湖北省鄂州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（详解版）

鄂州市2021~2022 学年度下学期期末质量监测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150 分，考试时间120 分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔 把答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、 草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由并集的 定义求解即可. 【详解】因为 ， ，所以 . 故选：D. 2. 已知一组数据 ，且 的线性回归方程为 ，若 ，则 （ ） A. 50 B. 250 C. 490 D. 500 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程经过样本中心，即可求解. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ． 故选:D． 3. 曲线 ： 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为 ， 所以切线方程为 ，即 ，选A 4. 已知随机变量 ，则 （ ） （参考数据： ， ， ） A. 0.8185 B. 0.84 C. 0.1587 D. 0.9759 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布中特定区间的概率公式求解． 【详解】由题意 ， ，12＝ ， ， ， ， 所以 ， 故选：B． 5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为 ， ， ， 所以 . 故选：D. 6. 年 月开始，奥密克戎变异毒株在上海爆发，为支援上海抗击新冠肺炎疫情，湖北在行动， “鄂”来守“沪”．湖北某医院迅速从 名男医生、 名女医生中选 名医生组成一个援 助小分队，若要求小分队男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】对小分队内的女医生人数进行分类讨论，结合组合计数原理可得结果. 【详解】当小分队中有名女医生时，有 种组法； 当小分队中有 名女医生时，有 种组法. 综上所述，共有 （种）组队方案， 故选：C． 7. “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大.假设李某能力较强，他 独自一人解决项目M 的概率为 ；同时，有n 个水平相同的人组成的团队也在研究 项目M，团队成员各自独立地解决项目M 的概率都是0.4.如果这个n 人的团队解决项目M 的概率为 ，且 ，则n 的取值不可能是（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目M 的概率，再由 对立事件的概率求出 ，由题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，这n 个人组成的团队不能解决项目M 的概率为 ， 所以 ， 由 可得 ，即 ， 两边取常用对数可得： ，即 ， 解得 ，又 ，所以 . 故选：A 8. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆 与双曲线C 有一个交点P，设 的面积为S，若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即 可计算作答. 【详解】依题意， ，令 ， ，则有 ， 由 得： ，即有 ， 而 ，所以 . 故选：C 【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与 焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、 ，得到a，c 的关系． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】赋值法即可求解所有项的系数和.根据二项式展开的通项特征可求指定项的系数. 【详解】令 ，得 ，故A 错误；令 得，即 ，故B 正确；令 ，得 ，故C 正确； 展开式的通项为 ，令 得 ，所以 ．故D 正确． 故选:BCD． 10. 已知 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项分布可求二项分布的期望和方差，根据方差和期望的性质可求 的期望 和方差. 【详解】因为 ，则 ，所以 ， ，又 ，则 ， 所以 ， ． 故选：ABD． 11. 已知数列{ }满足 ， ，则下列结论正确的 是（ ） A. 为等比数列 B. { }的通项公式为 C. { }为递增数列 D. 的前n 项和 【答案】AB 【解析】 【分析】根据递推关系可得 ，进而可判断A，由 是等比数列 即可求解 的通项，进而可判断单调性，根据分组求和即可判断D. 【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 是以2 为首项，3 为公比的等比数列， 即 ，所以 { }为递减数列， 的前n 项和 ． 故选:AB． 12. 已知抛物线 的焦点为F，准线l 与y 轴的交点为D，过点F 的直线m 与抛物 线C 交于A，B 两点，点O 为坐标原点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点A，B，使 B. 的最小值为4 C. 平分 D. 若点 是弦 的中点，则 直线m 的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设 ，直线m 的方程为 ，联立直线与抛物线方程， 消元、列出韦达定理，根据 判断A，根据焦半径公式判断B，通过计算 即可判断C，利用点差法计算判断D； 【详解】解：抛物线C 的焦点F 的坐标为 ，由题意分析可知，直线 的斜率一定存 在． 设 ，直线m 的方程为 ， 与抛物线 联立，得 ，所以 ， ， 所以 ，所以 为钝角，故A 错误； （当且仅当 时等号成立），故B 正确； 因为点 ，因为 ， 即直线 和直线 的倾斜角互补，所以 平分 ，故C 正确； 由 两式相减得 ， 因为点 是弦 的中点，所以 ， 所以直线 的斜率 ， 所以直线 的方程为 ，即 ，故D 正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 设复数z 满足 （i 是虚数单位），则z 的虚部为___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，进而可求虚部. 【详解】因为 ，故 ，则z 的虚部为2． 故答案为：2 14. 已知命题“ ， ”是假命题，则实数a 的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题之间的关系转化成最值问题即可求. 【详解】若命题“ ”是假命题，则命题的否定“ ，方程 ”是真命题，所以 ． 所以实数a 的取值范围是 ． 故答案为: 15. 设函数 ，若对任意的实数x， 恒成立， 则 取最小值时， ___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得 ，从而可求得 的最小值，即可得出函数 的 解析式，从而可得出答案. 【详解】解：因为 ，所以 ， 即 ，得 ， 则 ，可得 的最小值为5， 此时 ， 则 ． 故答案为： . 16. 已知函数 在R 上的导函数为 ，对于任意的实数x 都有 ，当 时， ，若 ，则实数a 的取值范围是____ ____． 【答案】 【解析】 【分析】首先设 ，结合已知条件得到 在 为减函数，在 为增函数，再将 转化为 ，利用 的单 调性求解不等式即可. 【详解】设 ， ， 因为当 时， ，所以 ， 为增函数. 又因为 ，所以 . 所以 ， 即 为偶函数. 所以 在 为减函数，在 为增函数. 因为 ， 所以 ，解得 或 . 故答案为： . 