专题09 相似三角形的五种基本模型（原卷版）

专题09 相似三角形的五种基本模型 类型一、字型（双字型） 例1．如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点．求 的值． 例2（培优）如图， 中，点D 在 边上，且 ． （1）求证： ； （2）点E 在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数． （3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长． 【变式训练1】一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一个面 积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合 要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 是 轴正半轴上一动点，以 为直 角边构造直角 ，另一直角边交 轴负半轴于点 ， 为线段 的中点，则 的最小值为 ． 类型二、X 字型 X 字型（平行） 反X 字型（不平行） 例1．如图在平行四边形BD 中，E 是D 的中点，F 是E 的中点，F 交BE 于点G，若 ，则 ． 例2（培优）矩形BD 中，B＝8，D＝12．将矩形折叠，使点落在点P 处，折痕为DE． （1）如图①，若点P 恰好在边B 上，连接P，求 的值； （2）如图②，若E 是B 的中点，EP 的延长线交B 于点F，求BF 的长． 【变式训练1】如图，在 中，点D 在B 上， ，连接D， ，则线 段D 的长为 ． 【变式训练3】（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目 如图，在△B 中，点在线段B 上，∠B＝30°，∠＝75°，＝ ，B：＝2：1，求B 的长经过数学小组成员讨论 发现，过点B 作BD∥，交的延长线于点D，通过构造△BD 就可以解决问题（如图2） 请回答：∠DB＝ °，B＝ （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3 在四边形BD 中对角线与BD 相交于点，⊥D，＝ ，∠B＝∠B＝75°，B：D＝2：1，求D 的长 类型三、母子型 例1．如图， 中，点 在 上， ，若 ， ，则线段 的长为 ． 例2．（培优）已知：如图， 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 交 于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ． 【变式训练1】如图，在 中， ，D 是 上一点，点E 在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ． 【变式训练2】如图，在 中， ， ， ， ， ，则D 的长为 ． 类型四、旋转相似模型 例．在 中， ， ，点P 是平面内不与点，重合的任意一点，连接 ，将线段 绕点P 逆时针旋转α 得到线段 ，连接 ， ， (1)观察猜想 如图①，当 时， 的值是_______，直线 与直线 相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当 时，请写出 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形 说明理由． 【变式训练1】某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P 是底边B 上一点，连接P，以P 为腰作等 腰 ，且 ，连接Q、则BP 和Q 的数量关系是______； (2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P 是腰B 上一点，连接P，以P 为底边作等 腰 ，连接Q，判断BP 和Q 的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形BD 中，点P 是边B 上一点，以DP 为边作正方形DPEF，点Q 是正方形 DPEF 两条对角线的交点，连接Q．若正方形DPEF 的边长为 ， ，求正方形BD 的边长． 【变式训练2】在△B 中，B＝，∠B＝α，点P 为线段延长线上一动点，连接PB，将线段PB 绕点P 逆时针 旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，D． （1）如图1，当α＝60°时，求证：P＝D； （2）如图2，当α＝120°时，猜想P 和D 的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若B＝6，BP＝ ，请直接写出点D 到P 的距离． 【变式训练3】如图1，在 中， ，在斜边 上取一点D，过点D 作 ，交 于点E．现将 绕点旋转一定角度到如图2 所示的位置（点D 在 的内部），使 得 ． （1）①求证： ； ②若 ，求 的长； （2）如图3，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变， 设，若 ， ，求k 的值； （3）如图4，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变，若 ，设 ， ，试探究 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 类型五、K 字模型 例1．