专题72 三角形中的新定义问题（解析版）(1)

【例1】．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的 比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角 形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sd）． 如图，在△B 中，B＝，顶角的正对记作sd，这时sd＝ ＝ ．容易知道一个角的 大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sd60°＝ 1 ； （2）对于0°＜＜180°，∠的正对值sd 的取值范围是 0 ＜ sd ＜ 2 ； （3）如图，已知s＝ ，其中∠为锐角，试求sd 的值． 解：（1）根据正对定义， 当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°， 则三角形为等边三角形， 则sd60°＝ ＝1． 故答为：1． （2）当∠接近0°时，sd 接近0， 当∠接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sd 接近2． 于是sd 的取值范围是0＜sd＜2． 故答为0＜sd＜2． （3）如图，过B 作BD⊥于D． 例题精讲 在Rt△BD 中，s＝ ＝ ． 设D＝4k，B＝5k，则BD＝3k， ∴D＝5k 4 ﹣k＝k． 在Rt△BD 中，B＝ ＝ k， ∴sd＝ ＝ ． 变式训练 【变1-1】．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2 倍，那么称这个三角形为 “倍角三角形”．若△B 是“倍角三角形”，∠＝90°，B＝4，则△B 的面积为 4 或 2 ． 解：∵△B 是“倍角三角形”， ∴分四种情况： 当∠＝2∠B＝90°时， ∴∠B＝45°， ∴△B 是等腰直角三角形， ∵B＝4， ∴B＝＝ ＝ ＝2 ， ∴△B 的面积＝ B•＝ ×2 ×2 ＝4； 当∠＝2∠＝90°时，同理可得：△B 的面积为4； 当∠B＝2∠时， ∵∠＝90°， ∴∠B+∠＝90°， ∵∠B＝2∠， ∴∠＝30°，∠B＝60°， ∵B＝4， ∴B＝ B＝2，＝ B＝2 ， ∴△B 的面积＝ B•＝ ×2×2 ＝2 ； 当∠＝2∠B 时， ∵∠＝90°， ∴∠B+∠＝90°， ∵∠＝2∠B， ∴∠B＝30°，∠＝60°， ∵B＝4， ∴＝ B＝2，B＝ ＝2 ， ∴△B 的面积＝ B•＝ ×2 ×2＝2 ； 综上所述：△B 的面积为4 或2 ， 故答为：4 或2 ． 【变1-2】．定义：如果三角形的两个内角α 与β 满足α+2β＝100°，那么我们称这样的 三角形为“奇妙三角形”． （1）如图1，△B 中，∠B＝80°，BD 平分∠B． 求证：△BD 为“奇妙三角形” （2）若△B 为“奇妙三角形”，且∠＝80°．求证：△B 是直角三角形； （3）如图2，△B 中，BD 平分∠B，若△BD 为“奇妙三角形”，且∠＝40°，直接写出∠ 的度数． （1）证明：∵BD 平分∠B， ∴∠B＝2∠BD． 在△B 中，∵∠B＝80°， + ∴∠∠B＝180°﹣∠B＝180° 80° ﹣ ＝100°， 即∠+2∠BD＝100°， ∴△BD 为“奇妙三角形”． （2）证明：在△B 中，∵∠＝80°，∴∠+∠B＝100°， ∵△B 为“奇妙三角形”，∴∠+2∠B＝100°或∠+2∠＝100°， ∴∠B＝10°或∠＝10°， 当∠B＝10°时，∠＝90°，△B 是直角三角形． 当∠＝10°时，∠B＝90°，△B 是直角三角形． 由此证得，△B 是直角三角形． （3）解：∵BD 平分∠B， ∴∠B＝2∠BD， ∵△BD 为“奇妙三角形”， +2 ∴∠ ∠BD＝100°或2 + ∠∠BD＝100°， ①当∠+2∠BD＝100°时，∠BD＝（100° 40° ﹣ ）÷2＝30°， ∴∠B＝2∠BD＝60°， ∴∠＝80°； ②当2 + ∠∠BD＝100°时，∠BD＝100° 2 ﹣∠＝20°， ∴∠B＝2∠BD＝40°， ∴∠＝100°； 综上得出：∠的度数为80°或100°． 【例2】．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角 形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 不是 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△B 是“准等边三角形”，其中∠＝35°，∠＞90°．求∠B 的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝30°， ，点D 在边上，若△BD 是“准 等边三角形”，求BD 的长． 