精品解析：甘肃省兰州第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题（解析版）

兰州一中2021-2022-2 学期高二年级期中考试试卷 数学（理科） 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150 分，考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12 小题，满分60 分，每小题5 分） 1. 复数 （i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求出共轭复数，再求出虚部即可. 【详解】由题意知： ，则虚部为1. 故选：B. 2. 在用反证法证明“已知 ， ，且 ，则 ， 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. ， 都小于0 B. ， 至少有一个大于0 C. ， 都大于0 D. ， 至少有一个小于0 【答案】C 【解析】 【分析】反证法，应假设命题结论的否定. 【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0 和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“ ， 都大于 0”． 故选：C 3. 函数y＝x2cos 2x 的导数为（ ） A. y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B. y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C. y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D. y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可． 【详解】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x 故选：B 4. 函数 的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数 的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解. 【详解】函数 的定义域为 ， ， ，解得 ， 所以函数 的单调递减区间为 . 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则 的应用. 5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫b cf（x）dx ∫ ﹣a bf（x）dx ，然后根据定积分的意义进行选择即可． 详解： 由定积分的几何意义知 区域内的曲线与X 轴的面积代数和． 即∫b cf（x）dx ∫ ﹣a bf（x）dx 选项D 正确． 故选D． 点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负 （积分的几何意义强调代数和），属于基础题．注意积分并不等于面积，当被积函数为正时积分和面积相 等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数. 6. 把3 封信投到4 个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7 种 B. 12 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得每封信都有4 种投法，再由分步乘法计数原理可求出结果 【详解】由题意可得，第1 封信投到信箱中有4 种投法，第2 封信投到信箱中有4 种投法，第3 封信投到 信箱中有4 种投法， 所以由分步乘法计数原理可得共有 种投法， 故选：D 7. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项. 【详解】根据 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是： 正、负、正、负.结合选项可知，只有 选项符合，故本题选A. 【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 8. 已知函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将题目转化为函数 的图像与 的图像只有一个交点，利用导数研究函数 的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出 的取值范围. 【详解】由函数 只有一个零点，等价于函数 的图像与 的图像只有 一个交点， ，求导 ，令 ，得 当 时， ，函数在 上单调递减；当 时， ，函数在 上单调递增； 当 时， ，函数在 上单调递减；故当 时，函数取得极小值 ；当 时，函 数取得极大值 ； 作出函数图像，如图所示， 由图可知，实数 的取值范围是 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解. 9. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分 配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120 种 B. 240 种 C. 360 种 D. 480 种 【答案】B 【解析】 【分析】先将5 名志愿者分为4 组，然后再将4 组分到4 个项目，再根据分布乘法原理即可得解. 【详解】先将5 名志愿者分为4 组，有 种分法， 然后再将4 组分到4 个项目，有 种分法， 再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有 种. 故选：B. 10. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x3的系数为 ，故选A． 【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 11. 下列说法正确的是： ①设函数 可导，则 ； ②过曲线 外一定点做该曲线的切线有且只有一条； ③已知做匀加速运动的物体的运动方程是 米，则该物体在时刻 秒的瞬时速度是 米秒； ④一物体以速度 （米/秒）做直线运动，则它在 到 秒时间段内的位移为 米； ⑤已知可导函数 ，对于任意 时， 是函数 在 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④ C. ②③⑤ D. ③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可． 【详解】对于选项①，设函数 则 ，故①错． 对于选项②，过曲线 外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错． 对于选项③，已知做匀速运动的 物体的运动方程为 ，则 ，所以 ，故 ③正确． 对于选项④，一物体以速度 做直线运动，则它在 到 时间段内的位移为 ，故④正确． 对于选项⑤，已知可导函数 ，对于任意 时， 是函数 在 上单 调递增的充分不必要条件，例如 ，故⑤错． 故选B． 【点睛】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题. 12. 已知 ， ，若 成立，则实数的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义得出函数 为偶函数，利用导数知函数 在区间 上为增 函数，由偶函数的性质将不等式 变形为 ，利用单调性得出 ，从而可解出实数的取值范围. 【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称， ， 函数 为偶函数， 当 时， ， ， 则函数 在 上为增函数， 由 得 ， 由偶函数的性质得 ， 由于函数 在 上为增函数，则 ，即 ， 整理得 ，解得 ，因此，实数的取值范围是 . 