第24讲 特殊四边形-菱形（讲义）（解析版）

第24 讲 特殊四边形-菱形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 菱形的性质与判定 题型01 利用菱形的性质求角度 题型02 利用菱形的性质求线段长 题型03 利用菱形的性质求周长 题型04 利用矩形的性质求面积 题型05 利用矩形的性质求坐标 题型06 利用矩形的性质证明 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形 题型08 证明四边形是菱形 题型09 根据菱形的性质与判定求角度 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长 题型11 根据菱形的性质与判定求面积 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题 题型13 与菱形有关的新定义问题 题型14 与菱形有关的规律探究问题 题型15 与菱形有关的动点问题 题型16 菱形与一次函数综合 题型17 菱形与反比例函数综合 题型18 菱形与一次函数、反比例函数综合 题型19 菱形与二次函数综合 考点要求 新课标要求 命题预测 菱形的性质与 判定  探索并证明菱形的性质 定理  探索并证明菱形的判定 定理 菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何 图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计 2024 年各地中考还将出现菱形的考察类型比较多样，其中 选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱形 的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次 函数、动态问题综合应用的可能性比较大． 考点一 菱形的性质与判定 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱 形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心 菱形的判定： 1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形 3）四条边相等的四边形是菱形 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角 线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 菱形的面积公式：S==对角线乘积的一半（其中为边长，为高） 菱形的周长公式：周长l=4（其中为边长） 题型01 利用菱形的性质求角度 【例1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠1=15°，则∠D=¿（ ） ．115° B．150° ．125° D．130° 【答】B 【分析】根据菱形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB=2∠1，AB∥DC， ∴∠DAB+∠D=180°， ∵∠1=15°， ∴∠DAB=30°， ∴∠D=180°−∠DAB=180°−30°=150°， 故选：B． 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形邻角互补和每一条对角线平分一组对角解答． 【变式1-1】（2023·陕西西安·一模）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数 是（ ） ．40° B．60° ．80° D．100° 【答】 1 对于菱形的定义要注意两点:是平行四边形;b 一组邻边相等 2 定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形 3 菱形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算 4 在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题， 5 在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的1 2 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得出答． 【详解】解： 纸片是菱形 ∵ ∴对边平行且相等 ∴∠1=80°（两直线平行，内错角相等） 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是要知道两直线平行，内错角相等． 【变式1-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分 别交BC ,CD于点E，F． 若∠EAF=60°，则∠D的度数为 ． 【答】80°/ 80度 【分析】证△ABE △ADF( AAS)，得∠BAE=∠DAF，设∠B=∠D=x，则∠AEB=∠B=x， ∠DAF=∠BAE=180°−2 x，再由∠B+∠BAD=180°求出x=80°，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=BC=DC， 由题意得：AB=AE，AD=AF， ∴∠AEB=∠B， ∠AFD=∠D， ∴∠AEB=∠B=∠AFD=∠D， 在△ABE和△ADF中， ¿ ∴△ABE≌△ADF ( AAS) ， ∴∠BAE=∠DAF， 设∠B=∠D=x，则∠AEB=∠B=x， ∴∠DAF=∠BAE=180°−2 x， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AD∥BC ∴∠B+¿ ∠BAD=180°， 即x+180°−2 x+60°+180°−2 x=180°， 解得：x=80°， ∴∠D=80°， 故答为：80°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式1-3】（2020·吉林长春·统考二模）如图，菱形BD 中，交BD 于，DE⊥B 于E，连接E，若 ∠B=124°，则∠ED= 度． 【答】28 【分析】由菱形的性质可得∠BD=∠BD=1 2∠B=62°，B=D，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解： 四边形 ∵ BD 是菱形，∠B=124°， ∴∠BD=∠BD=1 2∠B=62°，B=D， ∴∠BDE=28°, ∵DE⊥B， ∴E=D=B，∠BDE=28°， ∴∠DE=∠ED=28°， 故答为：28． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式1-4】（2023·湖南永州·统考一模）如图，菱形ABCD中，∠CBD=75，分别以A、B为圆心，大 于AB的一半长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点E，交AD于点F， 连接BF，求∠DBF的度数． 