模型20 加权费马点模型（原卷版）(1)

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： R1 将最小系数提到括号外； R2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 R3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 前面，就以为旋转中心），旋转系数不 为1 的两条线段所在的三角形 【例1】．已知，如图在△B 中，∠B＝30°，B＝5，＝6，在△B 内部有一点D，连接D、DB、D，则D+DB+ D 的最小值是 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，P 是边长为2 的等边△B 内的一点，求 P+PB+ P 的最小值． 例题精讲 【变式1-2】．已知：＝4，B＝6，∠B＝60°，P 为△B 内一点，求BP+2P+ P 的最小值． 【变式1-3】．如图，正方形BD 的边长为4，点P 是正方形内部一点，求P+2PB+ P 的最小值． 1．已知△B 中，B＝，B＝，∠B＝30°，P 是△B 内一点，求P+PB+P 的最小值． 2．求 的最小值． 3．已知：等腰Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，D 是△B 的费马点（∠D＝∠BD＝∠DB＝120°），求D+BD+D 的值． 4．如图，在△B 中，∠B＝60°，＝6，B＝4 ，点P 是△B 内的一点．则P+PB+ P 的最小值是 ． 5．法国数学家费马提出：在△B 内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马 点，此时P+PB+P 的值为费马距离．经研究发现：在锐角△B 中，费马点P 满足∠PB＝∠BP＝∠P＝ 120°，如图，点P 为锐角△B 的费马点，且P＝3，P＝4，∠B＝60°，则费马距离为 ． 6．已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△B 是锐角（或直角）三角形， 则其费马点P 是三角形内一点，且满足∠PB＝∠BP＝∠P＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条 高的交点）．若B＝＝ ，B＝2 ，P 为△B 的费马点，则P+PB+P＝ ；若B＝2 ，B＝2，＝ 4，P 为△B 的费马点，则P+PB+P＝ ． 7．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上 一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形BD，P 是对角线BD 上一 点，E、F 是边B 和D 上的两点，若点P 满足PE 与PF 之和最小，则称点P 为类费马点． （1）如图1，在菱形BD 中，B＝4，点P 是BD 上的类费马点 ①E 为B 的中点，F 为D 的中点，则PE+PF＝ ． ②E 为B 上一动点，F 为D 上一动点，且∠B＝60°，则PE+PF＝ ． （2）如图2，在菱形BD 中，B＝4，连接，点P 是△B 的费马点，（即P，PB，P 之和最小），①当∠B ＝60°时，BP＝ ． ②当∠B＝30°时，你能找到△B 的费马点P 吗？画图做简要说明，并求此时P+PB+P 的值． 8．【问题情境】 如图1，在△B 中，∠＝120°，B＝，B＝5 ，则△B 的外接圆的半径值为 ． 【问题解决】 如图2，点P 为正方形BD 内一点，且∠BP＝90°，若B＝4，求P 的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形BD 是一个边长为3 m 的隔离区域设计图，E 为大门，点E 在边B 上，E＝ m，点 P 是正方形BD 内设立的一个活动岗哨，到B、E 的张角为120°，即∠BPE＝120°，点、D 为另两个固定 岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q 到、D、P 三个岗哨的距离和最小，试求 Q+QD+QP 的最小值．（保留根号或结果精确到1m，参考数据 ≈17，1052＝11025）． 9．已知△B 为等边三角形，边长为4，点D、E 分别是B、边上一点，连接D、BE，且E＝D． （1）如图1，若E＝2，求BE 的长度； （2）如图2，点F 为D 延长线上一点，连接BF、F，D、BE 相交于点G，连接G，已知∠EBF＝60°，E ＝G，求证：BF+GE＝2F； （3）如图3，点P 是△B 内部一动点，顺次连接P、PB、P，请直接写出 P+ PB+2 P 的最小值． 10．如图1，D、E、F 是等边三角形B 中不共线三点，连接D、BE、F，三条线段两两分别相交于D、E、 F．已知F＝BD，∠EDF＝60°． （1）证明：EF＝DF； （2）如图2，点M 是ED 上一点，连接M，以M 为边向右作△MG，连接EG．若EG＝E+EM，M＝ GM，∠GM＝∠GE，证明：G＝M． （3）如图3，在（2）的条件下，当点M 与点D 重合时，若D⊥D，GD＝4，请问在△D 内部是否存在点 P 使得P 到△D 三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由． 11．（1）知识储备 ①如图1，已知点P 为等边△B 外接圆的B 上任意一点．