第25讲 特殊四边形-正方形与梯形（讲义）（原卷版）

第25 讲 特殊四边形-正方形与梯形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 正方形的性质与判定 题型01 根据正方形的性质求角度 题型02 根据正方形的性质求线段长 题型03 根据正方形的性质求面积 题型04 根据正方形的性质求坐标 题型05 与正方形有关的折叠问题 题型06 求正方形重叠部分面积 题型07 利用正方形的性质证明 题型08 添加一个条件使四边形是正方形 题型09 证明四边形是正方形 题型10 根据正方形的性质与判定求角度 题型11 根据正方形的性质与判定求线段长 题型12 根据正方形的性质与判定求面积 题型13 根据正方形的性质与判定证明 题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题 题型15 与正方形有关的规律探究问题 题型16 与正方形有关的动点问题 题型17 正方形与一次函数的综合应用 题型18 正方形与反比例函数的综合应用 题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用 题型20 正方形与二次函数综合应用 考点二 四边形之间的区别与联系 题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解 考点三 梯形的性质与判定 题型01 等腰三角形的性质求解 题型02 等腰三角形的判定求解 题型03 解决梯形问题的常用方法 考点要求 新课标要求 命题预测 正方形的性质 与判定  探索并证明正方形的性质定理  探索并证明正方形的判定定理 正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何 图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计 2024 年各地中考还将出现 其中，正方还经常成为综合压轴 题的问题背景来考察，而正方其他出题类型还有选择、填空 题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视解答题中考查正 方形的性质和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解 直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较 大． 四边形之间的 区别和联系  理解矩形、菱形、正方形之间的关 系 梯形的性质与 判定  理解梯形的概念 考点一 正方形的性质与判定 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 3）正方形对边平行且相等 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【补充】正方形对角线与边的夹角为45° 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直； 或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证 明它有一个角为直角和一组邻边相等． 正方形的面积公式： a 2＝对角线乘积的一半=2S△B=4S△B 正方形的周长公式：周长= 4 a O C A B D 题型01 根据正方形的性质求角度 【例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如图，点E、F、G 分别是正方形ABCD的边AD、BC、 AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF=DG，DE=2 AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为 （ ） ．α B．2α ．45°−α D．45°+α 【变式1-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、 ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD=¿ ． 【变式1-2】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内，以 AB为边做正方形ABGH，则∠CBG= ． 【变式1-3】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，延长BC至点F，使得CF=CA，连 接AF交CD于点E，则∠AED的度数为 ． 题型02 根据正方形的性质求线段长 【例2】（2024·福建三明·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接AC ，BE， 点M , N分别在BE , AC上，且BM=1 3 ME，CN=1 3 AN，则MN的长为（ ） ．3 ❑ √2 2 B．5 2 ．2❑ √2 D．3 【变式2-1】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，正方形ABCD的对角线AC ，BD交于点，M 是边AD上 一点，连接OM，过点作ON ⊥OM交CD于点，若四边形MOND的面积是4，则AB的长为（ ） ．2 B．2❑ √2 ．4 D．4 ❑ √2 【变式2-2】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，边长分别为2 和6 的正方形ABCD和CEFG并排放在 一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P．则¿=¿（ ） ．❑ √2 B．2❑ √2 ．1 D．2 【变式2-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一 个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） ．9 B．6 ．1 D．3 【变式2-4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）已知：正方形ABCD边长为 3，E 为直线AD上一点，AE=1，连接CE，CE所在直线与AB所在直线交于点F．则AF=¿ ． 题型03 根据正方形的性质求面积 【例3】（2024·重庆大渡口·统考一模）一个正方形的边长为2，它的面积为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【变式3-1】（2023·广东汕尾·三模）如图，大正方形中有2 个小正方形，这两个小正方形的面积分别是S1 和S2，则 S1 S2 的值是（ ） ．9 8 B．8 9 ．1 D．5 4 【变式3-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，一块正方形地砖的图是由4 个全等的五 边形和1 个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为❑ √10−2， 则这块地砖的面积为（ ） ．50 B．40 ．