广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题

肇庆市2021-2022 学年第二学期高二年级期末教学质量检测 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的指定位置上。 2. 回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 2. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则 A. 0 B. C. 1 D. 3. 在等差数列 中， ，则 A. 14 B. 16 C. 18 D. 28 4. 已知 ，且 ，则 A. 0. 8 B. 0. 05 C. 0. 1 D. 0. 9 5. 3 名学生和2 名老师站成一排合影，则3 名学生相邻的排法共有 A. 48 种 B. 36 种 C. 20 种 D. 24 种 6. 在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为 ，连续闯过前两关的概率为 . 事件 表示小明第一关闯 关成功，事件 表示小明第二关闯关成功，则 A. B. C. D. 7. 等比数列 中的项 ， 是函数 的极值点，则 A. 3 B. C. D. 8. 当 时， 恒成立，则 的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列选项中关于以下4 幅散点图的说法正确的有 A. 图①中的 和 相关程度很强 B. 图②中的 和 成正相关关系 C. 图③中的 和 成负相关关系 D. 图④中的 和 成非线性相关关系 10. 已知数列 满足 ， ，记 ，则 A. B. C. D. 11. 已知 ，则 A. B. C. D. 12. 设 ，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 在 的展开式中， 的系数为_________. （用数字作答） 14. 已知随机变量 的分布列为 1 2 3 4 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 则随机变量 的数学期望 _________（2 分），方差 _________（3 分）. 15. 已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4 个红球和2 个白球，乙盒中有2 个红球和1 个白球，先从 乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为_________. 16. 某学校有 ， 两家餐厅，通过调查发现：开学第一天的中午，有一半的学生到 餐厅就餐，另一半的 学生到 餐厅就餐；从第二天起，在前一天选择 餐厅就餐的学生中，次日会有 的学生继续选择 餐厅，在前一天选择 餐厅就餐的学生中，次日会有 的学生继续选择 餐厅. 该学校共有学生3500 人，经 过一个学期（约150 天）后，估计该学校到 餐厅就餐的学生人数为_________人. （用整数作答） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10 分） 已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值. 18. （本小题满分12 分） 某市统计了该市近五年的环保投资额 （万元）得下表： 年份 2017 20l8 20l9 2020 2021 年份代号 1 2 3 4 5 年环保投资额 （万元） 12 20 35 48 55 以 为解释变量， 为响应变量，若用 作为经验回归方程，则决定系数 ，若用 作为经验回归方程，则决定系数 . （1）判断 与 哪一个更适合作为年环保投资额 关于年份代号 的经验回归方程， 并说明理由； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，求出 关于年份代号 的经验回归方程. 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小 二乘估计分别为 ， . 参考数据： ， ， . 19. （本小题满分12 分） 已知有4 名医生和2 名护士要到疫区支援两所医院的工作，每名医生只能到一所医院工作，每名护士也只能 到一所医院工作. （1）求两所医院都既有医生又有护士的分配方案的种数； （2）在这6 人中随机抽取3 人，记其中医生的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 20. （本小题满分12 分） 已知等差数列 的公差 ，且 是 与 的等比中项， . （1）求数列 的前 项和； （2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求数列 的前 项和. 21. （本小题满分12 分） 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60 名男生和60 名女生，通过调查得到如下数据： 60 名女生中有10 人课间经常进行体育活动，60 名男生中有20 人课间经常进行体育活动. （1）请补全 列联表，试根据小概率值 的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否 有关联； 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4 人，记其中课间经常进行体育活动的人数为 ， 求 的分布列、数学期望和方差. 附表： 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 附： ，其中 . 22. （本小题满分12 分） 已知 . （1）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值； （2）当 时，函数 有两个零点，求 的取值范围. 肇庆市2021-2022 学年第二学期高二年级期末教学质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. C 【解析】 ， ，所以 ，故选C. 2. A 【解析】 ，所以 ，故选A. 3. A 【解析】 ，故选A. 4. D 【解析】 ，所以 ，所以 ，故选D. 5. B 【解析】3 名学生相邻共有 排法，故选B. 6. C 【解析】 ，故选C. 7. D 【解析】依题意 ， 是 的两个根，所以 ，所以 ，又 ，所以 ， ，设公比为 ， ，所以 ，故选D 8. A 【解析】由 ， 设 ，则 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在区间 上递增，在区间 上递减，故 ， 故 ，故选A. 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. BCD 【解析】图①中的 和 相关程度极弱，所以A 错误，B，C，D 选项判断正确. 10. BC 【解析】由题意可得 ， 所以 ，所以A 错误，B 正确； 又 ， 故 ，即 ， 所以 为等差数列，故 ，所以C 正确，D 错误，故选BC. 11. ABD 【解析】令 ，则 ，所以A 正确； 令 ，则 ， 又 ， 所以 ， ，所以B 正确，C 错误； ， 令 ，则 ，故D 正确，故选ABD. 12. ACD 【解析】 ， 设 ，所以函数 单调递减， 当 时， ， 所以函数 单调递减，所以 ，故 ， 所以 ，故B 错误，C 正确. 设 ， 当 时， ，所以 ， 所以 ， 所以函数 单调递减，所以 ，所以 ， 所以 ，故D 正确. 设 ，当 时， ，所以函数 单调递增， 所以 ，所以 ，故 ，得 ， 所以 ，即 ，故A 正确，故选ACD. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13. 【解析】 展开式的通项为 ，当 时， ，所以 的系数为 . 14. 3（2 分）1（3 分）【解析】 ， . 15. 【解析】设从乙盒中取到两个红球为事件 ，从乙盒中取到一红一白两个小球为事件 ，最终取到的 球是白球为事件 ，由题意得 和 是互斥事件，则由全概率公式得 . 16. 1400 【解析】设第 天选择 餐厅就餐的学生比例为 ，由题意得， ， ， 所以 ，故 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，则 ，经过一个学期（约150 天）后，估计该学校到 厅就餐的学生人数为 （人）。 