第24讲 特殊四边形-菱形（练习）（解析版）

第24 讲 特殊四边形-菱形 目 录 题型01 利用菱形的性质求角度 题型02 利用菱形的性质求线段长 题型03 利用菱形的性质求周长 题型04 利用矩形的性质求面积 题型05 利用矩形的性质求坐标 题型06 利用矩形的性质证明 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形 题型08 证明四边形是菱形 题型09 根据菱形的性质与判定求角度 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长 题型11 根据菱形的性质与判定求面积 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题 题型13 与菱形有关的新定义问题 题型14 与菱形有关的规律探究问题 题型15 与菱形有关的动点问题 题型16 菱形与反比例函数综合 题型17 菱形与一次函数、反比例函数综合 题型18 菱形与二次函数综合 题型01 利用菱形的性质求角度 1．（2021·河北唐山·统考一模）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以 调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB=20cm，则∠DAB的度数是（ ） ．90° B．100° ．120° D．150° 【答】 【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得AB=BC , AD // BC，再根据全等的性质可得 AC=1 3 AE=20cm，然后根据等边三角形的判定与性质可得∠B=60°，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】如图，连接 ∵四边形BD 是菱形 ∴AB=BC=20cm, AD // BC ∵如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，AE=60cm ∴AC=1 3 AE=20cm ∴AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵AD // BC ∴∠DAB=180°−∠B=180°−60°=120° 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌 握菱形的性质是解题关键． 2．（2021·广东深圳·统考一模）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） ．4: 1 B．5: 1 ．6: 1 D．7: 1 【答】B 【分析】如图，为菱形BD 的高，＝2，利用菱形的性质得到B＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠＝ 150°，从而得到∠：∠B 的比值． 【详解】解：如图，为菱形BD 的高，＝2， ∵菱形的周长为16， B ∴＝4， 在Rt B △ 中，sB＝AH AB ＝2 4 =1 2， B ∴∠＝30°， B D ∵∥， ∴∠＝150°， ∴∠：∠B＝5：1． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对 角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用． 3．（2021·河北·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于1 2 AB的长为半径，分别以点A， B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则 ∠EBD的度数为 ． 【答】45° 【分析】根据题意知虚线为线段B 的垂直平分线，得E=BE，得∠EBA=∠EAB；结合∠A=30°， ABD=1 2 ∠ABC=75°，可计算∠EBD的度数． 【详解】∠ABC=180°−30°=150° ABD=1 2 ∠ABC=75° ∵AE=EB ∴∠EAB=∠EBA ∴∠EBD=75°−30°=45° 故答为：45°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 4．（2021·浙江温州·统考一模）如图，在菱形BD 中，E⊥B 于点E，F⊥D 于点F． (1)求证：BE＝DF． (2)当∠BD＝110°时，求∠EF 的度数． 【答】(1)证明见解析 (2)∠EF =70° 【分析】(1)根据菱形的性质可得B = D，∠B=∠D，然后利用S 证明△BE≌△DF 即可得结论； (2)根据菱形的性质和∠BD= 110°，即可求∠EF 的度数． 