（1）问题发现：如图1， ，将边 绕点顺时针旋转 得到线段 ，在射线 上取点 D，使得 ．请求出线段 与 的数量关系； （2）类比探究：如图2，若 ，作 ，且 ，其他条件不变，则线段 与 的 数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形 的边长为6，点E 是边 上一点，且 ，把线段 逆时针 旋转 得到线段 ，连接 ，直接写出线段 的长． 例2．（培优）如图，在矩形BD 中，B＝6，B＝2，Rt△BEF 的顶点E 在边D 或延长线上运动，且∠BEF＝ 90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝ ． 【变式训练1】【感知】如图①，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合）， ．易证 ．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合）， ．若 ， ， ，求P 的长． 【拓展】如图③，在 中， ， ，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合），连结 P，作 ，PE 与边B 交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出P 的长． 【变式训练2】如图，矩形BD 中，B＝1，B＝3，点E 是边B 上一个动点（不与点B、重合），E 的垂线F 交D 的延长线于点F，点G 在线段EF 上，满足FG GE ∶ ＝1 2 ∶，设BE＝x． （1）求证： ； （2）当点G 在△DF 的内部时，用x 的代数式表示∠DG 的余切； （3）当∠FGD＝∠FE 时，求线段BE 的长． 【变式训练3】如图1 和图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（0，4），是x 轴上的一个动点，M 是线 段的中点．把线段M 以为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到B．过B 作x 轴的垂线、过点作y 轴的垂线， 两直线交于点D，直线DB 交x 轴于点E．设点的横坐标为m． （1）求证：△∽△BE； （2）若m=3，则点B 的坐标为 ；若m= 3 ﹣，则点B 的坐标为 ； （3）若m＞0，△BD 的面积为S，则m 为何值时，S=6？ （4）是否存在m，使得以B、、D 为顶点的三角形与△相似？若存在，求此时m 的值；若不存在，请说明 理由． 课后作业 1．如图，在平行四边形BD 中，E 为边D 的中点，连接，BE 交于点F．若△EF 的面积为2，则△B 的面积 为( ) ．8 B．10 ．12 D．14 2．如图，P 为 的边 上的一点，E，F 分别为 ， 的中点， ， ， 的面 积分别为S，S1，S2．若 ，则 的值是（ ） ．24 B．12 ．6 D．10 3．如图1，ΔB 中，B=，点D 在B 的延长线上，点E 在B 上，DE=D，点F 是DE 与的交点． （1）求证：∠BDE=∠D； （2）若DE=2DF，过点E 作EG//交B 于点G，求证：B=2G； （3）将“点D 在B 的延长线上，点E 在B 上”改为“点D 在B 上，点E 在B 的延长线上”，“点F 是DE 与的交点”改为“点F 是ED 的延长线与的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：B·BE=D·B； ②若DE=4DF，请直接写出SΔB:SΔDE的值． 4【问题发现】（1）如图1，在 中， ，D 为 边上一点（不与点B、重合）将线段 绕点顺时针旋转90°得到 ，连接 ，则线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】（2）如图2，在 和 中， 将 绕点旋转，当点， D，E 在同一直线时， 与 具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ，将 绕顺时针旋转，点对应 点E，设旋转角 为 （ ），当点，D，E 在同一直线时，画出图形，并求出线段 的 长度． 5．如图，等腰三角形B 和等腰三角形DE，其中B＝，D＝E． (1)如图1，若∠B＝90°，当、D、E 共线时，D 的延长线F⊥B 交B 于点F，则∠E＝______； (2)如图2，连接D、BE，延长ED 交B 于点F，若点F 是B 的中点，∠B＝∠DE，证明：D⊥D； (3)如图3，延长D 到点M，连接BM，使得∠BM＋∠M＝180°，延长ED、BM 交于点，连接，若∠B＝ 2∠D，请写出∠DM、∠DE 它们之间的数量关系，并写出证明过程． 6．如图， 和 是有公共顶点直角三角形， ，点P 为射线 ， 的交点． （1）如图1，若 和 是等腰直角三角形，求证： ； （2）如图2，若 ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下， ， ，若把 绕点旋转，当 时，请直接写出 的长 度 7．正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点， 将 沿 翻折得 到 ，直线 交射线 于点 ． (1)当 时，求 的度数用含 的式子表示； (2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； (3)若 ，求 的值．