专题28.2 解直角三角形及其应用【九大题型】（解析版）

专题282 解直角三角形及其应用【九大题型】 【人版】 【题型1 格中解直角三角形】.................................................................................................................................2 【题型2 坐标系中解直角三角形】........................................................................................................................5 【题型3 直接解直角三角形】...............................................................................................................................12 【题型4 化斜为直解非直角三角形】...................................................................................................................19 【题型5 在四边形中解直角三角形】...................................................................................................................27 【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】............................................................................................35 【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】............................................................................................42 【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】...............................................................................................50 【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】............................................................................................55 【知识点1 直角三角形的边角关系】 （1）两锐角关系： （2）三边关系： （勾股定理） （3）边角关系： ， ， 【知识点2 解直角三角形的类型和解法】 【题型1 格中解直角三角形】 【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023 学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由 6 个形状、大小完全相同的菱形组成的格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠） 为120°，、B、都在格点上，则t∠B 的值是________________． 已知条件 图形 解法 已知一直角边和 一个锐角 已知斜边和一个 锐角 已知两直角边 已知斜边和一条 直角边 对 边 邻边 斜边 B b 1 【答】 ❑ √3 6 【分析】如图，连接E、E，先证明∠E＝90°，E、、B 共线，再根据t∠B＝EC EB ，求出E、 EB 即可解决问题． 【详解】解：如图，连接E，E， 设菱形的边长为，由题意得∠EF＝60°，∠BEF＝30°，E＝，E＝❑ √3a，EB＝2❑ √3a， ∴∠E＝90°， ∵∠E＝∠GF＝60°， ∴∠EB＝180°， ∴E、、B 共线， 在Rt△EB 中，t∠B＝EC EB = a 2❑ √3a= ❑ √3 6 ． 故答为： ❑ √3 6 ． 【点睛】本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添 加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-1】（2022 年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，，B，，D 均 为格图中的格点，线段B 与D 相交于点P，则∠PD 的正切值为_______． 【答】3 【分析】作M、两点，连接M，D，根据题意可得M∥B，从而 可得∠PD＝∠D，然后先利 用勾股定理的 逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计 算即可解答． 1 【详解】解：如图所示，作M、点，连接M、D， 由题意得：M∥B， ∴∠PD＝∠D， 由题意得：C N 2=1 2+1 2=2，D N 2=3 2+3 2=18，C D 2=2 2+4 2=20， ∴C N 2+D N 2=C D 2， ∴△CDN是直角三角形， ∴tan∠DCN= DN CN =3 ❑ √2 ❑ √2 =3， ∴∠PD 的正切值为：3． 故答为：3． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是 解题的关键． 【变式1-2】（2022 年福建省中考数学模拟试卷（六））如图，△B 的三个顶点在边长为1 的正方形格的格点上，则s∠BAC=____． 【答】3 5 【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，只需求得BE即可求得 sin∠BAC． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E， 由图可得，AB=❑ √10，AC=❑ √10，BC=2，AD=3， ∵S△ABC=1 2 ⋅AD⋅BC=1 2 ⋅AC ⋅BE， ∴1 2 ×3×2=1 2 ×❑ √10 BE， ∴BE=3 ❑ √10 5 ， 1 ∴sin∠BAC= BE AB = 3 ❑ √10 5 ❑ √10 =3 5 ． 