第23讲 特殊四边形-矩形（练习）（原卷版）

第23 讲 特殊四边形-矩形 目 录 题型01 利用矩形的性质求角度 题型02 利用矩形的性质求线段长 题型03 利用矩形的性质求面积 题型04 求矩形在坐标系中的坐标 题型05 根据矩形的性质证明 题型06 矩形的判定定理的理解 题型07 添加一个条件使四边形是矩形 题型08 证明四边形是矩形 题型09 根据矩形的性质与判定求角度 题型10 根据矩形的性质与判定求线段长 题型11 根据矩形的性质与判定求面积 题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题 题型13 与矩形有关的新定义问题 题型14 与矩形有关的规律探究问题 题型15 与矩形有关的动点问题 题型16 矩形与一次函数综合 题型17 矩形与反比例函数综合 题型18 矩形与二次函数综合 题型19 与矩形有关的折叠问题 题型01 利用矩形的性质求角度 1．（2023·山东临沂·统考二模）两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=¿（ ） ．α−90° B．α−45° ．180°−α D．270°−α 2．（2023·广东深圳·校考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知 ∠ACB=25°，则∠AOB的大小是（ ） ．130° B．65° ．50° D．25° 3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形ABCD中，E、F 为上一点，AE=AD， AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=α，则∠BFE的度数为（ ） ．90°−3 2 α B．90°−1 2 α ．α D．90°−α 4．（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=2 AB，以AB为 边在矩形内作等边△ABE，延长BE交AD于点F，连接CF，则∠DFC的度数为（ ） ．60° B．70° ．75° D．80° 题型02 利用矩形的性质求线段长 5．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，矩形BD 的对角线的垂直平分线分别交D、、B 于点 E、、F，若AB=12，BC=16，则EF 的长为（ ） ．8 B．15 ．16 D．24 6．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8， ∠BEF=90°，且BE=EF，点M为BF的中点，则ME的长为（ ） ．9 2 B．2❑ √5 ．3 ❑ √2 D．3 2 ❑ √10 7．（2022·江西·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．若 AC=10，则四边形OCED的周长是 ． 8．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，矩形BD 中，B＝6，D＝4，点E、F 分别是B、D 上的动点， EF B ∥，则F+E 的最小值是 ． 题型03 利用矩形的性质求面积 9．（2023·浙江温州·模拟预测）如图是一个由5 张纸片拼成的▱ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙， 其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片 EFGH的面积为S3，FH与¿相交于点．当△AEO ,△BFO ,△CGO ,△DHO的面积相等时，下列结论一 定成立的是（ ） ．S1=S2 B．S1=S3 ．AB=AD D．EH=GH 10．（2022·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）如图1，动点P 从矩形BD 的顶点出发，在边B， B 上沿→B→的方向，以1m/s 的速度匀速运动到点，△APC的面积S（m2）随运动时间t（s）变化的函数 图象如图2 所示，则B 的长是（ ） ．3 2 cm B．3cm ．4cm D．6cm 11．（2022·广东广州·统考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作OE⊥BD，交 AB于点E，过点E作EF ⊥AC，垂足为F，AC=10，EF=1.05，OE=3.75，则矩形ABCD的面积为 ． 12．（2022·四川成都·统考二模）已知矩形的长和宽分别为和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积 分别是已知矩形的三分之一，则，b 应该满足的条件为 ． 13．（2022·广东阳江·统考一模）已知矩形BD 中，E 是D 边上的一个动点，点F，G，分别是B，BE，E 的中点． （1）求证：△BGF≌△F； （2）设D=，当四边形EGF 是正方形时，求矩形BD 的面积． 题型04 求矩形在坐标系中的坐标 14．（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示， A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为（ ） ．(−6,3) B．(3,−6) ．(−6,−3) D．(−3,−6) 15．（2022·河南安阳·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A (1,0)，D (0,2)，B (5,2)，将矩形以原点为旋 转中心，顺时针旋转75°之后点C的坐标为（ ） ．(4 ,−2) B．(4 ❑ √2,−2❑ √2) ．(4 ❑ √2,−2) D．(2❑ √6,−2❑ √2) 16．（2020·吉林·统考一模）如图，矩形B 的顶点在x 轴上，点B 的坐标为（1，2）．固定边，向左 “推”矩形B，使点B 落在y 轴的点B'的位置，则点的对应点'的坐标为（ ） ．（﹣1，❑ √3） B．（❑ √3，﹣1） ．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 17．（2022·辽宁铁岭·统考一模）如图，点D是矩形ABCO的对称中心，点A (6,0)，C (0,4 )，经过点D的 反比例函数的图象交AB于点P，则点P的坐标为 ． 题型05 根据矩形的性质证明 18．（2023·山东德州·统考三模）如图，矩形ABCD中，点E 在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点． BE与AC相交于点F． (1)若BE平分∠CBD，求证：BF ⊥AC； (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由; (3)若OF=3，EF=2，求DE的长度． 19．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在矩形BD 中，是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边D 于点E，交边B 于点F（要求：尺规作 图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， (2)猜想与证明：试猜想线段E 与F 的数量关系，并加以证明． 20．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，已知矩形BD 中，对角线、BD 相交于点，过点作E∥BD，交B 的 延长线于点E． (1)求证：E=； (2)若s∠E=3 5，E=12，求矩形BD 的面积． 