30 D．20 【变式3-3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当 内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形 ABC ' D '，如果∠DA D '=30°，那么菱形ABC ' D '与正方形ABCD的面积之比是（ ） ．1 B．3 4 ． ❑ √3 2 D． ❑ √3 4 【变式3-4】（2023·四川成都·校考三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH 拼成一个大正方形ABCD，连接AF和CH , AF=AB．现随机向正方形ABCD内掷一枚小针，则针尖落在 阴影区域的概率为 ． 题型04 根据正方形的性质求坐标 【例4】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在正方形ABCD中，已知点A (0，3)，B (5，3)．将正方形 ABCD绕点A顺时针旋转角度α (0<α<180° )后，点B的对应点B '恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C '的 坐标为（ ） ．(7，4 )或(5，−2) B．(7，4 )或(5，−2)或(−1，−4 ) ．(5，−2)或(−1，−4 ) D．(7，4 )或(4，7) 【变式4-1】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形ABCO为正方形，点的坐标为(1,❑ √3)，将正 方形绕点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023 次旋转结束时，点所到位置的坐标为（ ） ．(❑ √3,−1) B．(−1,−❑ √3) ．(−1,❑ √3) D．(❑ √3,1) 【变式4-2】（2019·山东聊城·校联考一模）如图，将边长为❑ √3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得 到正方形A ' BC ' D ' , AD与C ' D '交于点M，那么图中点M的坐标为（ ） ．(❑ √3,1) B．(1,❑ √3) ．( ❑ √3, ❑ √3 2 ) D．( ❑ √3 2 ,❑ √3) 【变式4-3】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点为 A (−2,0)，B (2,0)．半圆与正方形ABCD组成一个新的图形，点M 为´ DC（靠近点D）的三等分点，将此 组合图形绕点顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023 次旋转结束时，点M 的坐标为（ ） ．(2+❑ √3,−1) B．(−2−❑ √3,−1) ．(−4+❑ √3,−1) D．(−4−❑ √3,−1) 【变式4-4】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点、B 分别在x 轴、y 轴负半轴上，点的坐标为(−2,0), tan∠DAO=1 2，求点B 的坐标． 题型05 与正方形有关的折叠问题 【例5】（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2，将其沿EF翻折，使 ∠EFC=120°，顶点B恰好落在线段AD上的点G处，点C的对应点为点H．则线段AE的长为 ． 【变式5-1】（2023·广西南宁·统考三模）如图，四边形ABCD为正方形纸片，E 是边CB的中点，连接 DE，P 是边CD上一点，将纸片沿着AP折叠，使点D 落在DE上的F 点处，则DF EF 为 ． 【变式5-2】（2023·山东泰安·东平县实验中学统考三模）四边形ABCD是边长为9 的正方形纸片，将其沿 MN折叠，使点B 落在CD边上的B '处，点对应点为A '，且S△A ' ME:S△CN B '=1:4，则AM的长是 ． 【变式5-3】（2023·安徽池州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，G 为AD边上一点，将△ABG沿BG 翻折到△FBG处，延长GF交CD边于点E，过点F 作FH ∥BC分别交BG，AB，CD于点，P，Q，请完 成下列问题： （1）∠EBG=¿ ． （2）若FH=1 2 BC=8，则BP=¿ ． 【变式5-4】（2023·广东茂名·三模）如图，正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠， 得到△AFE，延长EF交边CD于点P． (1)求证：DP=FP； (2)若AB=6，求CP的长． 【变式5-5】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过 点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF=¿ 度； （2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上， 则①∠AEF=¿ 度； ②若AB=❑ √3，求线段AP的长； （3）如图3，在矩形ABCD中，AD=nAB，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折 叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE=1，AB=a，则DF AB =¿ （用含a、n的代数式表示结果）． 题型06 求正方形重叠部分面积 【例6】（2020·河北·校联考二模）在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形几何中心重合，如图 ，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积 ① S=2×1=2． 甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式； 甲：矩形绕着几何中心旋转，从图 到图 的过程中，重叠面积 ② ③ S大小不变． 乙：如图 ，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大 ④ 于图 的重叠面积． ③ 丙：如图 ，将图 中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面 ⑤ ④ 积是5个图形中最小的． 下列说法正确的是（ ） ．甲、乙、丙都对 B．只有乙对 ．只有甲不对 D．甲、乙、丙都不对 【变式6-1】（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4 的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方 形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式6-2】（2021·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点O又是 正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为S1，正方 形ABCD的面积为S2，通过探索，我们发现：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，始终有S1=¿ S2． 