模型05 相似三角形中的常见五种基本模型（解析版）

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专 题已经很详细的讲解，这里就不在重复 模型一、字型相似模型 字型（平行） 反字型（不平行） 模型二、8 字型与反8 字型相似模型 模型三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 模型四、共边角相似模型（子母型） 模型探究 模型五、手拉手相似模型 考点一、字相似模型 【例1】．如图，在△B 中，∠＝78°，B＝4，＝6，将△B 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影 三角形与原三角形不相似的是（ ） ． B． ． D． 解：、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确． D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 故选：． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，DE∥B，⊥B 于点，与DE 交于点G．若 ，则 ＝ 例题精讲 ． 解：∵ ， ∴ ， ∵DE∥B， ∴△DE∽△B， ∴ ，故答为 ． 【变式1-2】如图，在△B 中，M 是的中点，E 是B 上一点，E＝ B，连接EM 并延长，交 B 的延长线于D，则 ＝__________ 解：如图，过点作P∥B，交DE 于P， ∵P∥E， ∴△EM∽△PM， ∴ ＝ ， ∵M 是的中点， ∴M＝M， ∴P＝E， ∵E＝ B， ∴P＝ B， ∴P＝ BE， ∵P∥BE， ∴△DP∽△DBE， ∴ ＝ ＝ ， ∴BD＝3D， ∴B＝2D，即 ＝2． 【变式1-3】．如图，在△B 中，点D 在边B 上，D＝9，BD＝7．＝12．△B 的角平分线E 交D 于点F． （1）求证：△D∽△B； （2）若F＝8，求E 的长度． 解：（1）∵D＝9，BD＝7，＝12， ∴B＝D+BD＝16， ∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵∠B＝∠D， ∴△D∽△B； （2）由（1）可知，△D∽△B， ∴∠BE＝∠F， ∵E 平分∠B， ∴∠BE＝∠F， ∴△BE∽△F， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴E＝ ＝ ． 考点二、8 字与反8 字相似模型 【例2】．如图，G∥BD，F：FB＝1：2，B：D＝2：1，求 的值 解：∵G∥BD， ∴△FG∽△BFD， ∴ ＝ ， ∵ ，∴D＝ BD， ∴ ， ∵G∥BD， ∴△EG∽△ED， ∴ ． 变式训练 【变式2-1】．如图，B∥D，E∥FD，E、FD 分别交B 于点G、，则下列结论中错误的是（ ） ． B． ． D． 解：、∵B∥D， ∴ ＝ ，故本选项不符合题目要求； B、∵E∥DF， ∴△EG∞△D， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∵B∥D， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，故本选项不符合题目要求； ∵B∥D，E∥DF， ∴四边形EDF 是平行四边形，∴F＝DE， ∵E∥DF， ∴ ，∴ ＝ ，故本选项不符合题目要求； D、∵E∥DF， ∴△BF∞△BG，∴ ，故本选项符合题目要求；故选：D． 【变式2-2】．如图，在平行四边形BD 中，E 为边D 的中点，连接，BE 交于点F．若△EF 的面积为2，则△B 的面积为（ ） ．8 B．10 ．12 D．