【详解】（1）证明：∵ E⊥B， F⊥D， ∴∠EB=∠FD， ∵四边形BD 是菱形， ∴B= D，∠B=∠D， 在△BE 和△DF 中， ∠EB=∠FD，∠B=∠D，B= D ∴△BE≌△DF (S)， ∴BE= DF； （2）∵四边形BD 是菱形， ∴D// B， ∴∠BD+∠B= 180° ， ∵∠BD= 110°， ∴∠B= 70° ∵E⊥B， ∴∠EB= 90°， ∴∠BE= 20°， ∴∠DF= 20° ， ∴∠EF=∠BD-∠BE-∠DF= 110°- 20°- 20°= 70° 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△BE 和△DF 全等是解题的关键． 题型02 利用菱形的性质求线段长 5．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形BD 中，B＝5，＝6，过点D 作DE⊥B，交B 的延长线于点 E，则线段DE 的长为（ ） ．12 5 B．18 5 ．4 D．24 5 【答】D 【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高DE即 可． 【详解】解：记与BD 的交点为O， ∵菱形ABCD,AC=6, ∴AC ⊥BD ,OA=OC=3,OB=OD , ∵AB=5, ∴OB= ❑ √5 2−3 2=4 ,BD=8, ∴ 菱形的面积¿ 1 2 ×6×8=24 , ∵DE⊥AB , ∴ 菱形的面积¿ AB• DE , ∴5 DE=24 , ∴DE=24 5 . 故选D． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会 用等面积法是解题关键． 6．（2021·黑龙江大庆·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH ⊥AB 于点H，连接OH，若OA=6，S 菱形ABCD=48，则OH的长为（ ） ．4 B．8 ．❑ √13 D．6 【答】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形BD 是菱形， ==6 ∴ ，B=D，S 菱形BD= AC ×BD 2 =48， BD=16 ∴ ， D B ∵⊥，B=D=8， = ∴1 2BD=4． 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解 决问题． 7．（2021·广东中山·校联考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC ,BD相交于点，点E 在OB上，连接AE， 点F 为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 ． 【答】2❑ √5 【分析】先根据菱形的性质找到Rt△E 和Rt△B，然后利用勾股定理计算出菱形的边长B 的长，再根据中位 线性质，求出F 的长． 【详解】已知菱形BD，对角线互相垂直平分， ∴⊥BD，在Rt△E 中， ∵E=3，=4， ∴根据勾股定理得AE= ❑ √3 2+4 2=5， ∵E=BE， ∴OB=AE+OE=8， 在Rt△B 中AB= ❑ √4 2+8 2=4 ❑ √5， 即菱形的边长为4 ❑ √5， ∵点F 为CD的中点，点为DB 中点， ∴OF=1 2 BC=2❑ √5 ． 故答为2❑ √5 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定 理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 8．（2021·湖北荆州·统考一模）如图，在菱形BD 中，B＝6，∠B＝60°，点E 在边D 上，且E＝2．若直线 l 经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF 的长为 ． 【答】2❑ √7． 【分析】过点和点E 作G⊥B，E⊥B 于点G 和，可得矩形GE，再根据菱形BD 中，B＝6，∠B＝60°，可得 BG＝3，G＝3❑ √3＝E，由题意可得，F＝F﹣＝2 1 ﹣＝1，进而根据勾股定理可得EF 的长． 【详解】解：如图，过点和点E 作G⊥B，E⊥B 于点G 和， 得矩形GE， ∴G＝E＝2， ∵在菱形BD 中，B＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，G＝3❑ √3＝E， ∴＝B﹣BG﹣G＝6 3 2 ﹣﹣＝1， ∵EF 平分菱形面积， ∴F＝E＝2， ∴F＝F﹣＝2 1 ﹣＝1， 在Rt△EF 中，根据勾股定理，得 EF＝❑ √EH 2+FH 2＝❑ √27+1＝2❑ √7． 故答为：2❑ √7． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 题型03 利用菱形的性质求周长 9．（2021·湖北黄石·统考模拟预测）若菱形BD 的一条对角线长为8，边D 的长是方程x2 10 ﹣ x+24＝0 的一 个根，则该菱形BD 的周长为（ ） ．16 B．24 ．16 或24 D．