第23讲 特殊四边形-矩形（讲义）（原卷版）

第23 讲 特殊四边形-矩形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 矩形的性质与判定 题型01 利用矩形的性质求角度 题型02 利用矩形的性质求线段长 题型03 利用矩形的性质求面积 题型04 求矩形在坐标系中的坐标 题型05 根据矩形的性质证明 题型06 矩形的判定定理的理解 题型07 添加一个条件使四边形是矩形 题型08 证明四边形是矩形 题型09 根据矩形的性质与判定求角度 题型10 根据矩形的性质与判定求线段长 题型11 根据矩形的性质与判定求面积 题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题 题型13 与矩形有关的新定义问题 题型14 与矩形有关的规律探究问题 题型15 与矩形有关的动点问题 题型16 矩形与一次函数综合 题型17 矩形与反比例函数综合 题型18 矩形与二次函数综合 考点二 矩形的折叠问题 题型01 与矩形有关的折叠问题 类型一 沿对角线翻折（模型一） 类型二 将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二） 类型三 将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三） 类型四 矩形短边沿折痕翻折（模型四） 类型五 通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五） 类型六 将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六） 类型七 将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七） 类型八 其它 考点要求 新课标要求 命题预测 矩形的性 质与判定  探索并证明矩形的性质定理  探索并证明矩形的判定定理 矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中 难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024 年各地中 考还将出现 其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考 察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较 大，需要加以重视解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和 三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能 性比较大． 矩形的折 叠问题 考点一 矩形的性质与判定 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有 两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心 【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半 2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形 【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角 线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． 题型01 利用矩形的性质求角度 【例1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知 ∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ） ．65° B．70° ．75° D．80° 【变式1-1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分 ∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（ ） ．10° B．15° ．25° D．30° 【变式1-2】（2023·山西大同·统考模拟预测）翻花绳是中国民间流传的童游戏，在中国不同的地域，有不 同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1 是翻花绳的一种图，可以抽象成如右图，在矩 形ABCD中，IJ ∥KL, EF ∥GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为（ ）． 1 对于矩形的定义要注意两点:是平行四边形;b 有一个角是直角 2 定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形 ．30° B．45° ．50° D．60° 【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接 AE，过E作EF ⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF=α，则∠EFC的度数为（ ） ．α B．45°+ α 2 ．45°−α 2 D．90°−α 【变式1-4】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1=34°， 则∠2的度数为（ ） ．34° B．46° ．56° D．66° 题型02 利用矩形的性质求线段长 【例2】（2022·安徽·合肥38 中校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，EF经过点O且 EF ⊥BD，EF分别与AD，BC交于点E，F，若AB=2，BC=4，则AE等于（ ） ．3 2 B．2 ．5 2 D．3 【变式2-1】（2023·广西南宁·校考二模）在矩形ABCD中，AB=3，将AB绕点B 顺时针旋转α（ 0°＜α ＜90°）得到BE，连接DE，若DE的最小值为2，则BC的长为 ． 【变式2-2】（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4， 点E 为对角线BD上一点，连接AE，过点E 作EF ⊥AE交BC于点F．连接AF交BE于点，若AB=AE， 则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 ． 【变式2-3】（2023·浙江宁波·校考一模）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O， OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连接EF交OB于点P，那么OP PB =¿ ． 【变式2-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F 分别是AD、BC的中点，点P、Q 在EF上．且满足PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为 ． 题型03 利用矩形的性质求面积 【例3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E，F，G，分别在AB，BC，CD，DA 上，且AE=1 3 AB，BF=1 3 BC，CG=1 3 CD，DH=1 3 DA，若矩形ABCD面积为9，则四边形EFGH 的面积为( ) ．