14 解：如图，∵四边形BD 是平行四边形， ∵E∥B， ∴△EF∽△BF， ∵E＝DE＝ D，B＝D， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴F＝ ，EF＝ BF， ∴S△BF＝ S△B， ∴S△EF＝ S△BF＝ × S△B＝ S△B， ∵S△EF＝2， ∴S△B＝6S△EF＝6×2＝12，故选：． 【变式2-3】如图，锐角三角形B 中，∠＝60°，BE⊥于E，D⊥B 于D，则DE：B＝ 1 ： 2 ． 解：如图，∵在△D 中，∠＝60°，D⊥B 于点D， ∴∠D＝30°， ∴ ＝ ． 又∵在△BE 中，∠＝60°，BE⊥于E， ∴∠BE＝30°， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ． 又∵∠＝∠， ∴△DE∽△B， ∴DE：B＝D：＝1：2．故答是：1：2． 考点三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 【例3】如图，在△B 中，点D 和E 分别是边B 和的中点，连接DE，D 与BE 交于点，若 △DE 的面积为1，则△B 的面积为（ ） ．6 B．9 ．12 D．135 解：∵点D 和E 分别是边B 和的中点， ∴点为△B 的重心， ∴B＝2E， ∴S△BD＝2S△DE＝2×1＝2， ∴S△BDE＝3， ∵D＝BD， ∴S△BE＝2S△BDE＝6， ∵E＝E， ∴S△B＝2S△BE＝2×6＝12．故选． 变式训练 【变式3-1】如图，DE 是△B 的中位线，F 为DE 中点，连接F 并延长交B 于点G，若S△EFG ＝1，则S△B＝ 24 ． 解：方法一：∵DE 是△B 的中位线， ∴D、E 分别为B、B 的中点， 如图过D 作DM∥B 交G 于点M， ∵DM∥B， ∴∠DMF＝∠EGF， ∵点F 为DE 的中点， ∴DF＝EF， 在△DMF 和△EGF 中， ， ∴△DMF≌△EGF（S）， ∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE， ∵点D 为B 的中点，且DM∥B， ∴M＝MG， ∴FM＝ M， ∴S△DM＝2S△DMF＝2， ∵DM 为△BG 的中位线， ∴ ＝ ， ∴S△BG＝4S△DM＝4×2＝8， ∴S 梯形DMGB＝S△BG﹣S△DM＝8 2 ﹣＝6， ∴S△BDE＝S 梯形DMGB＝6， ∵DE 是△B 的中位线， ∴S△B＝4S△BDE＝4×6＝24， 方法二：连接E， ∵DE 是△B 的中位线， ∴DE∥，DE＝ ， ∵F 是DE 的中点， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∵S△EFG＝1， ∴S△G＝16， ∵EF∥， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴S△EG＝ S△G＝4， ∴S△E＝S△G﹣S△EG＝12， ∴S△B＝2S△E＝24，故答为：24． 【变式3-2】．如图：D∥EG∥B，EG 交DB 于点F，已知D＝6，B＝8，E＝6，EF＝2． （1）求EB 的长； （2）求FG 的长． 解：（1）∵EG∥D， ∴△BD∽△BEF， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴EB＝3． （2）∵EG∥∥B， ∴△EG∽△B， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴EG＝ ， ∴FG＝EG﹣EF＝ ． 【变式3-3】如图，已知B∥D，与BD 相交于点E，点F 在线段B 上， ， ． （1）求证：B∥EF； （2）求S△BE：S△EB：S△ED． （1）证明：∵B∥D， ∴ ＝ ＝ ， ∵ ， ∴ ＝ ， ∴EF∥D， ∴B∥EF． （2）解：设△BE 的面积为m． ∵B∥D， ∴△BE∽△DE， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∴S△DE＝4m， ∵ ＝ ＝ ， ∴S△BE＝2m， ∴S△BE：S△EB：S△ED＝m：2m：4m＝1：2：4． 