第24讲 特殊四边形-菱形（讲义）（原卷版）

第24 讲 特殊四边形-菱形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 菱形的性质与判定 题型01 利用菱形的性质求角度 题型02 利用菱形的性质求线段长 题型03 利用菱形的性质求周长 题型04 利用矩形的性质求面积 题型05 利用矩形的性质求坐标 题型06 利用矩形的性质证明 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形 题型08 证明四边形是菱形 题型09 根据菱形的性质与判定求角度 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长 题型11 根据菱形的性质与判定求面积 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题 题型13 与菱形有关的新定义问题 题型14 与菱形有关的规律探究问题 题型15 与菱形有关的动点问题 题型16 菱形与一次函数综合 题型17 菱形与反比例函数综合 题型18 菱形与一次函数、反比例函数综合 题型19 菱形与二次函数综合 考点要求 新课标要求 命题预测 菱形的性质与 判定  探索并证明菱形的性质 定理  探索并证明菱形的判定 定理 菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何 图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计 2024 年各地中考还将出现菱形的考察类型比较多样，其中 选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱形 的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次 函数、动态问题综合应用的可能性比较大． 考点一 菱形的性质与判定 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱 形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心 菱形的判定： 1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形 3）四条边相等的四边形是菱形 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角 线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 菱形的面积公式：S==对角线乘积的一半（其中为边长，为高） 菱形的周长公式：周长l=4（其中为边长） 题型01 利用菱形的性质求角度 【例1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠1=15°，则∠D=¿（ ） ．115° B．150° ．125° D．130° 【变式1-1】（2023·陕西西安·一模）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数 是（ ） ．40° B．60° ．80° D．100° 【变式1-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分 别交BC ,CD于点E，F． 若∠EAF=60°，则∠D的度数为 ． 【变式1-3】（2020·吉林长春·统考二模）如图，菱形BD 中，交BD 于，DE⊥B 于E，连接E，若 ∠B=124°，则∠ED= 度． 1 对于菱形的定义要注意两点:是平行四边形;b 一组邻边相等 2 定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形 3 菱形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算 4 在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题， 5 在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的1 2 【变式1-4】（2023·湖南永州·统考一模）如图，菱形ABCD中，∠CBD=75，分别以A、B为圆心，大 于AB的一半长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点E，交AD于点F， 连接BF，求∠DBF的度数． 题型02 利用菱形的性质求线段长 【例2】（2022·安徽·合肥38 中校考模拟预测）如图在菱形ABCD中，AD=12，对角线AC和BD交于点， 点E，F 分别是OD和OC的中点，AE与BF交于点G，则EF的长为 ． 【变式2-1】（2023·浙江·模拟预测）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为4 ❑ √3，则另一条对角 线的长为 ． 【变式2-2】（2022·湖南长沙·校考二模）如图，四边形ABCD是边长为5 的菱形，对角线AC，BD的长 度分别是一元二次方程x 2−2 (m+1) x+8m=0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH=¿ ． 【变式2-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC 、BD 交于点，点E 在线段OD上，连接CE，若BE=CD=2 DE，AC=2❑ √7，则CE的长为 ． 【变式2-4】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=2，BD=1，AC， BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF ⊥CE交CE于点F，则OF的长度 为 ． 题型03 利用菱形的性质求周长 【例3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC， 若AB=6，AD=8，则四边形OCED的周长是( ) ．10 B．20 ．28 D．30 【变式3-1】（2023·广东汕头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点，B，在坐标轴 上，若点的坐标为(0,3)，∠D=60°，则菱形ABCD的周长为（ ） ．13 B．14 ．15 D．8 ❑ √3 【变式3-2】（2023·河南商丘·统考一模）如图，菱形ABCD中，点E，F，G 分别为AB，AD，CD的中 点，EF=4，FG=3，则菱形ABCD的周长为（ ） ．12 B．16 ．18 D．20 【变式3-3】（2023·湖南永州·校考二模）如图，在菱形ABCD中，M 、N分别为AB 、AC的中点，若 MN=3，则菱形ABCD的周长为 ． 【变式3-4】（2023·湖南长沙·长沙市南雅中学统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC 、BD交于 点，点E，F 分别为边AB，AD上的中点，连接EF． (1)求证：AC ⊥EF； (2)若EF=6，tan∠AEF=1 3，求菱形ABCD的周长． 