第25讲 特殊四边形-正方形与梯形（练习）（原卷版）

第25 讲 特殊四边形-正方形与梯形 目 录 题型01 根据正方形的性质求角度 题型02 根据正方形的性质求线段长 题型03 根据正方形的性质求面积 题型04 根据正方形的性质求坐标 题型05 与正方形有关的折叠问题 题型06 求正方形重叠部分面积 题型07 利用正方形的性质证明 题型08 添加一个条件使四边形是正方形 题型09 证明四边形是正方形 题型10 根据正方形的性质与判定求角度 题型11 根据正方形的性质与判定求线段长 题型12 根据正方形的性质与判定求面积 题型13 根据正方形的性质与判定证明 题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题 题型15 与正方形有关的规律探究问题 题型16 与正方形有关的动点问题 题型17 正方形与反比例函数的综合应用 题型18 正方形与一次函数、反比例函数综合应用 题型19 正方形与二次函数综合应用 题型20 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 题型21 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解 题型22 利用等腰梯形的性质与判定求解 题型01 根据正方形的性质求角度 1．（2022·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，把含30°的直角三角板PM 放置在正方形BD 中， ∠PMN=30°，直角顶点P 在正方形BD 的对角线BD 上，点M，分别在B 和D 边上，M 与BD 交于点， 且点为M 的中点，则∠AMP的度数为（ ） ．60° B．65° ．75° D．80° 2．（2023·河北石家庄·统考一模）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=¿ （ ） ．α−45° B．α−90° ．270°−α D．180°−α 3．（2023·江苏南京·统考一模）如图，点是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF 的内部作正方形ABMN ，连接OD ,ON，则∠DON ＝ °． 题型02 根据正方形的性质求线段长 4．（2021·山东淄博·统考二模）如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC 上，点E , F分别在AB , AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ） ．15 B．20 ．25 D．30 5．（2023·山东日照·校考三模）如图，正方形BD 的边长为8，点E 是D 的中点，G 垂直平分E 且分别交 E、B 于点、G，则BG＝ ． 6．（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E、F 分别在边BC 、CD上， AE=AF ,∠EAF=30°，则∠AEB=¿ °；若△AEF的面积等于1，则AB的值是 ． 题型03 根据正方形的性质求面积 7．（2023·云南·模拟预测）如图，在边长为6 的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面 积是（ ） ．9 B．6 ．3 D．12 8．（2021·天津津南·统考一模）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图．小李 将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知AB=40cm，则 图中阴影部分的面积为（ ） ．25c m 2 B．100 3 c m 2 ．50c m 2 D．75c m 2 9．（2021·江苏苏州·统考一模）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课 上，小明用边长为4m 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其 中阴影部分的面积为5m2的是（ ） ． B． ． D． 题型04 根据正方形的性质求坐标 10．（2023·河南周口·校联考一模）如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点M，N分别 在OA，AB上，△CMN是等边三角形，连接AC，交MN于点G．若AM=4，则点G的坐标为（ ） ．(3,2) B．(2❑ √3,2) ．(2❑ √6,2) D．(❑ √3+2,2) 11．（2023·河南南阳·统考一模）在学习《图形与坐标》的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学编 的题目是：“已知正方形ABCD（边长自定），请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点 的坐标”．同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标．若在魏 华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，点的坐标为(−3,2)， 则点的坐标为（ ） ．(3,−2) B．(2,−3) ．(−3,−2) D．(1,−2) 12．（2023·山东临沂·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点坐标为(0,2)， E 是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B 点落在点F 处，那么点F 的坐标是 ． 13．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A (0,3),B (1,0)， 将正方形ABCD沿x 轴的负方向平移，使点D 恰好落在直线AB上，则平移后点B 的坐标为 ． 题型05 与正方形有关的折叠问题 14．（2021·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上， ∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B '处，则BE的长度为（ ） ．1 B．❑ √2 ．❑ √3 D．2 15．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E 是BC的中点，将正方形ABCD沿 AE折叠，得到点B 的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为 ． 16．（2023·广西·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为10，点G 是边CD的中点，点E 是边AD上一 动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是 ． 17．（2022·吉林长春·统考模拟预测）【推理】 如图1，在边长为10 的正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处， 连接BE，CF，延长CF交AD于点G，BE与CG交于点M． (1)求证：CE=DG． 