河南省许昌市2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题

XCS2021－2022 学年第二学期期末教学质量检测 高二理科数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. P D. Q 2. 已知复数z 满足 ，则z＝（ ） A. 1－i B. －1－i C. D. 3. 若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社 区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中不正确的命题为（ ） A. 三角形全等是三角形面积相等的充要条件 B. 每个指数函数都是单调函数 C. 是周期函数 D. 是偶函数 5. 双曲线 与 有相同的（ ） A. 离心率 B. 渐近线 C. 实轴长 D. 焦点 6. 已知函数 ， ，要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上的所有点（ ） A. 横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位得到 B. 横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位得到 C. 横坐标伸长为原来的 倍，再向左平移 个单位得到 D. 横坐标伸长为原来的 倍，再向左平移 个单位得到 7. 若实数a，b，c 满足 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ， ，向量 ， 不共线，则向量 与 互相垂直的充要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面四边形ABCD 中， ，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，则三 角形ABC 的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l 过点 ，且垂直于x 轴．若l 被抛物线 截得的线段长为 ，则抛物线的焦点 坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 有一容积为 的正方体容器 ，在棱AB、 的中点E、F 及侧面 的中心处 G 各有一小孔，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 ，则下列结论中正确的命题个数为（ ） ①当 时，函数 有两个极值点 ②当a≤1 时，函数在 上为 减函数 ③当 时，函数 的图象与x 轴有两个交点 ④当 ，函数 在 上存在最小值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 二项式 的 展开式中 的系数为 ，则a＝______． 14. 若变量x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为______． 15. 在五一假期当天，假设某商业中心有一个新冠病毒感染者未被发现且未佩戴口罩，当天有10 万人进入 过该商业中心．若其中有20%的人与感染者有近距离接触，并且其中有15%的人未佩戴口罩．则五一当天 进入该商业中心被感染的人数约为______．（近距离接触时，若你和感染者都未佩戴口罩，则感染率为 90%；若你戴口罩，感染者未戴口罩，则感染率为30%） 16. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，其一条渐近线倾斜角为 ，若点P 在 双曲线上，且 ，则 ______． 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 和 满足 ，且 ， ，设 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 是等比数列，且 ，求数列 的前n 项和 ． 18. 已知某工厂的一种机器有两个相同的易损配件，当两个配件都正常工作时（两个配件损坏与否互不影 响），该机器才能正常运转.该工厂计划购买一批易损配件，现有甲、乙两个品牌的配件供选择，甲、乙两 个品牌的配件可以搭配使用，甲品牌配件的价格为400 元/个，乙品牌配件的价格为800 元/个.现需决策如 何购买易损配件，为此收集并整理了以往购买的甲、乙两个品牌配件各100 个的使用时间的数据，得到如 下柱状图.分别以甲、乙两种配件使用时间的频率作为概率. （1）若从2 个甲品牌配件和2 个乙品牌配件中任选2 个装入机器，求该机器正常运转时间不少于2 个月的概率. （2）现有两种购置方案：方案一，购置2 个甲品牌配件；方案二，购置2 个乙品牌配件.试从性价比（机 器正常运转的时间的数学期望与成本的比值）的角度考虑，哪一种方案更实惠? 19. 如图，在四棱锥 中，已知 是等边三 角形， 为 的中点． （1）证明： 平面 ． （2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 20. 已知椭圆 的长轴是短轴的3 倍，左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上． （1）求椭圆C 的方程； （2）若过点 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，是否在x 轴正半轴存在点 ， 使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数 ， ． （1）求函数 在 处的切线方程； （2）若函数 在 上有两个极值点 ，且 ，证明： ． （二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. [选修4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极点， 以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ，直线与曲线C 交于A，B 两 点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P 的极坐标为 ，求 的值． [选修4－5]：不等式选讲]（10 分） 23. 已知 ， . （1）当a＝2 时，求不等式 的解集； （2）若函数 的值域为A，且 ，求a 的取值范围． XCS2021－2022 学年第二学期期末教学质量检测 高二理科数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 【1 题答案】 【答案】C 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】B 【4 题答案】 【答案】A 【5 题答案】 【答案】D 【6 题答案】 【答案】B 【7 题答案】 【答案】D 【8 题答案】 【答案】C 【9 题答案】 【答案】A 【10 题答案】 【答案】A 【11 题答案】 【答案】B 【12 题答案】 【答案】C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 【13 题答案】 【答案】1 【14 题答案】 【答案】 【15 题答案】 【答案】 【16 题答案】 【答案】13 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【17 题答案】 【答案】（1） （2） 【18 题答案】 【答案】（1） （2）方案二更实惠 【19 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【20 题答案】 【答案】（1） （2） 【21 题答案】 【答案】（1） （2）证明见详解 （二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. [选修4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 【22 题答案】 【答案】（1） ， （2） [选修4－5]：不等式选讲]（10 分） 【23 题答案】 【答案】（1） 或 （2） 或