模型四、子母型相似模型 【例4】如图，点，D 在线段B 上，△PD 是等边三角形，且∠PB＝120°，求证： （1）△P∽△PDB， （2）D2＝•BD． 证明：（1）∵△PD 是等边三角形， ∴∠PD＝∠PD＝∠PD＝60°， ∴∠P＝∠PDB＝120°， ∵∠PB＝120°， ∴∠P+∠BPD＝60°， ∵∠P+∠P＝60° ∴∠BPD＝∠P， ∴△P∽△PDB； （2）由（1）得△P∽△PDB， ∴ ， ∵△PD 是等边三角形， ∴P＝PD＝D， ∴ ， ∴D2＝•BD． 变式训练 【变式4-1】如图，点P 在△B 的边上，要判断△BP∽△B，添加一个条件，不正确的是（ ） ．∠BP＝∠ B．∠PB＝∠B ． D． 解：在△BP 和△B 中，∠BP＝∠B， ∴当∠BP＝∠时，满足两组角对应相等，可判断△BP∽△B，故正确； 当∠PB＝∠B 时，满足两组角对应相等，可判断△BP∽△B，故B 正确； 当 时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△BP∽△B，故正确； 当 时，其夹角不相等，则不能判断△BP∽△B，故D 不正确； 故选：D． 【变式4-2】如图，在△B 中，点D 在边上，连接BD，若∠B+∠BD＝180°，D＝2，D＝4， 则B 的长为（ ） ．3 B．4 ． D．2 解：∵∠B+∠BD＝180°，∠DB+∠BD＝180°， ∴∠DB＝∠B， ∵∠＝∠， ∴△B∽△DB， ∴ ， ∵D＝2，D＝4， ∴ ， ∴B2＝12， ∴B＝2 或﹣2 （不合题意，舍去），故选：D． 【变式4-3】．如图，边长为4 的正方形，内切圆记为圆，P 为圆上一动点，则 P+PB 的 最小值为 2 ． 解：设⊙半径为r， P＝r＝ B＝2，B＝ r＝2 ， 取B 的中点，连接P， ∴＝B＝ ， ∵ ， ， ∴ ， ∠是公共角， ∴△BP∽△P， ∴ ， ∴P＝ PB， ∴P+ PB＝P+P， ∴当、P、在一条直线上时，P+ PB 最小， 作E⊥B 于E， ∵∠B＝45°， ∴E＝BE＝ B＝1， ∴E＝B﹣BE＝3， ∴＝ ＝ ， ∴P+ PB 最小值＝＝ ， ∵ P+PB＝ （P+ PB）， ∴ P+PB 的最小值是 ＝ ＝2 ． 故答是2 ． 模型五、手拉手相似模型 【例5】如图，△B 与△DEF 均为等边三角形，为B、EF 的中点，则D：BE 的值为 ． 解：连接、D， ∵△B 与△DEF 均为等边三角形，为B、EF 的中点， ∴⊥B，D⊥EF，∠ED＝30°，∠B＝30°， ∴D：E＝：B＝ ：1， ∵∠DE+∠E＝∠B+∠E 即∠D＝∠EB， ∴△D∽△EB， ∴D：E＝：B＝D：BE＝ ：1＝ ，故答为： ． 变式训练 【变式5-1】如图，在△B 与△DE 中，∠B＝∠DE，∠B＝∠DE． 求证：（1）△B∽△DE； （2）△BD∽△E． 证明：（1）∵∠B＝∠DE，∠B＝∠DE． ∴△B∽△DE； （2）∵△B∽△DE， ∴ ， ∴ ， ∵∠B＝∠DE， ∴∠BD＝∠E， ∴△BD∽△E． 【变式5-2】如图，点D 是△B 内一点，且∠BD＝90°，B＝2，＝ ，∠BD＝∠BD＝30°，D ＝ ． 解：如图，过点作B 的垂线，过点D 作D 的垂线，两垂线交于点M，连接BM， ∵∠BD＝30°， ∴∠DM＝60°， ∴∠MD＝30°， ∴∠MD＝∠DB， 又∵∠DM＝∠BD＝90°， ∴△BD∽△MD， ∴ ， 又∠BD＝∠MD， ∴∠BD+∠DM＝∠DM+∠DM， 即∠BDM＝∠D， ∴△BDM∽△D， ∴ ＝ ， ∵＝ ， ∴BM＝3， 在Rt△BM 中，M＝ ＝ ＝ ，∴D＝ M＝ ． 【变式5-3】．如图，在四边形BD 中，E⊥B，垂足为E，∠BE＝∠D，BE＝E＝2，D＝5， D＝kB（k 为常数），则BD 的长为 ．（用含k 的式子表示） 解：如图中，∵E⊥B，BE＝E， ∴B＝， 将△BD 绕点逆时针旋转得到△G，连接DG．