解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°， ∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵△B 是“准等边三角形”，∠＝35°，∠＞90°， ∴分两种情况： 当∠﹣∠＝60°时， ∴∠＝∠+60°＝95°， ∴∠B＝180°﹣∠﹣∠＝50°； 当∠﹣∠B＝60°时， ∵∠＝35°， + ∴∠∠B＝180°﹣∠＝145°， 2 ∴∠B＝85°， ∴∠B＝425°； 综上所述：∠B 的度数为50°或425°； （3）∵∠B＝90°，∠＝30°， ， ∴∠B＝90°﹣∠＝60°，B＝2B＝2+2 ， ∵△BD 是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当∠﹣∠BD＝60°时， ∴∠BD＝∠﹣60°＝30°， ∴BD＝2D， ∵D2+B2＝BD2， ∴D2+（1+ ）2＝（2D）2， 解得：D＝ 或D＝﹣ （舍去）， ∴BD＝2D＝ ； 当∠BD﹣∠BD＝60°时， 过点D 作DE⊥B，垂足为E， ∵∠＝90°， ∴∠BD+∠BD＝90°， 2 ∴∠BD＝150°， ∴∠BD＝75°， ∴∠BD＝∠BD﹣∠＝45°， ∴△BDE 是等腰直角三角形， ∴BE＝DE，BD＝ DE， 设DE＝BE＝x， 在Rt△DE 中，∠＝30°， ∴E＝ DE＝ x， ∵BE+E＝B， ∴x+ x＝2+2 ， 解得：x＝2， ∴BE＝DE＝2， ∴BD＝ DE＝2 ； 综上所述：BD 的长为 或2 ． 变式训练 【变2-1】．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示， △B 中F、BE 是中线，且F⊥BE，垂足为P，像△B 这样的三角形称为“中垂三角形”， 如果∠BE＝30°，B＝6，那么此时的长为 3 ． 解：如图，∵F⊥BE， ∴∠PB＝∠PE＝90°， 在Rt△BP 中，∵∠BP＝30°， ∴P＝ B＝3， BP＝ P＝3 ， ∵F、BE 是中线， ∴E＝E，点P 为△B 的重心， ∴PE＝ BP＝ ， 在Rt△PE 中，E＝ ＝ ， ∴＝2E＝3 ． 故答为3 ． 【变2-2】．【了解概念】 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形 为半线三角形，这条中线叫这条边的半线． 【理解运用】 （1）如图1，在△B 中，B＝，∠B＝120°，试判断△B 是否为半线三角形，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，M 为△B 外一点，连接MB，M，若△B 和 △MB 均为半线三角形，且D 和MD 分别为这两个三角形B 边的半线，求∠M 的度数； （3）在（2）的条件下，若MD＝ ，M＝1，直接写出BM 的长． 解：（1）△B 是半线三角形，理由如下： 取B 得中点D，连接D， ∵B＝，点D 为B 的中点， ∴D⊥B， ∵B＝，∠B＝120°， ∴∠B＝∠＝30°， 在Rt△BD 中，∠B＝30°， ∴D＝ B， ∴△B 是半线三角形． （2）过点作⊥M 交M 于点，如图， ∵MD 为△MB 的B 边的半线， ∴MD＝ B＝BD＝D， ∴∠DBM＝∠DMB，∠DM＝∠DM， ∴∠BM＝90°， 同理∠B＝90°， 又∵∠MB＝∠， ∴∠MB＝∠M， ∵∠M＝∠B＝90°， ∴∠MB＝∠． ∵B＝， ∴△MB≌△（S）， ∴M＝， 又∵∠M＝90°， ∴∠M＝∠M＝45°． （3）由题意可知，B＝2MD＝3， 由（2）知△MB≌△（S）， ∴MB＝，M＝＝1， ∴M＝ ， 在Rt△MB 中，由勾股定理可得，MB2+M2＝B2， ∴MB2+（ +MB）2＝32， 解得，MB＝2﹣ （负值舍去）． 故MB 的值为2﹣ ． 1．当三角形中一个内角β 是另外一个内角α 的 时，我们称此三角形为“友好三角形”， α 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形” 的“友好角α”的度数为 42° 或 84° 或 92° ． 解：①42°角是α，则友好角度数为42°； ②42°角是β，则α＝2β＝84°， ∴友好角α＝84°； ③42°角既不是α 也不是β， 则α+β+42°＝180°， 所以，α+ α+42°＝180°， 解得α＝92°， 综上所述，友好角度数为42°或84°或92°． 故答为：42°或84°或92°． 2．当三角形中一个内角α 是另一个内角β 的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”， 其中α 称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙 三角形”的另两个内角的度数为 30° ， 90° 或 40° ， 80° ． 解：由题意得： ①当60°的角为“奇妙角”时， 有另一个角为30°， ∴第三个内角为180° 60° 30° ﹣ ﹣ ＝90°； ②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2 2 ∠， 有∠1+ 2+60° ∠ ＝180°， 即2 2+ 2 ∠ ∠＝120°， 解得：∠2＝40°， 故∠1＝80°． 