四、解答题；本题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10 分） 解：（1） 的定义域为 ， . . . . . . . . . . 1 分 令 ，解得 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 分 当 时， ，当 时， ，当 时， ，……. . 5 分 所以函数 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减， 故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， . . . . . . . . . . . . . . 5 分（开闭区间都 对） （2）由（1）得，当 在区间 上变化时， 的变化情况如下表所示. 4 5 — 0 ＋ 40 单调递减 单调递增 所以函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 分 18. （本小题满分12 分） 解：（1）由 ，可知 的拟合效果更好，所以 更适合作为年环保投资额 关于年 份代号 的经验回归方程. . . . . . . . . . . 4 分 （2）由表格数据，得 ，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 分 ， ， ，……6 分 由公式，得 ，. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 分 ，. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 分 所以 关于 的经验回归方程为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分 19. （本小题满分12 分） 解：（1）先分2 名护士到两所医院有 种分法，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分 4 名医生可分为1 人、3 人两组或2 人、2 人两组，再分到两所医院，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 分 1 人，3 人两组共有 种分法，2 人、2 人两组共有 种分法，. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4 分 所以两所医院都要求既有医生又有护士的分配方案的种数为 . ……6 分 （2）由意 服从超几何分布，且 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 分 所以 ， 所以 ，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 分 ，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 分 ，. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 分 的分布列为： 1 2 3 的数学期里 . . . . . . . . . . . . . . 12 分 （或 ） 20. （本小题满分12 分） 解：（1）由题意得 ，所以 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分 又 ，所以解得 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 分 又 ，故 ， 故 ，. . . . . . . . . . . . . 3 分 所以 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 分 设数列 |的前 项和为 ， 则 ……6 分 （2）当 时， ，所以 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 分 由 ，① 得 ，② ①—②得 . . . . . . . . . . . . . 8 分 所以 ，故数列 是以1 为首项，3 为公比的等比数列，. . . . . . . . . . . . 9 分 所以 ，故 . 设数列 的前 项和为 ， 则 ，③ ，④. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10 分 ③—④，得 ， 所以 ， 所以 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分 21. （本小题满分12 分） 解：（1）零假设为 ：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关， 依题意，列出 列联表如下： 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 40 20 60 女 50 10 60 合计 90 30 120 . . . . . . . . . . . . . . 2 分 ， . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 分 根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关 联，此推断犯错误的概率不大于0. 05 . . . . . . . . . . . 6 分 （2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为 ， 所以在本校中随机抽取1 人为经常进行体育活动者的概率为 ，. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 分 随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得 ，. . . . . . . . . . . . . . . . 8 分 所以 ， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 10 分 的数学期望为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分 的方差为 . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分 22. （本小题满分12 分） 解：（1） ，又 ，所以 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分 因为 ，. . . . . 2 分 所以 ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 分 所以 ，故 ， 综上 . . . .. . . .. . . . . . 4 分 （2）当 时， ， 当 时， 只有一个零点，故 ， 当 时， ， i. 当 时， ，令 ， 当 时， ；当 时， . …………5 分 所以当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 又 ， 又 ，所以 ， 故 ， 所以 时函数 有两个零点. . . . . . . . . . 6 分 ii. 当 时，今 ，解得 . …. . . . . . . . . . 7 分 若 ，所以 ，所以函数 在 上单调递增，不可能有两个零点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 若 ，即 时，当 时， ，当 时， ， 当 时， . . . . . . . . . . . . 9 分 所以函数 在 上单调递增， 上单调递减，在 上单调递增. 又 , , 故函数 至多有一个零点，不符合题意. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 分 若 时，即 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 分 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 又 ， ，故函数 至多有一个零点，不符合题意. 综上， 的取值范围是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分