21．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，四边形ABCD为矩形，AC为矩形的一条对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：在AB的左侧作∠EAB=∠ACD，射线AE与CB的延长线交于点E．连接 DE与AB交于点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)小亮判断点F 为线段DE的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明△AEC为等腰三角形，从 而得到点B 为EC的中点，再利用三角形全等，得到点F 为DE的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空： 证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥DC， ∵AB∥DC， ___________ ∴① ， ∵∠EAB=∠ACD， ∴∠EAB=∠BAC， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°，∠EAB+∠AEB=90°， ___________ ∴② ， ∴AE=AC， ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， ___________ ∴③ ， ∵AD=BC， ∴AD=BE， ∵∠BAD=∠ABE=90°，∠AFD=∠BFE， ___________ ∴④ (AAS)， ∴EF=FD， ∴点F 为ED的中点． 题型06 矩形的判定定理的理解 22．（2023·山东德州·统考二模）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方是（ ） ．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° ．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 23．（2022·河南新乡·校考一模）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形 的对角线一定满足的条件是（ ） ．互相平分 B．相等 ．互相垂直 D．互相垂直平分 24．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）已知四边形BD 的对角线，BD 交于点，下列命题： ①若B＝D，∠B＝∠D，则四边形BD 是平行四边形； ②若＝，∠B＝∠D，则四边形BD 是平行四边形； ③若D＝B，∠B＝∠BD＝90°，则四边形BD 是矩形； ④若B＝D，＝，∠B＝90°，则四边形BD 是矩形． 其中所有真命题的序号是 ． 题型07 添加一个条件使四边形是矩形 25．（2023·河北沧州·校考一模）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ） ．AB=AC B．AC ⊥BD ．AB=AD D．AC=BD 26．（2022·北京西城·统考一模）如图，在△B 中，D，E 分别是B，的中点，点F，G 在边B 上，且 DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE 是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 27．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）如图，在平行四边形BD 中，过对角线中点作直线分 别交B，D 于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形EF 是矩形，这个条件可以是 （写出一个即 可）． 题型08 证明四边形是矩形 28．（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，在菱形BD 中，对角线、BD 相交于点，点E 是D 的中点，连 接E，过点D 作DF∥交E 的延长线于点F，连接F． (1)求证：△AOE≌△DFE； (2)判定四边形DF 的形状并说明理由． 29．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC 的中点． (1)求证：BE=DF； (2)设AC BD =k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 30．（2023·山东青岛·一模）如图，▱BD 中，E 为B 边的中点，连接E 并延长交D 的延长线于点F，延长 E 至点G，使G=E，连接DG、DE、FG． (1)求证：△BE≌△FE； (2)若D=2B，求证：四边形DEFG 是矩形． 31．（2022·河南郑州·校联考一模）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的 延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≅△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 题型09 根据矩形的性质与判定求角度 32．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考二模）如图，以B 为边，在B 的同侧分别作正五边形 BDE 和矩形BFG，则∠EG＝ ． 33．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E 在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：BE=BC． （2）若BE=DC+DE，求∠BEC的度数． 34．（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）已知：以为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点为 ´ AB上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D 作OD的垂线交射线OC于点E，连接AE． (1)如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数； (2)当扇形的半径长为10，且AC=12时，求线段DE的长； (3)连接BC，试问：在点运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说 明理由． 题型10 根据矩形的性质与判定求线段长 35．（2022·河南商丘·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=❑ √2，点E为射线AD上的动点 （不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A '，连接A ' B，A ' D，A 'C，当△A ' BC是以BC为 底边的等腰三角形时，AE的长为 ． 36．（2022·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点 A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=4，则BC的长为 ． 37．