48 【答】B 【分析】解方程得出x＝4 或x＝6，分两种情况：①当B＝D＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形；②当B＝D ＝6 时，6+6＞8，即可得出菱形BD 的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形BD 是菱形， ∴B＝B＝D＝D， ∵x2 10 ﹣ x+24＝0， 因式分解得：（x 4 ﹣）（x 6 ﹣）＝0， 解得：x＝4 或x＝6， 分两种情况： ①当B＝D＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当B＝D＝6 时，6+6＞8， ∴菱形BD 的周长＝4B＝24． 故选：B． 【点睛】 本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题 的关键． 10．（2021·辽宁大连·统考一模）菱形的两条对角线长分别是6 和8，则此菱形的周长是（ ） ．5 B．20 ．24 D．32 【答】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再 根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图所示，根据题意得＝1 2 ×8=4，B＝1 2 ×6=3， ∵四边形BD 是菱形， B ∴＝B＝D＝D，⊥BD， B ∴△ 是直角三角形， B ∴＝❑ √A O 2+BO 2=❑ √16+9=5， ∴此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握 菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 11．（2021·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）若菱形一条对角线长为8，其边长是方程 x 2−10 x+24=0的一个根，则菱形的周长为 【答】24 【分析】解方程得出x=4，或x=6，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；② 当AB=AD=6时，6+6>8，即可得出菱形ABCD的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵x 2−10 x+24=0， 分解得：( x−4)( x−6)=0， 解得：x=4或x=6， 分两种情况： ①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形； ②当AB=AD=6时，6+6>8， ∴菱形ABCD的周长¿4 AB=24． 故答为：24． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三 角形的三边关系得出AB是解决问题的关键． 12．（2021·广东湛江·统考三模）如图，在菱形BD 中，与BD 交于点E，F 是B 的中点，如果EF＝3，那 么菱形BD 的周长是 ． 【答】24 【分析】由菱形的性质得B＝B＝D＝D，E＝E，再证EF 是△B 的中位线，得B＝2EF＝2×3＝6，即可求解． 【详解】解：∵四边形BD 是菱形， ∴B＝B＝D＝D，E＝E， ∵F 是B 的中点， ∴EF 是△B 的中位线， ∴B＝2EF＝2×3＝6， ∴菱形BD 的周长＝4×6＝24． 故答为：24． 【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 题型04 利用矩形的性质求面积 13．（2021·广西百色·统考二模）如图，在菱形BD 中，对角线，BD 交于点，其中＝1，B＝2，则菱形BD 的面积为 ． 【答】4 【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答． 【详解】解：∵＝1，B＝2， ∴＝2，BD＝4， ∴菱形BD 的面积为1 2×2×4＝4． 故答为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质,关键在于熟练掌握基础知识 14．（2021·湖南长沙·二模）如图，在△BD 中，∠DB＝90°，∠＝30°，B＝10，点E 是边B 的中点．分别以 点B，D 为圆心，以BE 的长为半径画弧，两弧交于点，连接B，D，则四边形BDE 的面积为 ． 【答】25 ❑ √3 2 /25 2 ❑ √3 【分析】由题意得BE=5，BD=5，DE 是△BD 的中线，则DE=1 2 AB=5，根据尺规作图的过程得 BC=DC=BE，则BE=DE=DC=BC=5，即可判定四边形BDE 是菱形，又因为BE=BD=DE=5， 所以△BDE是等边三角形，过点E 作EF ⊥BD，根据勾股定理求出BF=5 ❑ √3 2 ，即可得求出四边形BDE 的面积． 【详解】解：在△BD 中，∠DB＝90°，∠＝30°，B＝10，点E 是边B 的中点， ∴BE=1 2 AB=5，BD=1 2 AB=5，DE 是△BD 的中线， ∴DE=1 2 AB=5， 根据尺规作图的过程得，BC=DC=BE， ∴BE=DE=DC=BC=5， ∴四边形BDE 是菱形， ∵BE=BD=DE=5， ∴△BDE是等边三角形， 过点E 作EF ⊥BD， 则EF=1 2 BD=5 2， 在Rt △BED中，根据勾股定理得， BF= ❑ √B E 2−B F 2= ❑ √5 2−( 5 2 ) 2 =5 ❑ √3 2 ， ∴四边形BDE 的面积= 2S△BDE=2× 1 2 ×5× 5 ❑ √3 2 =25 ❑ √3 2 ， 故答为：25 ❑ √3 2 ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些 知识点． 