则BD＝G， ∵∠BD＝∠G， ∴∠B＝∠DG， ∵B＝，D＝G， ∴∠B＝∠B＝∠DG＝∠GD， ∴△B∽△DG， ∵D＝kB， ∴DG＝kB＝4k， ∵∠BE+∠B＝90°，∠BE＝∠D， ∴∠DG+∠D＝90°， ∴∠GD＝90°， ∴G＝ ＝ ． ∴BD＝G＝ ， 故答为： ． 1．如图，已知DE∥B，EF∥B，则下列比例式中错误的是（ ） ． ＝ B． ． D． 解：、∵EF∥B， ∴ ＝ ， ∵DE∥ B， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，故正确， B、易知△DE∽△EF， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，故B 正确． 、∵△EF∽△B， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，故正确． D、∵DE∥B， ∴ ＝ ， 显然DE≠F，故D 错误．故选：D． 2．如图，梯形BD 中，D∥B，∠B＝∠D＝90°，B＝2，D＝3，则△B 与△D 的面积比为（ ） 实战演练 ．2：3 B．2：5 ．4：9 D． ： 解：∵D∥B， ∴∠B＝∠D 又∵∠B＝∠D＝90°， ∴△B∽△D ＝ ＝ ＝ ， ∵ ＝（ ）2＝ ∴△B 与△D 的面积比为4：9．故选：． 3．如图，菱形BD 中，E 点在B 上，F 点在D 上，G 点、点在D 上，且E∥∥GF．若＝8，G ＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（ ） ．F B．FD ．BE D．E 解：∵＝8，G＝5，GD＝4， ∴D＝8+5+4＝17， ∵四边形BD 为菱形， ∴B＝D＝D＝17， ∵E∥，D∥B， ∴四边形E 为平行四边形， ∴E＝＝8， ∴BE＝B﹣E＝17 8 ﹣＝9， ∵∥GF， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：DF＝ ， ∴F＝17﹣ ＝ ， ∵ ＞9＞8＞ ， ∴F 长度最长，故选：． 4．如图，在△B 中，B＝6，E，F 分别是B，的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交E 于点 D，∠BP 的平分线交E 于点Q，当Q＝ E 时，EP+BP 的值为（ ） ．6 B．9 ．12 D．18 解：如图，延长BQ 交射线EF 于M， ∵E、F 分别是B、的中点， ∴EF∥B， ∴∠M＝∠BM， ∵BQ 是∠BP 的平分线， ∴∠PBM＝∠BM， ∴∠M＝∠PBM， ∴BP＝PM， ∴EP+BP＝EP+PM＝EM， ∵Q＝ E， ∴EQ＝2Q， 由EF∥B 得，△MEQ∽△BQ， ∴ ＝2， ∴EM＝2B＝2×6＝12， 即EP+BP＝12．故选：． 5．如图，在四边形BD 中，D∥B，∠B＝90°，B＝2 ，D＝2，将△B 绕点顺时针方向旋转 后得△′B′，当′B′恰好经过点D 时，△B′D 为等腰三角形，若BB′＝2，则′等于（ ） ． B．2 ． D． 解：过D 作DE⊥B 于E， 则BE＝D＝2，DE＝2 ， 设B′＝B＝x， 则D＝ x， ∴D2＝DE2+E2，即2x2＝28+（x 2 ﹣）2， 解得：x＝4（负值舍去）， ∴B＝4，＝ ， ∵将△B 绕点顺时针方向旋转后得△′B′， ∴∠DB′＝∠B＝90°，B′＝B，′＝，∠′＝∠B′B， ∴ ′ ∴△∽△B′B， ∴ ，即 ′ ∴＝ ，故选：． 6．如图，已知，△B 中边B 上一点P，且∠P＝∠B，＝4，P＝2，则BP＝ 6 ． 解：∵∠＝∠，∠P＝∠B， ∴△P∽△B， ∴2＝P•B，即B＝2÷P＝16÷2＝8， ∴BP＝B﹣P＝6． 7．如图，在▱BD 中，、BD 相交于点，点E 是的中点，联结BE 并延长交D 于点F，如果 △EF 的面积是4，那么△BE 的面积是 36 ． 