3 B．4 ．5 D．6 【变式3-1】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，延长AB至E，使得AB BE =5 6， 连接CE，若矩形ABCD的面积为20，则△BCE的面积为（ ） ．16 B．14 ．12 D．10 【变式3-2】（2023·山西太原·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点和分别落在y 轴 与x 轴的正半轴上，OA=6，OC=8．若直线y=2 x+b把矩形面积两等分，则b 的值等于（ ） ．5 B．2 ．−2 D．−5 【变式3-3】（2023·江苏常州·校考一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木 框A ' B 'C ' D '，且A ' D '与CD相交于CD边的中点E，若AB=4，BC=5，则原矩形ABCD和平行四边形 A ' B 'C ' D '重叠部分的面积是 ． 【变式3-4】（2023·湖南湘西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P 是对角线AC上一 点，AP=2，连接BD，则图中阴影部分的面积为 ． 题型04 求矩形在坐标系中的坐标 【例4】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，矩形ABCD的顶点，B 分别在x 轴、 y 轴上，OB=4，OA=3，AD=10，将矩形ABCD绕点顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023 次旋转结 束时，点D 的坐标为（ ） ．(6,5) B．(5,6) ．(−6,−5) D．(−5,−6) 【变式4-1】（2023·天津河东·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点在第一象限， B，D 分别在y 轴上，是BD的中点若AB=OB=2❑ √3，则点的坐标是（ ） ．（3，❑ √3） B．(−3,−❑ √3) ．(❑ √3，3） D．(−❑ √3,−3) 【变式4-2】（2022·山东聊城·校联考一模）如图，已知矩形B 的顶点在坐标原点，点的坐标是（－2， 1），点B 的纵坐标是3，则点的坐标是（ ） ．( −1 2 ,4) B．( −2 3 ,4) ．( −1 2 ,2❑ √5) D．( −2 3 ,2❑ √5) 【变式4-3】（2021·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形D 沿直线E 折叠，折叠后 顶点D 恰好落在边上的点F 处．若点D 的坐标为(10,8)，则点E 的坐标为（ ） ．(10,3) B．(10,5) ．(6,3) D．(4,3) 【变式4-4】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−1 2 x+2分别与x轴、 y轴交于点、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N 的坐标为 ． 题型05 根据矩形的性质证明 【例5】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF ⊥AC于F， 连接DE，BF． (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB=3，BC=4，求BE的长； (3)求证：B E 2=AE⋅EC． 【变式5-1】（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点，E 是 OA上一点，连接BE并延长至点F，使得∠ADF=∠ADB． (1)求证：DF ∥AC； (2)若OE=1，求DF的长． 【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知，矩形ABCD中，E、F 为对角线AC上两点，连 接BE、DF，且BE⊥AC于E，DF ⊥AC于F． (1)如图1，求证：AE=CF； (2)如图2，连接DE、BF，当∠ACD=2∠ABE时，请直接写出图中面积为△ABE面积3 倍的所有三 角形． 【变式5-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E 是AD的中点，连接EC，EB，过 点B 作EC的垂线交CD，CE于点F，G．设AD DC =m． (1)求证：△BGC ∽△BAE； (2)如图1，连接AG，若∠GAB=30°，求m 的值； (3)如图2，若AG平分∠DAB，过点D 作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，，M．若 DH ⋅CB=3 ❑ √2，求EH的长． 题型06 矩形的判定定理的理解 【例6】（2023·河北沧州·模拟预测）如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩 形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法： 下列说法正确的是（ ） ．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 ．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【变式6-1】（2023·河北保定·统考一模）下列图形一定为矩形的是（ ） ． B． ． D． 【变式6-2】（2022·江苏南京·统考一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方是（ ） ．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 ．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【变式6-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后， 四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（ ） ．CD=4 B．CD=2 ．OD=2 D．OD=4 题型07 添加一个条件使四边形是矩形 【例7】（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM=DN，连 接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件 ，使得四边形AMCN是矩形． 【变式7-1】（2022·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，▱ABCD的对角线AC ，BD相交于点，请你添加一 个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 ． 【变式7-2】（2023·山西晋城·统考一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点E，F 在 AC上，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以 是 ．