【变式6-3】（2021·山东临沂·校考一模）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图， 每块大正方形地砖的面积为，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 BD．则正方形BD 的面积为 （用含，b 的代数式表示）． 题型07 利用正方形的性质证明 【例7】（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E以 相同的速度分别从点D，C同时出发向点C，B运动（任何一个点到达终点时，两点都停止运动）连接AE， BF，AE与BF交于点P，过点P分别作PM ∥CD交BC于点M，PN ∥BC交CD于点N，连接MN，在运 动过程中， （1）AE和BF的数量关系为 ； （2）MN长度的最小值为 ． 【变式7-1】（2024·福建三明·统考一模）如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，点E在射线 CD上，AC交BE于点O，GH ⊥AB交AB延长线于点H． (1)若D为CE的中点，求证：OE=2OB； (2)求证：AB=BH． 【变式7-2】（2022·湖北武汉·校考一模）如图，在正方形ABCD中，E 是CD边上一点，若AB+CE=AE， 以BC为直径作半圆⊙O． (1)求证：AE与⊙O相切； (2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积． 【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E 是AB边上一点，DF与 BC交于点M，延长EM交GF于点，连接CG． (1)求证：CD⊥CG； (2)若tan∠MEN=1 3，求MN EM 的值； (3)已知正方形ABCD的边长为1，点E 在运动过程中，EM的长能否为1 2，请说明理由． 题型08 添加一个条件使四边形是正方形 【例8】（2022·广西河池·校联考二模）一个四边形顺次添 加下列中的三个条件便得到正方形： 两组对边分别相等 b 一组对边平行且相等 一组邻边相等 d 一个角是直角 顺次添加的条件：①→→d② b→d→③ →b→ 则正确的是：（ ） ．仅① B．仅③ ．①② D．②③ 【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交，添加下列条件 不能判定矩形ABCD是正方形的是（ ） ．AB=BC B．AC=BD ．AC ⊥BD D．∠1=∠2 【变式8-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）四边形BD 的对角线、BD 相交于点，D∥B，D＝B，使四边形BD 为正方形，下列条件中： ＝ ① BD；②B＝D； ③B＝D；④⊥BD．需要满足（ ） ．①② B．②③ ．②④ D． 或 ①② ①④ 【变式8-3】（2021·山东青岛·青岛经济技术开发区第四中学校考一模）如图，四边形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，D//B，OA=OC，AC平分∠BAD．欲使四边形ABCD是正方形，则还需添加 （写出一个合适的条件即可） 题型09 证明四边形是正方形 【例9】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，在 中， ⊙ B、是互相垂直且相等的两条弦，D⊥B，E⊥，垂足 分别为D、E． (1)求证：四边形DE 是正方形； (2)若=2m，求 的半径． ⊙ 【变式9-1】（2021·湖南娄底·统考一模）如图，已知平行四边形BD，若M，是BD 上两点，且BM＝D， ＝2M， （1）求证：四边形 M 是矩形； （2）△B 满足什么条件，四边形M 是正方形，请说明理由． 【变式9-2】（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，已知四边形BD 是正方形，B＝4 ❑ √2，点E 为对角线上一 动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交射线B 于点F，以DE，EF 为邻边作矩形DEFG，连G． (1)求证：矩形DEFG 为正方形； (2)求证：E＋G＝8 【变式9-3】（2022·山东枣庄·统考一模）问题解决：如图，在矩形BD 中，点E，F 分别在B，B 边上， DE=AF，DE⊥AF于点G． (1)求证：四边形BD 是正方形； (2)延长B 到点，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 题型10 根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（2023·福建宁德·统考一模）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使顶点B 落在AD上点B '处；再将 矩形展平，沿AF折叠，使顶点B 落在AE上点G 处，连接DE． 小明发现△DEC可以由△AFG绕某一 点顺时针旋转α (0°<α<180° )得到，则α=¿ °． 【变式10-1】（2021·北京海淀·统考二模）如图所示的格是正方形格，，B，，D 是格线交点，则∠BAC 与∠DAC的大小关系为：∠BAC ∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变式10-2】（2021·山东菏泽·统考一模）如图，点在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边 在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=¿ ． 【变式10-3】（2022·广东佛山·校考一模）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC， 过点E作EF ∥AC，交BD于点F，连接CF ，DE． (1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形； (2)如图2，当∠≝¿90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中度数为 ∠ABD的度数2 倍的角． 题型11 根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（2022·广东·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，B==5，点D在AC上，且 AD=2，点E 是B 上的动点，连结DE，点F，G 分别是B，DE 的中点，连接AG，FG，当G=FG 时，线 段DE长为（ ） ．❑ √13 B．5