，求菱形DE 的面积． 16．（2021·广东汕头·统考一模）如图，四边形BD 是菱形，对角线、BD 相交于点，D B ⊥ 于，连接， （1）求证：∠D= D ∠． （2）若=4，BD=6，求菱形BD 的周长和面积． 题型05 利用矩形的性质求坐标 17．（2021·河南洛阳·统考三模）如图，菱形B 的边在x 轴上，点B 坐标为（9，3），分别以点B、为圆心， 以大于1 2 B 的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x 轴于点F，则点F 的坐标是（ ） ．（75，0） B．（65，0） ．（7，0） D．（8，0） 18．（2021·山东淄博·统考二模）如图，在直角坐标系中，点P 为菱形B 的对角线B、的交点，其中点B、 P 在双曲线y＝k x （x＞0）上．若点P 的坐标为（1，2），则点的坐标为（ ） ．（﹣1，10 3 ） B．（﹣2，7 2 ） ．（﹣13 9 ，14 9 ） D．（﹣3，18 5 ） 19．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点 A的坐标为(−10,0)，对角线AC，BD相交于点D，双曲线y= k x (x<0)经过点D，交边AB于点E，且 AC+BO=12❑ √5，则E的坐标为（ ） ．(−24 , 4 3) B．(−10, 16 5 ) ．(−12, 8 3) D．(−12, 4 3) 20．（2021·河北保定·校考一模）如图，若菱形BD 的顶点，B 的坐标分别为（15，0），（﹣1，0），点 D 在y 轴上，则点的坐标是 ． 21．（2021·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系xy 中，菱形B 满足点在原点，点坐标为（2，0）， ∠＝60°，直线y＝﹣3x＋b 与菱形B 有交点，则b 的取值范围是 ． 题型06 利用矩形的性质证明 22．（2021·广东东莞·一模）如图，四边形BD 是菱形，E，F 是对角线上的两点，且AE=CF，连接BF． FD，DE，EB． 求证：四边形DEBF 是菱形． 23．（2021·陕西·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别过点B 作BM ⊥AD于点M，BN ⊥CD于 点，BM ，BN分别交AC于E、F 两点． 求证：AE=CF． 24．（2021·云南楚雄·统考二模）如图，在菱形BD 中，E，F 分别为D，B 上的点，且E＝F，连接EF 并 延长，与B 的延长线交于点G，连接BD． (1)求证：四边形EGBD 是平行四边形； (2)连接G，若∠FGB＝30°，GB＝E＝2，求G 的长． 25．（2021·辽宁鞍山·统考一模）在如图菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E , F是AP上 的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF． （1）求证：△ABF ≌△DAE；（2）求证：DE=BF ＋EF． 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形 26．（2021·山西·校联考模拟预测）如图，在平行四边形BD 中，对角线，BD 相交于点，下列选项中不能 判定平行四边形BD 是菱形的条件是（ ） ．∠BD＝∠BD B．⊥BD ．B＝B D．＝BD 27．（2021·山东·统考一模）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC ⊥AB，垂足为点D，要使四边形 OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）． ．AD=BD B．OD=CD ．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB． 28．（2021·山东潍坊·校考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E , F分别是AB , AC边的中 点，若要使得四边形AEDF是菱形，则需添加的一个条件是 （不添加辅助线，写出一个答即可）． 29．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在BC、AD上， AM=MC．若添加一个条件： ，则四边形AMCN是菱形． 题型08 证明四边形是菱形 30．（2021·广东河源·校考二模）如图，四边形BD 是平行四边形,E⊥B，F⊥D，垂足分别为E，F，且 BE=DF． (1)求证：四边形BD 是菱形； (2)连接EF 并延长，交D 的延长线于点G，若∠EG=30°，E =2，求EG 的长． 31．（2021·广东深圳·统考一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在 AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形； （2）若AB=6, AD=10，求四边形CEFG的面积． 32．（2021·全国·一模）如图，在Rt△B 中，∠B=90゜，D 为B 的中点，E//D，E//B，连接DE 交于点． （1）证明：四边形DE 为菱形； （2）若∠B=60゜，B=6，求菱形DE 的高． 33．（2021·山东烟台·校考一模）如图，ΔABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点， FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接¿，GD （1）求证：ΔECG≅ΔGHD； （2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC请你帮助小亮同学证明这一结论 （3）若∠B=30 ∘，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由 题型09 根据菱形的性质与判定求角度 34．（2020·重庆·重庆市育才中学校考二模）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于 E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为( ) ．23° B．28° ．62° D．67° 35．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）由4 个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的格，菱形的顶点 称为格点，点，B，都在格点上，∠=60°，则t∠B=（ ） ．1 3 B．1 2 ． ❑ √3 3 D． ❑ √3 2 36．（2021·河北·校联考二模）如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，用∠ADB的 度数为（ ） ．20° B．25° ．30° D．40° 37．（2019·河北唐山·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AC 、BD相交于O，∠ABC=70°，E是线 段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ） ．100° B．70° ．50° D．20° 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长 38．（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，菱形BD 的对角线与BD 相交于点，E 为D 的中点，连接E， ∠ABC=60°，BD=4 ❑ √3，则OE=¿（ ） ．4 B．2❑ √3 ．2 D．❑ √3 39．（2022·广东佛山·统考二模）如图，E、F 是正方形BD 的对角线BD 上的两点，BD=10，DE=BF=2， 则四边形EF 的周长等于（ ） ．20 B．20 ❑ √2 ．30 D．4 ❑ √34 40．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动 成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋 AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：❑ √3≈1.732）． 