2024年高考数学试卷（北京）（空白卷）

1/4 绝密★本科目考试启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共12 页，150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 （ ）． A. B. C. D. 1 3. 求圆 的圆心到 的距离（ ） A. B. 2 C. D. 4. 的二项展开式中 的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. D. 5. 已知向量 ， ，则“ ”是“ 或 ”的（ ）条件． 1/4 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知 ， ， ， ，则 （ ） A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 记水的质量为 ，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且 ， ，则 与 的关 系为（ ） A. B . 2/4 C. 若 ，则 ；若 ，则 ； D. 若 ，则 ；若 ，则 ； 8. 已知以边长为4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， ， ，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 9. 已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若集合 表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S， 则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分. 11. 已知抛物线 ，则焦点坐标为________． 12. 已知 ，且α 与β 的终边关于原点对称，则 的最大值为________． 13. 已知双曲线 ，则过 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________． 14. 已知三个圆柱的体积为公比为10 的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为 2/4 325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________． 15. 已知 ， ， 不为常数列且各项均不相同，下列正确的 是______. ① ， 均为等差数列，则M 中最多一个元素； ② ， 均为等比数列，则M 中最多三个元素； ③ 为等差数列， 为等比数列，则M 中最多三个元素；④ 单调递增， 单调递减，则M 中最多一 个元素. 3/4 三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC 中， ，A 为钝角， ． （1）求 ； （2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积． ① ；② ；③ ． 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知四棱锥P-ABCD ， ， ， ， ，E 是 上一点， ． （1）若F 是PE 中点，证明： 平面 ． （2）若 平面 ，求平面 与平面 夹角的 余弦值． 18. 已知某险种的保费为 万元，前3 次出险每次赔付 万元，第4 次赔付 万元 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 在总体中抽样100 单，以频率估计概率： （1）求随机抽取一单，赔偿不少于2 次的概率； （2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 ，估计 的数学期望； （ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 ，已赔偿过的增加 ．估计保单下一保险期毛利润 的数学期望． 19. 已知椭圆方程C： ，焦点和短轴端点构成边长为2 的 正方形，过 3/4 的直线l 与椭圆交于A，B， ，连接AC 交椭圆于D． （1）求椭圆方程和离心率； （2）若直线BD 的斜率为0，求t．20. 已知 在 处切线为l． （1）若切线l 的斜率 ，求 单调区间； 4/4 （2）证明：切线l 不经过 ； （3）已知 ， ， ， ，其中 ，切线l 与y 轴交于点B 时．当 ，符合条件的A 的个数为？ （参考数据： ， ， ） 21. 设集合 ．对于给定有穷数列 ，及序列 ， ，定义变换 ：将数列 的第 项加1，得到数列 ；将数列 的第 列加，得到数列 …；重复上述 操作，得到数列 ，记为 ． （1）给定数列 和序列 ，写出 ； （2）是否存在序列 ，使得 为 ，若存在， 写出一个符合条件的 ；若不存在，请说明理由； （3）若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，证明：“存在序列 ，使得 为常数 列”的充要条件为“ ”．