（2020·四川南充·统考一模）如图，▱ABCD的对角线AC ,BD交于点，过点D 作DE⊥BC于E，延 长CB到点F，使BF=CE，连接AF ,OF． (1)求证：四边形AFED是矩形． (2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°，试求OF的长． 题型11 根据矩形的性质与判定求面积 38．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△B 中，点D，E，F 分别是边B，，B 的中点，＝8，B ＝6，则四边形EDF 的面积是（ ） ．6 B．12 ．24 D．48 39．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△B 的边B 长为4m．将△B 平移2m 得到△′B′′，且BB′⊥B，则阴 影部分的面积为 cm 2． 40．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在平行四边形BD 中，连接BD，E 为线段D 的中点， 延长BE 与D 的延长线交于点F，连接F，∠BDF=90° (1)求证：四边形BDF 是矩形； (2)若D=5，DF=3，求四边形BF 的面积S． 41．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形BD 中，D∥B，∠B=∠D=90°，对角线，BD 交于点，DE 平分∠D 交B 于点E，连接E． （1）求证：四边形BD 是矩形； （2）若∠BDE=15°，求∠DE； （3）在（2）的条件下，若B=2，求△BE 的面积． 题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题 42．（2019·广东·统考一模）如图，在矩形BD 中，E 是B 边的中点，沿E 对折矩形BD，使B 点落在点P 处，折痕为E，连结P 并延长P 交D 于F 点，连结P 并延长P 交D 于Q 点．给 出以下结论： ①四边形EF 为平行四边形；②∠PB=∠PQ； ③△FP 为等腰三角形；④△PB≌△EP； 其中正确结论的个数为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 43．（2018·山东临沂·校联考三模）如图所示，矩形BD 中，E 平分∠BAD交B 于E，∠CAE=15 °，则 下面的结论：①ΔODC是等边三角形；②BC =2 AB；③∠AOE=135 °；④S ΔAOE=S ΔCOE，其中正确结 论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 44．（2021·广东东莞·校考一模）如图，B＝，∠B＝90°，点D 在边B 上（与B、不重合），四边形DEF 为 正方形，过点F 作FG⊥，交的延长线于点G，连接FB，交DE 于点Q，给出以下结论：①＝FG； ②S△FB：S 四边形BFG＝1：2；③∠B＝∠BF；④D2＝FQ•，其中正确的是（ ） ．①② B．①③④ ．①②③ D．①②③④ 45．（2019·广东深圳·统考二模）如图，已知一个矩形纸片B，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 （10，0），点B（0，6），点P 为B 边上的动点，将△BP 沿P 折叠得到△PD，连接D、D．则下列结论中： ①当∠BP＝45°时，四边形BPD 为正方形；②当∠BP＝30°时，△D 的面积为15；③当P 在运动过程中，D 的最小值为2❑ √34 6 ﹣；④当D⊥D 时，BP＝2．其中结论正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 46．（2023·湖北黄冈·三模）如图，将矩形BD 沿着GE、E、GF 翻折，使得点、B、D 恰好都落在点处， 且点G、、在同一条直线上，同时点E、、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥E；②B= 4 ❑ √3 5 D；③GE=❑ √6DF；④=2❑ √2F；⑤△F∽△EG．其中正确的是（ ） ．①②③ B．①③④ ．①④⑤ D．②③④ 题型13 与矩形有关的新定义问题 47．（2020·广东深圳·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴 围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，)是抛物线y＝x2+k 上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k 的值可以是（ ） ．﹣12 B．0 ．4 D．16 48．（2023·陕西咸阳·统考二模）【定义新知】 如图1，将矩形纸片ABCD沿BE 折叠，点的对称点F 落在B 边上，再将纸片沿E 折叠，点D 的对称点也 与F 重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形(△BCE)，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多 边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形． (1)图1 中叠合△BCE的底边B 与高EF 的长度之比为_______； (2)将▱ABCD纸片按图2 中的方式折叠成一个叠合矩形MNPQ，若D=13，M=5，求叠合矩形MNPQ的面 积； 【问题解决】 (3)已知四边形BD 纸片是一个直角梯形，满足AB∥CD，AB⊥BC，B 点F 为B 的中点，EF⊥B，小明把 该纸片折叠，得到叠合正方形． ①如图3，若线段EF 是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出B 和D 的长； ②如图4，若线段EF 是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此 时B 和D 的长． 49．（2023·广东广州·校考一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点在图形M 的内部，或在图形M 上， 且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形M 的“梦之点”． (1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A (−1,2)，B (−1,−1)，C (3,−1)，D (3,2)，在点M 1 (1,1)， M 2 (2,2)，M 3 (3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________； (2)点G (2,2)是反比例函数y1= k x 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”的坐标是 ___________，直线GH的解析式是y2=¿___________．当y1> y2时，x 的取值范围是___________． (3)如图②，已知点，B 是抛物线y=−1 2 x 2+x+ 9 2上的“梦之点”，点是抛物线的顶点，连接AC，AB， BC，判断△ABC的形状，并说明理由． 50．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，点F 是矩形边上一动点，将线 段BF绕点F 顺时针旋转一定的角度，使得BF与矩形的边交于点E（含端点），连接BE，把△BEF定义 为“转角三角形”． (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“转角△BEF”一定是一