故答为：3 5． 【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形．要注意直角三角函数的性质进行 解题，本题易错点在于学生误认为sin∠BAC=2sin∠BAD． 【变式1-3】（2022 年中考数学一轮复习讲练测（北京））如图所示的正方形格中，A，B， C是格线交点，∠CAB的度数为__． 【答】45° 【分析】根据勾股定理和等积法求出线段长，再根据三角函数求出角度即可． 【详解】解：如图，连接BC，过C作CD⊥AB于D， 根据勾股定理，得AB= ❑ √6 2+2 2=2❑ √10，AC= ❑ √6 2+3 2=3 ❑ √5． ∵SΔABC=6×6−1 2 ×6×3−1 2 ×6×2−1 2 ×4×3=15， S ΔABC=1 2 AB⋅CD=1 2 ×2❑ √10⋅CD=❑ √10CD， ∴ ❑ √10CD=15， ∴CD=3 ❑ √10 2 ． 在Rt Δ ACD中，∵∠ADC=90°， ∴sin∠CAB=CD AC = 3 ❑ √10 2 3 ❑ √5 = ❑ √2 2 ， ∴∠CAB=45°． 1 故答为：45°． 【点睛】本题考查了解直角三角形和等积法，解题关键是恰当的构造直角三角形，利用相 关知识求解 【题型2 坐标系中解直角三角形】 【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线y=3 4 x+3 交x 轴于点，将一块等腰直角 三角形纸板的直角顶点置于原点，另两个顶点M、恰落在直线y=3 4 x+3 上，若点在第二象 限内，则t∠的值为（ ） ．1 7 B．1 6 ．1 5 D．1 8 【答】 【分析】过作⊥B 于，过作D⊥于D，设的坐标是（x，3 4 x+3），得出D=3 4 x+3，D=-x，求出 =4，B=3，由勾股定理求出B=5，由三角形的面积公式得出×B=B×，代入求出，根据s45°= OC ON ，求出，在Rt△D 中，由勾股定理得出（3 4 x+3）2+（-x）2=(12❑ √2 5 )2，求出的坐标，得 出D、D，代入t = ∠ND OD 求出即可． 【详解】过作⊥B 于，过作D⊥于D， 1 ∵在直线y=3 4 x+3 上， ∴设的坐标是（x，3 4 x+3）， 则D=3 4 x+3，D=-x， y=3 4 x+3， 当x=0 时，y=3， 当y=0 时，x=-4， ∴（-4，0），B（0，3）， 即=4，B=3， 在△B 中，由勾股定理得：B=5， ∵在△B 中，由三角形的面积公式得：×B=B×， 3×4=5 ∴ ， =12 5 ， ∵在Rt△M 中，M=，∠M=90°， M=45° ∴∠ ， s45°= ∴ OC ON = 12 5 ON ， = ∴12❑ √2 5 ， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2+D2=2， 即（3 4 x+3）2+（-x）2=(12❑ √2 5 )2， 解得：x1=-84 25 ，x2=12 25， ∵在第二象限， 1 x ∴只能是-84 25 ， 3 4 x+3=12 25， 即D=12 25，D=84 25 ， t = ∠ND OD =1 7 ． 故选． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三 角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合 性比较强． 【变式2-1】（2022 年黑龙江省佳木斯市前进区九年级中考三模数学试题）如图，在平面 直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x 轴交于 点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在x 轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3 B3 B4， …都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为__________ _____． 【答】3 2022❑ √2 【分析】过点A2作A2C1⊥x轴，设∠O B0 A1 ¿α，tan∠O B0 A1= A1O B0O =1 2，进而分 别计算出A1B1=❑ √2，A2B2=3 ❑ √2，A3 B3=9 ❑ √2……找到规律即可求解． 【详解】解：∵B0(−2,0)，A1 (0,−1) ∴O B0=2,O A1=1 ∴A1B0=❑ √5 ∴tan∠O B0 A1= A1O B0O =1 2 设∠O B0 A1 ¿α ∵ △A1B1B2是等腰直角三角形， 1 ∴A1B1O=45° ∴A1B1=❑ √2,B1B2=❑ √2 A1B1=2, ∴B1 (−1,0)，B2 (1,0) ∴B2B0=3 过点A2作A2C1⊥x轴， ∵ △A2B2B3是等腰直角三角形 ∴A2C1=B2C1 则tan α= A2C1 B0C1 =1 2 即 A2C1 B2C1+B2B0 =1 2, ∴A2C1=B2C1=3 ∴A2B2=3 ❑ √2 ∴B2B3=2 A2C1=6 ∴B0 B3=B0 B2+B2B3=3+6=9 同理可得tan α= A3C2 B0C2 =1 2,得A3C2=9, ∴A3 B3=9 ❑ √2 …… ∴ An Bn=3 n ❑ √2， ∴ A2022B2022=3 2022❑ √2． 故答为：3 2022❑ √2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切的定义，找到规律是解题的 关键． 【变式2-2】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xy 中，矩形B 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形BEF 是菱形，且t∠BE=4 3 ．若直线l 把矩形B 和菱形BEF 组成的 1 图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为（ ） ．y=3 x B．y=−3 4 x+ 15 2 ．y=−2 x+11 D．y=−2 x+12 【答】D 【分析】过点E 作EG⊥B 于点G，利用三角函数求得EG=8，BG¿6，G=4，再求得点E 的 坐标为(4，12)，根据题意，直线l 经过矩形B 的对角线的交点和菱形BEF 的对角线的交点 D，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解． 