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17. 在 中，角A，B，C 所对的 边分别为a，b，c，且 . （1）求角A 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，根据正弦定理化简得 ，利用余弦定理求得 ，即可求解； （2）由 的面积 ，求得 ，结合余弦定理，求得 ，即可求 解. 【小问1 详解】 解：因为 ，所以 . 由正弦定理得 ，可得 ， 所以 ， 因为 ，所以 . 【小问2 详解】 解：由 的面积 ，所以 . 由余弦定理得 ， 所以 ，所以 ， 所以 的周长为 . 18. 设等差数列 的前n 项和为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】（1） ，（ ）. （2） ，（ ）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前 项和，结合已知条件联立方程可求出 和 ， 即可求出通项公式. （2）表示出 ，裂项相消求和即可. 【小问1 详解】 解：由题可知， ，即 ，解得 ， ， 所以 ，（ ）. 【小问2 详解】 由（1）知， ， 所以 ，所以 ，（ ）. 19. 司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命． 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100 名司机，得到以下统计： 在55 名男性司机中，开车时使用手机的有40 人，开车时不使用手机的有15 人；在45 名 女性司机中，开车时使用手机的有20 人，开车时不使用手机的有25 人． （1）完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为开车时使用手机与司机的 性别有关； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 （2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8 人，再从这8 人中随机抽取3 人，记 为开车时不使用手机的男性司机人数，求 的分布列和数学期望． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中 ． 【答案】（1）填表见解析；有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，计算卡方并比较即可； （2）根据超几何分布相关知识即可求得X 的 分布列和数学期望. 【小问1 详解】 由已知数据可得 列联表如下： 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100 提出假设 开车时使用手机与司机的性别无关， 因为 ， 所以有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关． 【小问2 详解】 开车时不使用手机的男性司机人数为： 人； 开车时不使用手机的女性司机人数为： 人． 由题意可知： 的所有可能取值为0，1，2，3， 因为 ； ； ； ． 则 的分布列为： 0 1 2 3 则 ． 20. 莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得 名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致 凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3 m，顶部为底面边长为2 的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是 ． （1）求该凉亭及其内部所占空间的大小； （2）在直线PC 上是否存在点M，使得直线MA 与平面 所成角的正弦值为 ？若 存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60 （2）直线PC 上不存在点M，使得直线MA 与平面 所成角的正弦值为 ，理由见 解析 【解析】 【分析】（1）根据正六棱柱的体积以及正六棱锥的体积公式即可求解.（2）根据空间直角 坐标系中点的坐标得向量的坐标，根据空间向量的求解平面法向量与直线方向向量的夹角， 进而可求解. 【小问1 详解】 结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取 的中点G，连接 ， PG，则 ， ，故 ，易求 ，所以 ， 所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为 ，下半部分为正六棱柱， 其体积 ， 所以该凉亭及内部所占空间为60 ， 【小问2 详解】 取AB 的中点H，以OH、FC、OP 所在直线分别为x，y，z 轴，以点O 为坐标原点，建立 空间直角坐标系 ，如图所示． 假设在直线PC 上存在点M，使得直线MA 与平面 所成角的正弦值为 ， 则 ， ， , ， 设 则 ，平面 的一个法向量 ， 则 ， ， ， 则 ，即 ，令 ，解得 ， ，所以平面 的一个法向量 , 设直线MA 与平面 所成角为 ，则 ，化简得 ， ,故该方程不存在实数 解， 所以在直线PC 上不存在点M，使得直线MA 与平面 所成角的正弦值为 21. 已知椭圆 的离心率为 ，左右顶点分别为 ，上下顶点分别 为 ，四边形 的面积为 ， （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点 的直线与椭圆交于 ， 两点，直线 、 分别交直线 于 两点，判断 是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） ；（2） 为定值；答案见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程即可求出 即可得出椭圆方程； （2）若直线的斜率不存在，易得 ，若直线斜率存在，设出方程，与椭圆联 立，利用韦达定理建立关系求解即可. 【详解】解：（1）由题意得 ，． 解得 ，所以椭圆 的方程为 ．． （2）若直线的斜率不存在，则直线方程为 ， 此时可得 ， ， ，所以 ． 若直线的斜率存在，设直线的方程为 ，代入 整理得 ，易得 恒成立． 设 ，则 ， 由直线 的方程 可得点 ， 由直线 的方程 可得点 ， 所以 ． 所以 ． 综上， 为定值．． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为 ， ； （2）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为 形式； （5）代入韦达定理求解. 22. 已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，若不等式 在 上恒成立，求实数 b 的取值范围． 【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，求出导函数大于0 和小于0 的解集，求出单调性；（2 ）变形为 在 上恒成立，构造 ，求导， 研究其单调性，对 分类讨论，得到 时满足题意，其他情况均不合题意，求出答案. 【小问1 详解】 定义域为 ， ， 因为 恒成立， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 【小问2 详解】 当 时， ， ，整理得： ， 即 在 上恒成立， 令 ， ， 若 ，则 恒成立，不合题意， 若 ，则 ， 令 ， ， 则 在 恒成立， 所以 在 上单调递减， 当 时， ，即 所以 在 上单调递减， 故 ， 即 在 上恒成立，满足题意； 当 时， ， ， 所以存在 ，使 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以存在 使得 ，不合题意， 综上：实数b 的取值范围是 【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，要结合函数与导函数的特征，对参数进行分类 讨论，结合单调性，极值和最值等进行求解.