题型04 利用矩形的性质求面积 【例4】（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面 积是（ ） ．12 B．96 ．48 D．24 【变式4-1】（2023·青海海东·统考三模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作 DH ⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ） ．72 B．48 ．24 D．9 【变式4-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O， 且AC+BD=16，则该菱形的面积等于 ． 【变式4-3】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一条对角线 AC=6cm，则该菱形的面积是 cm 2． 题型05 利用矩形的性质求坐标 【例5】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是菱形ABCD对角线BD的中点， AD∥x轴且AD=4，∠A=60°，将菱形ABCD绕点顺时针旋转，使点D 落在x 轴正半轴上，则旋转后 点的对应点的坐标是（ ） ．(0，2❑ √3) B．(2，−4 ) ．(2❑ √3，0) D．(0，−2❑ √3) 【变式5-1】（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）如图，四边形ABCD是菱形，点D在x轴上，顶 点，B 的坐标分别是(0，2)，(4，4)，则点的坐标是（ ） ．(4，2) B．(6,2) ．(6,4) D．(8,2) 【变式5-2】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形 ABCD的顶点A (−3,3)，C (1,−1)，对角线BD交AC于点M，交x 轴于点，若BN=2 ND，则点B 的坐标 是（ ） ．( 3 2 , 7 2) B．(❑ √2,2❑ √2) ．（4，2） D．（2，4） 【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点 A (8,0)，点D 是OA的中点，点P 是对角线OB上的一个动点，∠AOC=60°，当PA+PD最短时，点P 的坐标为（ ） ．(6,2❑ √3) B．(6, 4 ❑ √3 3 ) ．(4,2) D．(4 , 4 ❑ √3 3 ) 【变式5-4】（2023·天津红桥·统考三模）如图，四边形ABCD为菱形，点A (−3,0)，点D (0,4 )，点B在x 轴的正半轴上，则点C的坐标为（ ）． ．(5,4 ) B．(4,5) ．(4,3) D．(3,4 ) 【变式5-5】（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点的坐标为(4,0)， 点B、 在第一象限, ∠AOC=60°，求点的坐标． 题型06 利用矩形的性质证明 【例6】（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E , F是对角线AC上的两点，且 AE=CF． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)证明四边形BEDF是菱形． 【变式6-1】（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线 段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF=CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形 FBED的形状，并说明理由． 【变式6-2】（2024 上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）【操作探究】 已知：在菱形ABCD中，点M在直线BD上，过M作AC的平行线交直线AD于点E，交直线AB于点F． (1)【举例感知】如图1，当点M在线段BD上时，求证：AC=ME+MF； (2)【类比探究】 ①当点M在DB延长线上时，直接写出AC 、ME 、MF三条线段之间的数量关系． ②当点M在BD延长线上时，直接写出AC 、ME 、MF三条线段之间的数量关系． 【变式6-3】（2020·北京·统考中考真题）如图，菱形BD 的对角线，BD 相交于点，E 是D 的中点，点F， G 在B 上，EF⊥B，G∥EF． （1）求证：四边形EFG 是矩形； （2）若D=10，EF=4，求E 和BG 的长． 【变式6-4】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点． (1)如图1，连接CE，CF．CE⊥AB，CF ⊥AD． ①求证：CE=CF； ②若AE=2，求CE的长； (2)如图2，连接CE，EF．若AE=3，EF=2 AF=4，求CE的长． 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形 【例7】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱BD 的对角线和BD 相交于点，下列说法正确的是（ ） ．若B＝D，则▱BD 是菱形 B．若＝BD，则▱BD 是菱形 ．若＝D，则▱BD 是菱形 D．若⊥BD，则▱BD 是菱形 【变式7-1】（2019·宁夏·统考中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添 加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） ．AC ⊥BD B．AB=AD ．AC=BD D．∠ABD=∠CBD 【变式7-2】（2021·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E , F分别在BC , AD上，AF=EC． 只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【变式7-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形BD 中，⊥BD，垂足为，AB∥CD， 要使四边形BD 为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 题型08 证明四边形是菱形 【例8】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使 DE=AD，且BE⊥DC． (1)求证：四边形DBCE为菱形； (2)若△DBC是边长为2 的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM +PN的最 小值． 【变式8-1】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）小惠自编一题： 如图，在四边形 “ BD 中，对角线，BD 交 于点，⊥BD，B＝D．求证：四边形BD 是菱形 ，并将自己的证明过程与同学小洁交流． ” 小惠： 证明：∵⊥BD，B＝D， ∴垂直平分BD． ∴B＝D，B＝D， ∴四边形BD 是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 ；若赞成小洁的说法，请你 “√” 补充一个条件，并证明． 