求证：PB+P＝P． ②定义：在△B 所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△B 的费马点， 此时P+PB+P 的值为△B 的费马距离． （2）知识迁移 ①我们有如下探寻△B（其中∠，∠B，∠均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 如图2，在△B 的外部以B 为边长作等边△BD 及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的长度即为 △B 的费马距离． ②在图3 中，用不同于图2 的方法作出△B 的费马点P（要求尺规作图）． （3）知识应用 ①判断题（正确的打√，错误的打×）： ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ； ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ． ②已知正方形BD，P 是正方形内部一点，且P+PB+P 的最小值为 ，求正方形BD 的 边长． 12．如图（1），P 为△B 所在平面上一点，且∠PB＝∠BP＝∠P＝120°，则点P 叫做△B 的费马点． （1）如点P 为锐角△B 的费马点．且∠B＝60°，P＝3，P＝4，求PB 的长． （2）如图（2），在锐角△B 外侧作等边△B′连接BB′．求证：BB′过△B 的费马点P，且BB′＝P+PB+P． （3）已知锐角△B，∠B＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形BD，BE，F，请找出△B 的费马点， 并探究S△B与S△BD的和，S△BE与S△F的和是否相等． 13．（1）阅读证明 ①如图1，在△B 所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△B 的费马 点，此时P+PB+P 的值为△B 的费马距离． ②如图2，已知点P 为等边△B 外接圆的 上任意一点．求证：PB+P＝P． （2）知识迁移 根据（1）的结论，我们有如下探寻△B（其中∠，∠B，∠均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图3，在△B 的外部以B 为边长作等边△BD 及其外接圆； 第二步：在 上取一点P0，连接P0，P0B，P0，P0D．易知P0+P0B+P0＝P0+（P0B+P0）＝P0+ ； 第三步：根据（1）①中定义，在图3 中找出△B 的费马点P，线段 的长度即为△B 的费马距离． （3）知识应用 已知三村庄，B，构成了如图4 所示的△B（其中∠，∠B，∠均小于120°），现选取一点P 打水井，使水 井P 到三村庄，B，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值． 14．如图，在平面直角坐标系xy 中，点B 的坐标为（0，2），点D 在x 轴的正半轴上，∠DB＝30°，E 为 △BD 的中线，过B、E 两点的抛物线 与x 轴相交于、F 两点（在F 的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）等边△M 的顶点M、在线段E 上，求E 及M 的长； （3）点P 为△B 内的一个动点，设m＝P+PB+P，请直接写出m 的最小值，以及m 取得最小值时，线段 P 的长． 15．问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一 种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相 互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，△B 是边长为1 的等边三角形，P 为△B 内部一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最 小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为 折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将△BP 绕点B 逆时针旋转60°至△BP''，连接PP'、'，记′与B 交于点D，易知B'＝B＝ B＝1，∠'B＝∠'B+∠B＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP 为正三角形，有PB＝P'P． 故 ．因此，当'、P'、P、共线时，P+PB+P 有最小值是 ． 学以致用：（1）如图3，在△B 中，∠B＝30°，B＝4，＝3，P 为△B 内部一点，连接P、PB、P，则 P+PB+P 的最小值是 ． （2）如图4，在△B 中，∠B＝45°， ，P 为△B 内部一点，连接P、PB、P，求 的最小值． （3）如图5，P 是边长为2 的正方形BD 内一点，Q 为边B 上一点，连接P、PD、PQ，求P+PD+PQ 的 最小值． 16．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx 8 ﹣的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，直线y＝kx+ （k≠0）经过点，与抛物线交于另一点R，已知＝2，B＝3． （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图1，若点P 是x 轴下方抛物线上一点，过点P 作P⊥R 于点，过点P 作PQ∥x 轴交抛物线于点 Q，过点P 作P′⊥x 轴于点′，K 为直线P′上一点，且PK＝2 PQ，点为第四象限内一点，且在直线PQ 上方，连接P、Q、K，记l＝ PQ，m＝P+Q+K，当l 取得最大值时，求出点P 的坐标，并求出 此时m 的最小值． （3）如图2，将点沿直线R 方向平移13 个长度单位到点M，过点M 作M⊥x 轴，交抛物线于点，动点 D 为x 轴上一点，连接MD、D，再将△MD 沿直线MD 翻折为△MD′（点M、、D、′在同一平面内），连 接、′、′，当△′为等腰三角形时，请直接写出点D 的坐标．