2023年高考数学试卷（北京）（空白卷）

1/5 2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷满分150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 满足 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 1/5 5. 的展开式中 的系数为（ ）． A. B. C. 40 D. 80 6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为5，则 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 在 中， ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ） 2/5 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之 美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 的夹角的正 切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 B. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 C. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 D. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分． 11. 已知函数 ，则 ____________． 12. 已知双曲线C 的焦点为 和 ，离心率为 ，则C 的方程为____________． 13. 已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p 为假命题的一组 的值 2/5 为 __________， _________． 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”． 已知9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 的数列 ，该数列的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且 ，则 ___________；数列 所有项的和为____________． 3/5 15. 设 ，函数 ，给出下列四个结论： ① 在区间 上单调递减； ②当 时， 存在最大值； ③设 ，则 ； ④设 ．若 存在最小值，则a 的取值范围是 ． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ． （1）求证： 平面PAB； （2）求二面角 的大小． 17. 设函数 ． （1）若 ，求 的值． （2）已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中 3/5 选择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．条件①： ； 条件②： ； 4/5 条件③： 在 区间 上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分． 18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40 天的价格变化数据，如下表所示．在 描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一 天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1 天到第20 天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21 天到第40 天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． （1）试估计该农产品价格“上涨”的概率； （2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4 天，试估计该农产品价格在这4 天中2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率； （3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41 天该农产品价格“上涨”“下跌” 和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆 的 离心率为 ，A、C 分别是E 的上、下顶点，B，D 分别是 的 左、右顶点， ． （1）求 的方程； （2）设 为第一象限内E 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ． 求证： ． 20. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ． （1）求 的值；（2）设函数 ，求 的单调区间； （3）求 的极值点个数． 4/5 21. 已知数列 的项数均为m ，且 的前n 项和分别为 ， 并规定 ．对于 ，定义 ，其中， 表示数集M 中最大的数. 5/5 （1）若 ，求 的值； （2）若 ，且 ，求 ； （3）证明：存在 ，满足 使得 ．