【运用】 (2)如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H，若CE=6，求线段DH的长． 【拓展】 (3)如图3，在【推理】条件下，连接AM，则线段AM的最小值为______． 题型06 求正方形重叠部分面积 18．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90 ∘，分别以该直角三角形的三边为 边，并在直线AB同侧作正方形ABMN，正方形BQPC，正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边 EF上．其中S1,S2,S3,S4,S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5=¿（ ） ．2 B．2❑ √3 ．3 D．3 ❑ √5 2 19．（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）如图，边长为2 的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形 EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ） ．1 2 B．3 4 ．1 D．2 20．（2022·广东东莞·统考一模）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将 足够大的直角三角板PEF (∠P=90° ,∠F=60° )的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探 究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． (1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P 放在点处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面 积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋 转过程中，重叠部分的面积S1与S 的关系为__________； (2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点处，在旋转过程中，OE ,OP分别与正方形的边相交于点M，． ①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由； ②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将 ∠GOH绕点逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2， 请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）， （参考数据：sin15°= ❑ √6−❑ √2 4 ,cos15°= ❑ √6+❑ √2 4 ,tan15°=2−❑ √3） 题型07 利用正方形的性质证明 21．（2023·贵州铜仁·统考一模）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线 交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF ∥AD． (1)求证：△ABE≌△FMN； (2)若AB=8，AE=6，求ON的长． 22．（2023·云南曲靖·统考一模）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且 ∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE． （1）求证：△AEM≌△ANM． （2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长． 23．（2022·北京东城·统考一模）如图，在正方形BD 中，E 为对角线上一点（AE>CE），连接BE， DE． (1)求证：BE=DE； (2)过点E 作EF ⊥AC交B 于点F，延长B 至点G，使得CG=BF，连接DG． ①依题意补全图形； ②用等式表示BE 与DG 的数量关系，并证明． 24．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E 为AB的中点，连接CE交 BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG． (1)求证：F B 2=FE⋅FG； (2)若AB=6．求FB和EG的长． 题型08 添加一个条件使四边形是正方形 25．（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交，添加下列条件不能判定 矩形ABCD是正方形的是（ ） ．AB=BC B．AC=BD ．AC ⊥BD D．∠1=∠2 26．（2022·河南南阳·统考三模）在▱ABCD中，已知AC、BD为对角线，现有以下四个条件：① ∠ABC=90°；②AC=BD；③AC ⊥BD；④AB=BC．从中选取两个条件，可以判定▱ABCD为正 方形的是 ．（写出一组即可） 27．（2020·广东阳江·统考二模）如图，在四边形BD 中，B=B=D=D，对角线与BD 相交于点．若不增加 任何字母与辅助线，要使得四边形BD 是正方形，则还需添加的一个条件是 ． 题型09 证明四边形是正方形 28．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在▱ABCD中，对角线AC 、BD交于点，E 是BD延长线上的点， 且△ACE是等边三角形． (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形． 29．（2021·河南南阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，B 为⊙O的直径，D 为⊙O上任意一点， 连接D 交B 于点F，过作EA ⊥AD交DB 的延长线于E，连接D． （1）求证：BE=CD （2）填空：①当∠EAB=¿_______°时，四边形BD 是正方形 ②若四边形BD 的面积为6，则D 的长为________． 30．（2023·山东青岛·校联考一模）如图，延长平行四边形ABCD的边DC到E，使CE=CD，连结AE交 BC于点F． (1)求证：△ABF ≌△ECF； (2)若AE=AD，连接BE，当线段OF与BD满足怎样的关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由． 31．（2022·浙江杭州·统考一模）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若 ∠CAD=∠DBC． (1)求证：四边形ABCD是正方形． (2)E是OB上一点，BE=1，且DH ⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长． 题型10 根据正方形的性质与判定求角度 32．