【详解】解：过点E 作EG⊥B 于点G， ∵矩形B 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形BEF 是菱形， ∴B=BE=10，点的坐标为(0，4)，点的坐标为(10，0)， 在Rt△BEG 中，t∠BE=4 3 ，BE=10， s ∴∠BE=4 5 ，即EG BE = 4 5 ， ∴EG=8，BG=❑ √BE 2−EG 2=¿6， ∴G=4， ∴点E 的坐标为(4，12)， 根据题意，直线l 经过矩形B 的对角线的交点和菱形BEF 的对角线的交点D， 点的坐标为(0+10 2 ，0+4 2 )，点D 的坐标为(0+4 2 ，4+12 2 )， 1 ∴点的坐标为(5，2)，点D 的坐标为(2，8)， 设直线l 的解析式为y=kx+b， 把(5，2)，(2，8)代入得¿， 解得：¿， ∴直线l 的解析式为y=-2x+12， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解 题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式2-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，B 分别在y 轴和x 轴上， ∠ABO=60° ,CD为△AOB的中位线，过点D 向x 轴作垂线段，垂足为E，可得矩形 CDEO．将矩形CDEO沿着x 轴向右平移，设斜边B 所在直线与矩形所围直角三角形的面 积为S．已知点B 的坐标为(6,0)，当S=2❑ √3时，矩形CDEO顶点D 的坐标为__________． 【答】(5,3 ❑ √3)；(7,3 ❑ √3) 【分析】根据B（6，0）求得B=6，又t∠B=OA OB ，求=6❑ √3，再根据三角形中位线性质得出 D∥B，D=1 2B=3，=1 2=3❑ √3，然后设D 的坐标为(m,3❑ √3)，分两种情况：当B 与D 相交时， 如图1，当B 与′、′E 相交时，如图2，分别求出点D 的坐标即可； 【详解】解：∵B（6，0）， ∴B=6， t ∵∠B=OA OB ， = ∴OB⋅tan∠ABO=6×tan 60°=6 ❑ √3， ∵D 是△AOB的中位线， 1 ∴D∥B，D=1 2B=3，=1 2=3❑ √3， 设D(m,3❑ √3)， 当B 与D 相交时，如图1， ∴DG=m-3， ∵D∥B， ∴∠DGF=∠B=60°， ∵tan∠DGF= DF DG ， ∴❑ √3= DF m−3， ∴DF=❑ √3（m-3）， ∵S△DGF=1 2 DG⋅DF=1 2 (m−3)⋅❑ √3(m−3)=2❑ √3 解得：m1=5，m2=1， ∵DG=m-3>0， ∴m=5, ∴点D 的坐标为(5,3 ❑ √3)； 当B 与′、′E 相交时，如图2， ∴′B=3-(m-6)=9-m， ∵tan∠ABO=O ' F O ' B ，即❑ √3= O ' F 9−m ∴′F=❑ √3（9-m） ∵S△DGF=1 2 O ' B⋅O ' F=1 2 (9−m)⋅❑ √3(9−m)=2❑ √3 解得：m1=7，m2=11， ∵′B=9-m>0， 1 ∴m=7， ∴D 的坐标为(7,3 ❑ √3)． 综上，D 的坐标为(5,3 ❑ √3)或(7,3 ❑ √3)． 故答为：(5,3 ❑ √3)或(7,3 ❑ √3)． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、解直角三角 形、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和解直角三角形是解题的关键 【题型3 直接解直角三角形】 【例3】（2022 年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题--模拟卷（四））如图，在 Rt△B 中，∠=90°，∠B=60°，∠B 的角平分线E 与∠B 的角平分线D 相交于点，已知BD=4， =2❑ √2，则E=_________． 【答】2❑ √6−2❑ √2 【分析】在上截取F=E，先证明△E≌△F，再证明△D≌△F，得到D=E，作D⊥B 于，M⊥B 于M，可证△M∽△D，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】在上截取F=E， ∵D 平分∠B，∠ B =90°， ∴∠D=∠BD=1 2∠B=45°， 在△E 和△F 中 ¿， ∴△E≌△F（SS）， ∴E=F． ∵∠B=60°， ∴∠B=30°， ∵EF 平分∠B， ∴∠BE=∠E=1 2∠B=15°， 1 ∴∠E=∠F=∠D=45°+15°=60°． =180°- ∵∠ ∠E-∠ =180°-1 2(∠B+ ) ∠ =180°-1 2(180°-60°) =120°， ∴∠F=120°-60°=60°， ∴∠D=∠F， 在△D 和△F 中 ¿， ∴△D≌△F（S）， ∴F=D， ∴E=E． 作D⊥B 于，M⊥B 于M， ∴∠M=∠D=90°， ∵∠M=∠D， ∴△M∽△D， ∴OM DN =CO CD ． s ∵B= DN BD ， BD=4， ∴D=2❑ √3， =2 ∵ ❑ √2，∠M=45°， ∴M=M=2， ∴2 2❑ √3= 2❑ √2 2❑ √2+OD ， ∴E=D=2❑ √6−2❑ √2． 故答为：2❑ √6−2❑ √2． 1 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，以及相 似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式3-1】（2022-2023 中考1 年模拟数学分项汇编）如图，在Rt△B 中，B=B=4，以B 为 边作等边三角形BD，使点D 与点在B 同侧，连接D，则D=______． 【答】2❑ √6−2❑ √2##−2❑ √2+2❑ √6 【分析】过点D 作DE⊥B 于点E，由等边三角形的性质可知BD=B=D=4，∠BD=60°，结合 题意可求出∠DB=30°，从而可求出DE=2，BE=2❑ √3，进而可求出CE=4−2❑ √3，最后根 据勾股定理即可求出D 的长． 【详解】如图，过点D 作DE⊥B 于点E， ∵△BD 是等边三角形， ∴BD=B=D=4，∠BD=60°． ∴∠DB=∠B-∠BD=30°． ∵DE⊥B， ∴DE¿ 1 2BD=2． ∴BE=BD⋅cos30°=4× ❑ √3 2 =2❑ √3． 1 ∴CE=BC−BE=4−2❑ √3． ∵DE⊥B， ∴CD= ❑ √C E 2+D E 2=2❑ √6−2❑ √2． 故答为：2❑ √6−2❑ √2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识．正确的作出辅助 线是解题关键． 【变式3-2】（安徽省亳州市2022-2023 学年九