【变式8-2】（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE 、CF分别是 ∠BAD 、∠BCD的平分线，且E 、F分别在边BC 、AD上，AE=AF． (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4 ❑ √3，求平行线AB与DC间的距离． 【变式8-3】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在四边形BD 中，B∥D，点E，F 在对角线BD 上， BE=EF=FD，∠BF=∠DE=90°． (1)求证：△BF≌△DE； (2)连接E，F，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形EF 的 形状，并证明你的结论． 条件 ： ① ∠BD=30°； 条件2：B=B． （注：如果选择条件 条件 分别进行解答，按第一个解答计分） ① ② 题型09 根据菱形的性质与判定求角度 【例9】（2020·河北唐山·统考一模）如图， 以点 ① A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、 AN于点B、D； 以点 ② B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； 分别连接 ③ BC、CD、AC，若∠MAN=60°，则∠ACB的大小为 ． 【变式9-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以、B 为圆心，取AB的长 为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD=130°，则∠CAD=¿ ． 【变式9-2】（2022·宁夏中卫·统考一模）如图，四边形BD 为 的内接四边形，若四边形 ⊙ BD 为菱形，则 ∠BD 的度数是 ． 【变式9-3】（2022·浙江金华·统考一模）如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄P 始终平分同一平面内两条 伞骨所成的角∠B．当伞收紧时，点D 与点M 重合，且点，E（F），D 在同一条直线上．已知伞骨的部分 长度如下（单位：m）：DE=DF=E=F=40． (1)求M 的长． (2)当伞撑开时，量得∠B=110°，求D 的长．（结果精确到1m） 参考数据：sin55°≈0.8192,cos55°≈0.5736,tan55°≈1.4281． 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长 【例10】（2023·湖北荆州·统考模拟预测）在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于 点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【变式10-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作 EF ⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=❑ √3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ） ．2 B．❑ √5 ．3 D．2❑ √2 【变式10-2】（2023·青海海东·统考三模）如图所示，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5， P为BC边上的任意一点，连接PA，以PA 、PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，当AP=PC时，PQ的长 为 ． 【变式10-3】（2023·吉林长春·统考二模）如图，小李将一张边长分别为4 和10 的矩形纸片对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到一个四边形．若∠ACB=60°，则这个四边形的周长为 ． 题型11 根据菱形的性质与判定求面积 【例11】（2023·云南·模拟预测）在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是B 的中点，E 是D 的中点，过点作F∥B 交E 的延长线于点F． (1)求证：四边形DBF 是菱形； (2)若B＝8，菱形DBF 的面积为40，求的长． 【变式11-1】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）折叠矩形纸片BD，使点B 落在点D 处，折痕为M，已知 B=8，D=4，则M 的长是（ ）．5 3 ❑ √5 B．2❑ √5 ．7 3 ❑ √5 D．4❑ √5 【变式11-2】（2019·山东德州·校联考二模）如图，在▱BD 中，E⊥B，F⊥D，垂足分别为E，F，且 BE=DF （1）求证：▱BD 是菱形； （2）若B=5，=6，求▱BD 的面积． 【变式11-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，矩形BD 的对角线、BD 相交于点，BE // AC， AE // BD． （1）求证：四边形BE 是菱形； （2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形BE 的面积． 【变式11-4】（2022·江苏南京·统考一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点． (1)求证∠AEF=∠AFE； (2)若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为______． 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题 【例12】（2023·内蒙古·一模）如图，在矩形BD 中，B＜B，连接，分别以点，为 圆心，大于1 2的长为半径画弧，两弧交于点M，，直线M 分别交D，B 于点E， F．下列结论： ①四边形EF 是菱形；②∠FB＝2∠B；③• EF＝F•D； ④若F 平分∠B，则F＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【变式12-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，四边形ABCD为菱形，BF ∥AC，DF交AC的延 长线于点E，交BF于点F，且CE: AC=1:2．则下列结论：①△ABE≌△ADE；②∠CBE=∠CDF； ③DE=FE；④S△BCE:S四边形ABFD=1:10．其中正确结论是（ ） ．①③ B．①②④ ．②③④ D．①②③④ 【变式12-2】（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考模拟预测）如图，直线E 是平行四边形BD 的边B 的垂直平分线，垂足为点，E 与D 的延长线交于点E．连接，BE，