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，在正八边形BDEFG 中，、E 是两条对角线，则∠E 的度数为 °． 33．（2018·陕西·陕西师大附中校考二模）如图，P 为正方形BD 内一点，P：PB：P=1：2：3，则∠PB= 34．（2022·江西南昌·统考一模）已知正方形BD 与正方形EFG，正方形EFG 绕点旋转一周． (1)如图1，连接BG、F， ①求CF BG 的值； ②求∠B 的度数． (2)当正方形EFG 旋转至图2 位置时，连接F、BE，分别取F、BE 的中点M、，连接M，猜想M 与BE 的 数量关系与位置关系，并说明理由． 题型11 根据正方形的性质与判定求线段长 35．（2022·广东广州·统考二模）如图，在等腰直角三角形B 中，∠B=90°，B=6，线段PQ 在斜边上运动， 且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ 周长的最小值是（ ） ．6 ❑ √2+2 B．2❑ √19+2 ．8 D．4 ❑ √5+2 36．（2022·天津东丽·统考二模）如图，点E 为正方形BD 外一点，∠EB＝90°，将Rt△BE 绕点逆时针方向 旋转90°得到△DF，DF 的延长线交BE 于点，若B＝7，B＝13，则D＝ ． 37．（2022·安徽合肥·统考二模）已知在四边形BD 中，B＝D＝D，且∠BAD=90°，连接、BD 交于点． ①若B＝B，则OD OB =¿ ； ②若B＝，则OD OB =¿ ． 38．（2022·北京·二模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，过点D 作DE⊥AB于E，若 DE=BE． （1）求证：DA=DC； （2）连接AC交DE于点F，若∠ADE=30° , AD=6，求DF 的长． 题型12 根据正方形的性质与判定求面积 39．（2020·河北唐山·统考模拟预测）如图是用8 块A型瓷砖（白色四边形）和8 块B型瓷砖（黑色三角 形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图，图中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（ ） ．❑ √2:1 B．3:2 ．❑ √3:1 D．❑ √2:2 40．（2022·浙江舟山·校考一模）如图，在△B 中，∠B＝90°，作D⊥B 于点D，以B 为边作矩形BEF，使得 F＝D，延长D，交EF 于点G，作⊥交GF 于点，作M⊥交B 的延长线于点M，M 分别交BE，DG 于点、 P，若P=P，F=1，则四边形BM 的面积为（ ） ．3 B．25 ．35 D．❑ √5 41．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，在Rt △ABC中，AC=BC，点P是BC上一点， BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，S△ACP−S△PBD=32 ），则CD=¿ ． 42．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为4，E 是CD上一个动点，以点E 为直角顶点， 在正方形外侧等腰直角三角形CEF，连结BF、BD、FD． （1）BD与CF的位置关系是__________． （2）①如图1，当CE=4（即点E 与点D 重合）时，△BDF的面积为_________． ②如图2，当CE=2（即点E 为CD的中点）时，△BDF的面积为________． ③如图3，当CE=3时，△BDF的面积为_______． （3）如图4，根据上述计算的结果，当E 是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD 的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想． 题型13 根据正方形的性质与判定证明 43．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形BD 是正方形，点E 在边D 上，△BEF 是以E 为直角顶点 的等腰直角三角形，EF，BF 分别交D 于点M，，过点F 作D 的垂线交D 的延长线于点G．连接DF，请 完成下列问题： （1）∠FDG=¿ °； （2）若DE=1，DF=2❑ √2，则MN=¿ ． 44．（2020·河南南阳·统考一模）（1）在正方形BD 中，G 是D 边上的一个动点（不与、D 重合），以G 为边在正方形BD 外作一个正方形EFG，连结BG、DE，如图①．直接写出线段BG、DE 的关系 ； （2）将图①中的正方形EFG 绕点按顺时针方向旋转任意角度α，如图②，试判断（1）中的结论是否成立？ 若成立，直接写出结论，若不成立，说明理由； （3）将（1）中的正方形都改为矩形，如图③，再将矩形EFG 绕点按顺时针方向旋转任意角度α，如图④， 若B=，B=b；E =k，G=kb，(a≠b)试判断（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 45．（2021·江苏盐城·统考二模）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至A B ' ，记旋转角为α．连接 B B '，过点D作DE垂直于直线B B '，垂足为点E，连接D B ' ,CE， (1)如图1，当α=60°时，ΔDE B '的形状为 ，连接BD，可求出B B ' CE 的值为 ； (2)当0°<α<360°且α ≠90°时， ①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B ' , E ,C , D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE B' E 的值． 46．（2022·湖南长沙·校考一模）如图，四边形BD 是正方形，△EF 为等腰直角三角形，∠EF＝90°，点E 在B 上，点F 在D 上，为EF 的中点，连结，以，F 为邻边作□FG．连结DG，D，将Rt△EF 绕点顺时针方 向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）． （1）如图1，当α＝0°时，DG 与D 的关系为____________________； （2）如图2，当0°<α<45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明 理由； （3）在Rt△EF 旋转的过程中，当□FG 的顶点G 落在正方形BD 的边上，且B＝12，E＝5 ❑ √2时，连结G， 请直接写出G 的长． 题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题 47．（2022·广东河源·统考二模）如图，在正方形BD 中，AB=6，点是对角线的中点，点Q 是线段上的 动点（点Q 不与点，重合），连接BQ，并延长交边D 于点E，过点Q 作FQ⊥BQ交D 于点F，分别连接 BF 与EF，BF 交对角线于点G．过点作CH ∥QF交BE 于点，连接．有以下四个结论：①BF=❑ √2BQ； ②△DEF 的周长为12；③线段的最小值为2；④2S△BQG=S△BEF．其中正确结论的个数为（ ） ．1 B．2 ．