41．（2023·广东广州·一模）如图，在▱ABCD中，对角线，BD 相交于点，AB=AD． (1)求证：AC ⊥BD； (2)若点E，F 分别为D，的中点，连接EF，EF=3 2 ，AO=2，求BD 的长及四边形BD 的周长． 题型11 根据菱形的性质与判定求面积 42．（2022·北京海淀·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D 是B 的中点，点E，F 在射线D 上， 且DE=DF． (1)求证：四边形BEF 是菱形； (2)若AD=BC=6，AE=BE，求菱形BEF 的面积． 43．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB 的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF ⊥AD，垂足为F． （1）若∠BAD=60°，求证：四边形CEHF是菱形； （2）若CE=4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积． 44．（2021·宁夏石嘴山·统考一模）如图，在菱形BD 中，点E，F 分别是边D，B 的中点． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若BE＝❑ √3，∠＝60°，求菱形BD 的面积． 45．（2022·云南昆明·统考二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，邻边AD ,CD上的高相等，即 BE=BF． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若DB=10, AB=13，求平行四边形ABCD的面积． 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题 46．（2023·山东泰安·东平县实验中学统考三模）如图所示，在菱形ABCD中，AB=AC，点E，F 分别 为边AB，BC上的点，且AE=BF，连接CE，AF交于点H，连接DH交AC于点，则下列结论：① △ABF ≌△CAE；②∠FHC=∠B；③∠AEH=∠DAH；④AE· AD=AH · AF．其中正确结论有 （ ） ．①②③④ B．①②③ ．②③④ D．①③④ 47．（2023·山东泰安·统考二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接 BD交AC于点，点M 为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点逆时针旋转60°交BC于点，连接 MN 、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是❑ √3；③当MN最小时 S△CMN=1 8 S 菱形ABCD；④当OM ⊥BC时，O A 2=DN ⋅AB．正确的是（ ） ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．①②③④ 48．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点E 在边AD上，连 接BE．作点关于BE的对称点F，连接EF、BF、DF．现给出以下4 个结论：①BE平分∠ABF；②菱 形ABCD的面积等于❑ √3；③△≝¿周长的最小值为2❑ √3；④当EF ⊥AD时，AE=❑ √3−1，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 49．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点 M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM．①△AMN是等边三角 形；②MN的最小值是❑ √3；③当MN最小时，S△CMN= 1 4 S菱形ABCD；④当OM ⊥BC时，O A 2=DN ⋅AB． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 50．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点M 为AB延 长线上的一点，MC与⊙O相切于点，圆周上有另一点D 与点分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC， 连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB=MO；④ ∠ADM=120°．其中正确的结论是 （填序号）． 题型13 与菱形有关的新定义问题 51．（2020·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线 长度的2 倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”． （1）如图①，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，AB=❑ √5, AC=2，试判断菱形ABCD是否 为“倍垂四边形”，并说明理由； （2）如图②，在△ABC中，AB=3 ❑ √2,BC=7, AC=5，作AO⊥BC于点，问在射线AO上是否存在着 一点D，使得四边形ABDC是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段OD的长；若不存在，请说明理 由； （3）如图③，在Rt △ABC中，AB=4 , AC=5，且∠ABC=90°，分别以Rt △ABC的斜边AC和直角 边AB为边向外作Rt △ACD和Rt △ABE，且∠CAD=∠BAE=90°，连接DE，当四边形BCDE是 “倍垂四边形”时，求DE的长． 52．（2021·江苏泰州·校考二模）设（，）为双曲线y= k x （k>0，x>0）上一点，过点作B⊥x 轴于B 点，B 的垂直平分线交y 轴于点，交双曲线于点P．定义：P 为点的中垂点；特别的，当△BP 为等腰直角三角形 时，又称P 为点的完美中垂点． （1）若k=8，且点存在完美中垂点， 则的坐标是________ （2）四边形BP 一定为 ． （填字母） ． 平行四边形 B． 菱形 ． 矩形 D．正方形 （3）若△P 的面积为6 时，则k= ． （4）设P 为的中垂点，Q 又为P 的中垂点，且△PQ 是等腰三角形，试求k 关于的函数表达式． 题型14 与菱形有关的规律探究问题 53．（2021·黑龙江鹤岗·统考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1， 使D A1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1C C1 D1，连接A A1，得到ΔAD A1；再延长 C1 D1至A2，使D1 A2=C1 D1，以A2C1为一边，在C C1的延长线上作菱形A2C1C2 D2，连接A1 A2，得 到Δ A1 D1 A2……按此规律，得到Δ A2020 D2020 A2021，记ΔAD A1的面积为S1，Δ A1 D1 A2的面积为S2…… Δ A2020 D2020 A2021的面积为S2021，则S2021=¿ ． 54．（2021·辽宁丹东·校考模拟预测）如图，一次函数y=2 x+2的图象为直线l，菱形AOB A1， A1O1B1 A2，A2O2B2 A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l 上，顶点O， O1，O2，…均在x 轴上，则点Bn的坐标是 ． 55．（2020·浙江·校联考模拟预测）如图，直线l1的解析式是y＝ ❑ √3 3 x，直线l2的解析式是y＝❑ √3x，点1 在l1上，1的横坐标为3 2 ，作1B1 l ⊥1交l2于点B1，点B2在l2上，以B11、B1B2为邻边在直线l1、l2间作菱形 1B1B21，延长B21交l1于点2，点B3在l2上，以B22、B2B3为邻边在l1、l2间作菱形2B2B32，………按照此规律 继续作下去，则线段2020B2020长为（ ） ．2 2019 B．（3 2 ） 2019 ．（3 2 ） 2020 D．（ ❑