故选：B. 二．填空题（共5 小题，满分25 分，每小题5 分） 13. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定积分的几何意义及性质计算即可. 【详解】 ，根据定积分的几何意义可知， 表示以 为圆心，1 为半径的圆的四分之一面积， 所以 ， 而 ， 所以 ． 故答案为： . 14. 在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 【答案】243 【解析】 【分析】由二项式系数的性质可求 ，再利用赋值法求各项系数和. 【详解】因为二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以 ，故 ， 取 可得二项式 的展开式中各项系数和为 ，即243. 故答案为：243. 15. 若函数 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意 ， ，…， 都有 ，若函数 在区间 上是凸函数， 则在△ 中， 的最大值是______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据题设凸函数的性质可得 即可求最大值，注意等号 成立条件. 【详解】由题设知： ， ∴ ，当且仅当 时等号成立. 故答案为： . 16. 在平面直角坐标系 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对 数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】 . 【解析】 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点 ，则 .又 ， 当 时， ， 点A 在曲线 上的切线为 ， 即 ， 代入点 ，得 ， 即 ， 考查函数 ，当 时， ，当 时， ， 且 ，当 时， 单调递增， 注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ， 故点 的坐标为 . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 17. 若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析： 令 由于函数函数 有两个极值点点 在区间 上有两个实数根．求出 的导数，当 时，直接验证；当 时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只 需要 解得即可． 详解： 令 由于函数函数 有两个极值点点 在区间 上有两个实数根． 当 时， ，则函数 在区间 单调递增，因此 在区间 上 不可能有两个实数根，应舍去． 当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，此时函数 单调递增； 令 ，解得 ，此时函数 单调递减． ∴当 时，函数 取得极大值．要使 在区间 上有两个实数根， 则 ，解得 ． ∴实数 的取值范围是（ . 点睛：本题考查了利用导数研究函数的 单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力， 属于中档题． 三．解答题（共5 小题，满分65 分） 18. 设为虚数单位， ，复数 ， . （1）若 是实数，求 的值； （2）若 是纯虚数，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的乘法化简，再根据 是实数求解； （2）先利用复数的除法化简，再根据 是纯虚数求解. 【小问1 详解】 解： ， 因为 是实数， 则 ， 解得 . 【小问2 详解】 ， 因为 为纯虚数， 则 ， 解得 . 所以 . 19. 用分析法证明 ． 【答案】见证明 【解析】 【分析】用分析法证明，直到推出显然成立的结论，即可. 【详解】证明：要证 ，只要证 只要证 只要证 只要证 只要证 显然成立，故原结论成立． 【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，只需熟记分析法的一般步骤即可，属于常考题型. 20. 数列 满足 ， . （1）试求出 ， ， ； （2）猜想数列 的通项公式并用数学归纳法证明. 【答案】（1） , , （2） ，证明见详解. 【解析】 【分析】（1）由题意得,在 中分别令 可求结果； （2）由数列前四项可猜想 , 运用数学归纳法可证明. 【详解】解：（1） , 当 时, , , 当 时, , , 当 时, , , 所以 , , （2）猜想 下面用数学归纳法证明： 假设 时,有 成立, 则当 时,有 , 故对 成立. 【点睛】该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式,考查数学归纳法,考查学生的运算求解能力. 21. 已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）最大值1；最小值 . 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式 中即可；（Ⅱ）设 ，求 ，根据 确定函数 的单 调性，根据单调性求函数的最大值为 ，从而可以知道 恒成立，所以函数 是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以 . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）设 ，则 . 当 时， ， 所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 有 ，即 . 所以函数 在区间 上单调递减. 因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求 导数，因为通过 不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求 ，一般这时就可求得函数 的零点，或是 ( )恒成立，这样就能知道函数 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断 的单调性，最后求得结果. 22. 设函数 ，e 为自然对数的底数． （1）求f（x）的单调区间： （2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0 成立，求正实数a 的取值范围． 【答案】（1） 的单调增区间为 ，单调减区间为 ， ；（2）0＜a ． 【解析】 【分析】（1）求导得 ，求得 、 的解集即可得解； （2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0 成立⇔ x ln ﹣x，由（1）可得当x＝1 时，函数y 取得 极大值 ，令g（x）＝x ln ﹣x,(x>0)，利用导数研究其单调性即可得出x ln ﹣x≥1．进而得出a 的取值范 围． 【详解】（1）函数 ，e 为自然对数的底数， 则 ， 令 可得 ， ， ∴当 ， 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； ∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ， ； （2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0 成立⇔ x ln ﹣x，x (0,+∞), ∈ 由（1）可得当x=1 函数y 取得极大值 ， 令g(x)= x ln ﹣x,(x>0)，g′(x)= 1 ， 可得x=1 时，函数g(x)取得极小值即最小值． ∴x ln ﹣x≥g(1)=1， 当 时， 即为函数y 的最大值， ∴ x ln ﹣x 成立⇔ 1，解得a ； 当 时， ，不合题意； 综上所述，0<a ． 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．