（填写一个即可） 题型08 证明四边形是矩形 【例8】（2023·广东梅州·统考一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC， BO=OD，且∠AOB=2∠OAD． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度数． 【变式8-1】（2022·山东滨州·校考一模）如图，点是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形． 【变式8-2】（2022·广东深圳·统考一模）如图，等腰△B 中，AB=AC，AD⊥BC交B 于D 点，E 点是 B 的中点，分别过D，E 两点作线段的垂线，垂足分别为G，F 两点． (1)求证：四边形DEFG 为矩形； (2)若AB=10，EF=4，求G 的长． 题型09 根据矩形的性质与判定求角度 【例9】（2021·河北唐山·统考二模）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α (0°<α<360° )，得到矩形AEFG． 当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（ ） ．60°或300° B．60°或330° ．30° D．60° 【变式9-1】（2020·福建龙岩·统考模拟预测）如图，∠M＝90°，动点、B 分别位于射线M、上，矩形BD 的边B＝6，B＝4，则线段长的最大值是（ ） ．10 B．8 ．6 D．5 【变式9-2】（2022·河北·一模）如图，四边形BD 为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α 与∠β 的度数之间 的关系为( ) ．β= 180-α B．β=180°-1 2 α ．β=90°-α D．β=90°-1 2 α 【变式9-3】（2023·河南新乡·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点 D、E 分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B 旋转，点D、E 旋转后的对应点分别是 D '、E '，当、D '、E '三点共线时，∠EB E '的度数为 ． 题型10 根据矩形的性质与判定求线段长 【例10】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段 EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则¿+CF的最小值为 ． 【变式10-1】（2021·广东中山·校联考一模）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板 拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即 DE ≈0.618 AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE（精确到0001） 【变式10-2】（2022·广东广州·统考一模）如图，在矩形BD 中，B = 6，D = 8，点E 是D 边上的一个动点 （点E 不与点重合），延长D 到点F，使E = 2F，且F 与BE 交于点G (1)当E = 4 时，求线段BG 的长: (2)设F = x，△GEF 的面积为y，求y 与x 的关系式，并求出y 的最大值: (3)连接DG，求线段DG 的最小值 题型11 根据矩形的性质与判定求面积 【例11】（2023·甘肃白银·统考一模）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则 矩形ABCD的面积为（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【变式11-1】（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△B 中，点D，E，F 分别是边B，，B 的中 点，＝8，B＝6，则四边形EDF 的面积是（ ） ．6 B．12 ．24 D．48 【变式11-2】（2020·山东济宁·统考模拟预测）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、 DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（ ） ．先变大后变小 B．先变小后变大 ．一直变大 D．保持不变 【变式11-3】（2020·河北石家庄·统考模拟预测）如图，有一块四边形的铁板余料BD．经测量，B＝ 50m，B=108m，D＝60m，tB＝t＝4 3 ，M、边B 上，顶点P 在D 上，顶点Q 在B 上，且面积最大的矩形 PQM 面积为 m2． 【变式11-4】（2022·江苏无锡·统考二模）矩形BD 中，B=m，D=，连接BD，点P 在线段BD 上，连接P 过点P 作PE⊥P，交直线B 于点E，连接E、P． (1)若m=6，=6❑ √3； ①当点E 与点B 重合时，求线段DP 的长； ②当EB=EP 时，求线段BP 的长； (2)若m=6，=8，△PE 面积的最大值为 (直接写出答)． 题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题 【例12】（2023·河北·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm， BC=6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运 动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正 确的是（ ） ．当t=3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t=4 s时，四边形CDPM为平行四边形 ．当CD=PM时，t=3s D．当CD=PM时，t=3s或5s 【变式12-1】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）如图，在矩形BD 中，DE 平分∠ADC交B 于点E，点F 是D 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE<PD，将∠DPF绕点P 逆时针旋转90°后， 角的两边交射线D 于，G 两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF=❑ √2 DP；④ DP⋅DE=DH ⋅DC，其中一定正确的是（ ） ．①② B．②③ ．①④ D．③④ 【变式12-2】（2023·山东临沂·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3 ❑ √2, AD=6，点E，F 分别是 边AB，BC上的动点，点E 不与，B 重合，且EF=AB，G 是五边形AEFCD内满足¿=GF且 ∠EGF=90°的点，现给出以下结论：①∠AEG与∠GFB一定相等；②点G 到边AB，BC的距离一定 相等；③点G 到边AD，DC的距离可能相等；④点G 到边DC的距离的最小值为3，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【变式12-3】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，A