综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°． 故答为：30°，90°或40°，80°． 3．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定 义，探究如下问题：如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝10，＝6，如果准外心P 在B 边上， 那么P 的长为 4 或 ． 解：在Rt△B 中， ∵＝90°，B＝10，＝6， ∴B＝ ＝ ＝8， 若PB＝P，连接P， 设P＝x，则P＝PB＝8﹣x， 在Rt△P 中， ∵P2＝P2+2， ∴（8﹣x）2＝x2+62， ∴x＝ ，即P＝ ， 若PB＝P，则P＝4， 若P＝P，由图知，在Rt△P 中，不可能， 故P 的长为：4 或 ． 故答是：4 或 ． 4．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形B 的每条 边上各取一点D，E，F，△DEF 称为△B 的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三 角形B 的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△B 中， 点D，E，F 分别为B，B，上的动点，B＝＝5，B＝6，则△DEF 周长的最小值为 ． 解：∵B＝＝5，B＝6， ∴BE＝E＝3， ∴E＝ ＝4， ∵D⊥B，BF⊥ ∴DE＝EF＝ B＝3， ∵S△B＝ •BF＝ B•E， ∴BF＝ ， ∴F＝ ＝ ， ∴F＝ ， ∵△DF∽△B， ∴ ＝ ， ∴DF＝ ， ∴△DEF 的周长的最小值＝3+3+ ＝ ． 故答为： ． 5．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sd）．如图①在△B 中，B ＝，顶角的正对记作sd，这时sd＝ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对 值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sd60°＝ 1 ． （2）sd90°＝ ． （3）如图②，已知s＝ ，其中∠为锐角，试求sd 的值． 解：（1）sd60°＝1； （2）sd90°＝ ； （3）设B＝5，B＝3，则＝4， 在B 上取D＝＝4，作DE⊥于点E，如图所示： 则DE＝D•s＝4• ＝ ，E＝D•s＝4• ＝ ， E＝4﹣ ＝ ， ， ∴sd＝ ． 6．定义：如果两条线段将一个三角形分成3 个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三 角形的三分线． （1）如图①，△B 是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断 △DB 与△EB 是否相似： 是 （填“是”或“否”）； （2）如图②，△B 中，＝2，B＝3，∠＝2∠B，则△B 的三分线的长为 和 ． 解：（1）是， 故答为：是； （2）如图3 所示，D、E 就是所求的三分线． 设∠B＝α，则∠DB＝∠D＝∠E＝α，∠DE＝∠ED＝2α， 此时△E∽△BD，△D∽△B， 设E＝D＝x，BD＝D＝y， ∵△E∽△BD， ∴x：y＝2：3， ∵△D∽△B， 2 ∴：x＝（x+y）：2， 所以联立得方程组 ， 解得 ， 即三分线长分别是 和 ． 故答为： 和 ． 7．概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形 互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线 段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形， 另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割 线”． 理解概念： （1）如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用： （2）如图2，在△B 中，D 为角平分线，∠＝40°，∠B＝60°．求证：D 为△B 的等角分割 线． 动手操作： （3）在△B 中，若∠＝50°，D 是△B 的等角分割线，请求出所有可能的∠B 的度数． 