【答】∠DBF ¿45° 【分析】根据菱形的性质，以及垂直平分线的性质，求出∠ABD，∠ABF，再利用角的和差定义即可解 决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠CDB=∠ADB=∠ABD=∠CBD=75°， ∴∠A=180°−75°−75°=30°， 由作图可知，EF垂直平分线段AB， ∴FA=FB， ∴∠FBA=∠A=30°， ∴∠DBF=∠ABD−∠ABF=45°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等角对角对等边，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型02 利用菱形的性质求线段长 【例2】（2022·安徽·合肥38 中校考模拟预测）如图在菱形ABCD中，AD=12，对角线AC和BD交于点， 点E，F 分别是OD和OC的中点，AE与BF交于点G，则EF的长为 ． 【答】6 【分析】根据条件可判断EF为△COD的中位线，则EF=1 2 CD计算即可． 【详解】 点 ∵ E，F 分别是OD和OC的中点， ∴EF是△COD的中位线， ∴EF=1 2 CD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD=12， ∴EF=1 2 CD=6． 【点睛】本题主要考查中位线性质和判定，菱形的性质，能够判定中位线并应用性质是解题的关键． 【变式2-1】（2023·浙江·模拟预测）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为4 ❑ √3，则另一条对角 线的长为 ． 【答】4 或12 【分析】题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以应分两种情况进行分析求解． 【详解】解：如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°， 若AC=4 ❑ √3， ∵AC ⊥BD，∠ABF=1 2 ∠ABC=30°，AF=1 2 AC=2❑ √3,BF=1 2 BD， ∴BF= AF tan30° =2❑ √3×❑ √3=6， ∴BD=2BF=12； 若BD=4 ❑ √3， ∵AC ⊥BD，∠ABF=1 2 ∠ABC=30°，AF=1 2 AC ,BF=1 2 BD=2❑ √3， ∴AF=BF ⋅tan30°=2， ∴AC=2 AF=4； 故答为：4 或12． 【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形，熟练掌握菱形的性质、灵活应用分类思想是关键． 【变式2-2】（2022·湖南长沙·校考二模）如图，四边形ABCD是边长为5 的菱形，对角线AC，BD的长 度分别是一元二次方程x 2−2 (m+1) x+8m=0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH=¿ ． 【答】24 5 /4 4 5 /4.8 【分析】根据菱形的性质得出AB=5，AC ⊥BD，AC=2 AO，BD=2BO，求出∠AOB=90°，根据 勾股定理得出A O 2+BO 2=25，根据根与系数的关系得出2 AO+2BO=2(m+1)，2 AO⋅2BO=8m， 变形后代入求出m的值，即可得出答． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=5，AC ⊥BD，AC=2 AO，BD=2BO， ∴∠AOB=90°， ∴A O 2+BO 2=A B 2=5 2=25， ∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x 2−2(m+1)x+8m=0的两实数根， ∴2 AO+2BO=2(m+1)，2 AO⋅2BO=8m， ∴AO+BO=m+1，AO⋅BO=2m， ∴A O 2+BO 2=( AO+BO) 2−2 AO×BO=25， ∴(m+1) 2−4 m=25， 解得：m1=6，m2=−4， ∴当m=−4时，AO⋅BO=−8<0，不符合题意，舍去， 即m=6， 则AO⋅BO=12，AC ⋅BD=2 AO⋅2BO=4 AO⋅BO=48， ∵DH是AB边上的高， ∴S菱形ABCD=AB⋅DH=1 2 AC ⋅BD， ∴5 DH=1 2 ×48， ∴DH=24 5 ． 故答为：24 5 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m的方程是解此 题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直． 【变式2-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC 、BD 交于点，点E 在线段OD上，连接CE，若BE=CD=2 DE，AC=2❑ √7，则CE的长为 ． 【答】2❑ √2 【分析】设BE=CD=2 DE=x，则BD=3 2 x，由菱形的性质可得AC ⊥BD，OD=1 2 BD= 3 4 x， OC=1 2 AC=❑ √7，由勾股定理列方程求得x，即可求解． 【详解】解：设BE=CD=2 DE=x，则DE=1 2 x，BD=3 2 x 由菱形的性质可得AC ⊥BD，OD=1 2 BD= 3 4 x，OC=1 2 AC=❑ √7， 在Rt △OCD中，OC 2+O D 2=C D 2，即( 3 4 x) 2 +7=x 2 解得x=4，（负值舍去） ∴DE=2，OD=3 ∴OE=1 由勾股定理可得：CE= ❑ √OC 2+O E 2=2❑ √2 故答为：2❑ √2 【点睛】此题考查了勾股定理，菱形的性质，解题的关键是利用勾股定理以及菱形的性质正确求得OE的 长度． 【变式2-4】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=2，BD=1，AC， BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF ⊥CE交CE于点F，则OF的长度 为 ． 【答】2❑ √5 5 /2 5 ❑ √5 【分析】由菱形的性质和勾股定理可求AB的长，由面积法可求CE的长，通过证明△OCF ∽△ACE，可 得OC AC =CF CE =1 2，可求CF的长，由勾股定理可求OF的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=1，BO=1 2，AC ⊥BD，AC=2，BD=1， ∴AB= ❑ √A O 2+BO 2=❑ √ 1 2+( 1 2) 2 = ❑ √5 2 ， ∵S菱形ABCD=1 2 × AC ×BD=AB×CE， ∴1 2 ×2×1= ❑ √5 2 CE， ∴CE=2❑ √5 5 ， ∵∠OFC=∠AEC=90°，∠ACE=∠OCF， ∴△OCF ∽△ACE， ∴OC AC =CF CE =1 2， ∴CE=2CF， ∴CF=EF= ❑ √5 5 ， ∴OF= ❑ √OC 2−C F 2= ❑ √ 1 2−( ❑ √5 5 ) 2 =2❑ √5 5 ． 