解：∵在▱BD 中，＝ ， ∵点E 是的中点， ∴E＝ E， ∵D∥B， ∴△FE∽△BE， ∴ ＝ ＝ ， ∵S△EF＝4， ＝（ ）2＝ ， ∴S△BE＝36，故答为36． 8．如图，在△B 中，点G 为B 的重心，过点G 作DE∥分别交边B、B 于点D、E，过点D 作 DF∥B 交于点F，如果DF＝4，那么BE 的长为 8 ． 解：连接BG 并延长交于， ∵G 为B 的重心， ∴ ＝2， ∵DE∥，DF∥B， ∴四边形DEF 是平行四边形， ∴E＝DF＝4， ∵GE∥， ∴△BEG∽△B， ∴ ＝2， ∴BE＝8，故答为：8． 9．如图，已知Rt△B 中，两条直角边B＝3，B＝4，将Rt△B 绕直角顶点B 旋转一定的角度 得到Rt△DBE，并且点落在DE 边上，则s∠BE＝ ． 解：∵将Rt△B 绕直角顶点B 旋转一定的角度得到Rt△DBE， ∴BD＝B，B＝BE，∠BD＝∠BE，∠DEB＝∠B， ∴∠D＝∠B＝∠BD＝ （180°﹣∠BD）， ∴∠BE＝ （180°﹣∠BE）， ∴∠D＝∠BE， ∵∠B＝∠DBE＝90°， ∴∠DEB+∠BE＝90°， ∴∠E＝90°， ∵∠GB＝∠EG， ∴∠E＝∠BE， ∵在Rt△B 中，B＝3，B＝4， ∴＝DE＝5， 过B 作B⊥DE 于， 则D＝，BD2＝D•DE， ∴D＝ ＝ ， ∴D＝ ， ∴E＝DE﹣D＝ ， s ∴∠BE＝s∠E＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 10．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6，D 平分∠B，交边B 于点D，过点D 作 的平行线，交边B 于点E． （1）求线段DE 的长； （2）取线段D 的中点M，联结BM，交线段DE 于点F，延长线段BM 交边于点G，求 的值． 解：（1）∵D 平分∠B，∠B＝60°， ∴∠D＝30°， 在Rt△D 中，∠D＝90°，∠D＝30°，＝6， ∴D＝2 ， 在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6， ∴B＝6 ， ∴BD＝B﹣D＝4 ， ∵DE∥， ∴ ， ∴DE＝4； （2）如图， ∵点M 是线段D 的中点， ∴DM＝M， ∵DE∥， ∴ ， ∴DF＝G， ∵DE∥， ∴ ， ∴ ， ∵BD＝4 ，B＝6 ，DF＝G， ∴ ． 11．如图，在菱形BD 中，∠DE、∠DF 分别交B、B 于点E、F，DF 交对角线于点M，且 ∠DE＝∠DF． （1）求证：E＝F； （2）连接ME，若 ＝ ，F＝2，求ME 的长． 解：（1）∵四边形BD 是菱形， ∴D＝D，∠DF＝∠DE， 又∵∠DE＝∠DF， ∴∠DE﹣∠EDF＝∠DF﹣∠EDF， ∴∠DF＝∠DE， 在△DF 和△DE 中， ， ∴△DF≌△DE， ∴E＝F． （2）∵四边形BD 是菱形， ∴B＝B， 由（1）得：E＝F＝2， ∴BE＝BF， 设BE＝BF＝x， ∵ ＝ ，F＝2， ∴ ，解得x＝ ， ∴BE＝BF＝ ， ∵ ＝ ，且E＝F， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠MD＝∠MF，∠DM＝∠MF， ∴△MF∽△MD， ∴ ， ∴ ＝ ，且∠B＝∠B ∴△B∽△ME ∴∠B＝∠ME＝∠B ∴ME＝E＝2 12．[问题背景]（1）如图①，已知△B∽△DE，求证：△BD∽△E． [尝试应用]（2）如图②，在△B 和△DE 中，∠B＝∠DE＝90° ∠B＝∠DE＝30°，与DE 相交于点F，点D 在B 边上， ＝ ， ①填空： ＝ 1 ； ②求 的值． （1）证明：如图①，∵△B∽△DE， ∴∠B＝∠DE， ＝ ， ∴∠B﹣∠D＝∠DE﹣∠D， ＝ ， ∴∠BD＝∠E， ∴△BD∽△E． （2）解：①如图②，∵∠DE＝90°，∠DE＝30°， ∴DE＝2E， ∴D