解：（1）△B 与△D，△B 与△BD，△D 与△BD 是“等角三角形”； （2）在△B 中，∠＝40°，∠B＝60° ∴∠B＝180°﹣∠﹣∠B＝80° ∵D 为角平分线， ∴∠D＝∠DB＝ ∠B＝40°， ∴∠D＝∠，∠DB＝∠， ∴D＝D， 在△DB 中，∠DB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BD＝180°﹣∠DB﹣∠B＝80°， ∴∠BD＝∠B， ∵D＝D，∠BD＝∠B，∠DB＝∠，∠B＝∠B， ∴D 为△B 的等角分割线； （3）当△D 是等腰三角形，如图2，D＝D 时，∠D＝∠＝50°， ∴∠B＝∠BD＝50°+50°＝100°， 当△D 是等腰三角形，如图3，D＝时，∠D＝∠D＝65°，∠BD＝∠＝50°， ∴∠B＝50°+65°＝115°， 当△D 是等腰三角形，D＝的情况不存在， 当△BD 是等腰三角形，如图4，D＝BD 时，∠D＝∠BD＝∠B＝ ＝ ， ∴∠B＝ ， 当△BD 是等腰三角形，如图5，DB＝B 时，∠BD＝∠BD， 设∠BD＝∠BD＝x， 则∠B＝180° 2 ﹣x， 则∠D＝∠B＝180° 2 ﹣x， 由题意得，180° 2 ﹣x+50°＝x， 解得，x＝ ， ∴∠D＝180° 2 ﹣x＝ ， ∴∠B＝ ， 综上所述：∠B 的度数为100°或115°或 或 ． 8．定义：在△B 中，若B＝，＝b，B＝，，b，满足+2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角 形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 假 （填“真”或“假”）命题． （2）如图1 所示，若等腰三角形B 是“类勾股三角形”，B＝B，＞B，请求∠的度数． （3）如图2 所示，在△B 中，∠B＝2∠，且∠＞∠，求证：△B 为“类勾股三角形”．志 明同学想到可以在B 上找一点D 使得D＝D，再作E⊥BD，请你帮助志明完成证明过程 （1）解：在类勾股△B 中，b+2＝2， 在Rt△B 中，∠＝90°， 由勾股定理得：b2+2＝2， ∴b+2＝b2+2， ∴＝b， ∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， ∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答为：假； （2）解：∵B＝B，＞B， ∴＝，b＞， ∵△B 是类勾股三角形， + ∴ 2＝b2， ∴2+2＝b2， ∴△B 是等腰直角三角形， ∴∠＝45°； （3）证明：∵D＝D， ∴∠D+∠， ∴∠DB＝∠D+∠＝2∠， ∵∠B＝2∠， ∴∠DB＝∠B， ∴D＝B＝， ∵∠D＝∠， ∴D＝D＝， ∴DB＝B﹣D＝﹣， ∵E⊥B， ∴DE＝BE＝ （﹣）， ∴E＝D+DE＝+ （﹣）＝ （+）， 在Rt△E 中，E2＝2﹣E2＝b2 [ ﹣ （+）]2， 在Rt△BE 中，E2＝B2﹣BE2＝2 [ ﹣ （﹣）]2， ∴b2 [ ﹣ （+）]2＝2 [ ﹣ （﹣）]2， ∴b2＝+2， ∴△B 是“类勾股三角形”． 9．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度． 如图1，在△B 中，B＝， 的值为△B 的正度． 已知：在△B 中，B＝，若D 是△B 边上的动点（D 与，B，不重合）． （1）若∠＝90°，则△B 的正度为 ； （2）在图1，当点D 在腰B 上（D 与、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△D，保留作 图痕迹；若△D 的正度是 ，求∠的度数． （3）若∠是钝角，如图2，△B 的正度为 ，△B 的周长为22，是否存在点D，使△D 具 有正度？若存在，求出△D 的正度；若不存在，说明理由． 解：（1）若∠＝90°， ，则△B 的正度为 ， 故答为： ； （2）用尺规作出等腰△D，如图1， 作的中垂线交B 于点D，交于点E． ∴D＝D，DE⊥，＝2E． ∵△D 的正度是 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在Rt△DE 中，设D＝ x，E＝x， ∴ ． ∴DE＝E． ∴△DE 是等腰直角三角形． ∴∠＝45°． （3）存在点D，使△D 具有正度． ∵△B 的正度为 ，△B 的周长为22， ∴ ． 设B＝3x，B＝5x，则＝3x． ∵△B 的周长为22， 3 ∴x+5x+3x＝22． ∴x＝2． ∴B＝6，＝6，B＝10， 作⊥B 于，则B＝＝5， ∴＝ ． ①当D＝D 时，如图2 所示， 设D＝D＝y，则D＝5﹣y， 由2+D2＝D2，得11+（5﹣y）2＝y2． 解得y＝ ， 即D＝ ． ∴△D 的正度为 ． ②当＝D＝6 时， 如图3 所示，D＝D﹣＝6 5 ﹣＝1， ∴D＝ ． ∴△D 的正度为 ． 综上所述，△D 的正度为 或 ． 10．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 ②③ （只填写序号）． ①顶角是30°的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是30°的直角三角形． （2）如图1，在△B 中，B＝，∠B≥90°，将△B 沿边B 所在的直线翻折180°得到△BD，延 长D