15．（2021·新疆乌鲁木齐·校考二模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 为B 的中点，AE∥DC， CE∥DA． (1)求证：四边形DE 是菱形； (2)连接DE，若AC=2❑ √3，B＝2，求菱形DE 的面积． 【答】(1)证明见解析 (2)2❑ √3 【分析】（1）先根据平行四边形的判定可证出四边形ADCE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的 中线可得AD=CD，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据三角形的面积公式可得S△ACD=1 2 S△ABC，再根据菱形的性质可得S 菱形ADCE=2S△ACD，由此 即可得． 【详解】（1）证明：∵AE∥DC ,CE∥DA， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵在Rt △ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴AD=CD， ∴四边形ADCE是菱形． （2）解：如图，连接DE， ∵∠ACB=90° , AC=2❑ √3,BC=2， ∴S△ABC=1 2 AC ⋅BC=2❑ √3， ∵D为AB的中点， ∴S△ACD=1 2 S△ABC=❑ √3， 由（1）已证：四边形ADCE是菱形， ∴S 菱形ADCE=2S△ACD=2❑ √3， 即菱形ADCE的面积为2❑ √3． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握菱 形的判定与性质是解题关键． 16．（2021·广东汕头·统考一模）如图，四边形BD 是菱形，对角线、BD 相交于点，D B ⊥ 于，连接， （1）求证：∠D= D ∠． （2）若=4，BD=6，求菱形BD 的周长和面积． 【答】（1）见解析；（2）20，24 【分析】（1）根据菱形的性质可得D=B，B D ∥，BD⊥，从而得出D D ⊥，∠DB=90°，然后根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半可得=D=B，然后根据等边对等角可得解图中∠1= D ∠，然后根据同角的余 角相等和等量代换即可得出∠D= D ∠； （2）根据菱形的性质可得D=B=1 2BD=3，==4，BD⊥，然后根据勾股定理即可求出D，从而求出菱形的周 长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【详解】证明：（1）∵四边形BD 是菱形， D=B ∴ ，B D ∥，BD⊥， D B ∵⊥， D D ∴⊥，∠DB=90°， ∴为Rt△DB 的斜边DB 上的中线， =D=B ∴ ， 1= D ∴∠ ∠， D D ∵⊥， 1+ 2=90° ∴∠ ∠ ， BD ∵ ⊥， 2+ D=90° ∴∠ ∠ ， 1= D ∴∠ ∠， D= D ∴∠ ∠ （2）解：∵四边形BD 是菱形， D=B= ∴ 1 2BD=3，=2=8，BD⊥， 在Rt△D 中，D= ❑ √OC 2+O D 2=5 菱形的周长=4D=20， 菱形BD 的面积=1 2BD·=24． 【点睛】此题考查的是菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和菱形的面积公式， 掌握菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角、勾股定理和菱形的面积等于对 角线乘积的一半是解决此题的关键． 题型05 利用矩形的性质求坐标 17．（2021·河南洛阳·统考三模）如图，菱形B 的边在x 轴上，点B 坐标为（9，3），分别以点B、为圆心， 以大于1 2B 的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x 轴于点F，则点F 的坐标是（ ） ．（75，0） B．（65，0） ．（7，0） D．（8，0） 【答】B 【分析】如图，过点B 作B⊥x 轴于点，设＝B＝x．利用勾股定理求出x，可得结论． 【详解】如图，过点B 作B⊥x 轴于点，设＝B＝x． ∵B（9，3）， ∴B＝3，＝9，＝9﹣x， 在Rt△B 中，则有x2＝32+（9﹣x）2， ∴x＝5， ∴＝B＝B＝5， ∴（5，0）， ∴DE 垂直平分线段B， ∴F＝1 2B＝25， ∴F＝65， ∴F（65，0）， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 18．（2021·山东淄博·统考二模）如图，在直角坐标系中，点P 为菱形B 的对角线B、的交点，其中点B、 P 在双曲线y＝k x （x＞0）上．若点P 的坐标为（1，2），则点的坐标为（ ） ．（﹣1，10 3 ） B．