故答为：2❑ √5 5 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，求出CE的 长是本题的关键． 题型03 利用菱形的性质求周长 【例3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC， 若AB=6，AD=8，则四边形OCED的周长是( ) ．10 B．20 ．28 D．30 【答】B 【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四 边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO 为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=6，AD=8， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°， ∴OA=OB=OC=OD=1 2 AC=1 2 × ❑ √6 2+8 2=1 2 ×10=5， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形DECO为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形DECO为菱形， ∴OD=DE=EC=OC=5， 则四边形OCED的周长为5+5+5+5=20， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 【变式3-1】（2023·广东汕头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点，B，在坐标轴 上，若点的坐标为(0,3)，∠D=60°，则菱形ABCD的周长为（ ） ．13 B．14 ．15 D．8 ❑ √3 【答】D 【分析】四边形ABCD是菱形，∠D=60°，则∠ABC=∠D=60°，AB=CD=BC=AD，在 Rt △ABO中，AB=2❑ √3，即可得到答． 【详解】解： 四边形 ∵ ABCD是菱形，∠D=60°， ∴∠ABC=∠D=60°，AB=CD=BC=AD， ∵点的坐标为(0,3)， ∴OA=3， 在Rt △ABO中，AB= AO sin∠ABO = 3 sin 60° =2❑ √3， ∴菱形ABCD的周长为4 AB=4×2❑ √3=8 ❑ √3, 故选：D 【点睛】此题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式3-2】（2023·河南商丘·统考一模）如图，菱形ABCD中，点E，F，G 分别为AB，AD，CD的中 点，EF=4，FG=3，则菱形ABCD的周长为（ ） ．12 B．16 ．18 D．20 【答】D 【分析】连接EG，根据菱形的性质可得AE=EB=AF=FD=DG=GC，从而可证∠AEF=∠AFE， ∠DFG=∠DGF，再由三角形的内角和和等量代换即可得出∠AFE+∠DFG=90°，从而可得 ∠EFG=90°，再利用勾股定理求出EG=5，证明四边形BCGE是平行四边形，可得BC=EG=5，最后 进行计算即可． 【详解】解：连接EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=BC=AB，AB∥DC，AD∥BC， ∵点E，F，G 分别为AB，AD，CD的中点， ∴AE=EB=AF=FD=DG=GC， ∴∠AEF=∠AFE，∠DFG=∠DGF， ∵AB∥DC， ∴∠A+∠D=180°， 又∵∠A+∠AEF+∠AFE=∠A+2∠AFE=180°， ∠D+∠DFG+∠DGF=∠D+2∠DFG=180°， ∴2∠AFE+2∠DFG=180°， ∵∠AFE+∠DFG=90°， ∴∠EFG=90°， ∵EF=4，FG=3， 在Rt △EFG中，EG= ❑ √3 2+4 2=5， ∵BE∥CG，BE=CG， ∴四边形BCGE是平行四边形， ∴EG=BC=5， ∴S 菱形ABCD=4×BC=4×5=20， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、三角形的内角和定理、 三角形的性质、平行线的性质及平行四边形的判 定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式3-3】（2023·湖南永州·校考二模）如图，在菱形ABCD中，M 、N分别为AB 、AC的中点，若 MN=3，则菱形ABCD的周长为 ． 【答】24 【分析】由三角形中位线定理可求BC长为MN长的2 倍，那么菱形ABCD的周长等于4 BC，由此问题得 解． 【详解】解： 点 ∵ M，N分别为AB，AC的中点，MN=3， ∴BC=2 MN=6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=6， ∴菱形ABCD周长为：6×4=24． 故答为：24． 【点睛】本题考查了菱形的四边相等的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质． 熟记各性质是解答本题的关键． 【变式3-4】（2023·湖南长沙·长沙市南雅中学统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC 、BD交于 点，点E，F 分别为边AB，AD上的中点，连接EF． (1)求证：AC ⊥EF； (2)若EF=6，tan∠AEF=1 3，求菱形ABCD的周长． 【答】(1)见解析 (2)8 ❑ √10 【分析】（1）根据菱形的性质以及三角形中位线的性质，求证即可； （2）根据中位线的性质，求得BD，再根据三角函数求得OA，勾股定理求得AB，即可求解． 【详解】（1）证明： 四边形 ∵ ABCD为菱形， ∴AC ⊥BD， ∵点E、F为AB 、AD中点， ∴EF ∥BD， ∴AC ⊥EF； （2）解：点E、F为AB 、AD中点， ∴EF ∥BD，EF=1 2 BD ∴∠ABO=∠AEF ，BD=2 EF=2×6=12 ∵四边形ABCD为菱形 ∴OB=1 2 BD=6 在Rt △ABO中，tan∠ABO=tan∠AEF=1 3=OA OB ∴OA=2， 由勾股定理得：AB= ❑ √O A 2+O B 2= ❑ √2 2+6 2=2❑ √10 ∴菱形ABCD的周长为4 AB=8 ❑ √10 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础 性质． 题型04 利用矩形的性质求面积 【例4】（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）一个菱形的周长是20