2021年高考数学试卷（北京）（空白卷）

1/4 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第一部分（选择题共40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最 大值为 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） A B. 4 C. D. 2 5. 双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. . 1/4 6. 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2/4 7. 函数 ，试判断函数 奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为 8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24 小时 雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 9. 已知圆 ，直线 ，当 变化时，截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ） A. B. C. D. 10. 数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分（非选择题共110 分） 二、填空题5 小题，每小题5 分，共25 分． 11. 展开式中常数项为__________． 的 的 2/4 12. 已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是______ _；作 轴于 ，则 _______． 13. ， ， ，则 _______； _______． 3/4 14. 若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ___． 15. 已知函数 ，给出下列四个结论： ①若 ，则 有两个零点； ② ，使得 有一个零点； ③ ，使得 有三个零点； ④ ，使得 有三个零点． 以上正确结论得序号 _______． 三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知 中， ， ． （1）求 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度． ① ；②周长为 ；③面积为 ； 17. 已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ． （1）证明：点 为 的中点； 是 在 3/4 （2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值． 18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1 检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为 阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100 人，已 知其中2 人感染病毒． （1）①若采用“10 合1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数； ②已知10 人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X 为总检测次数， 求检测次数X 的分布列和数学期望E(X)； 4/4 （2）若采用“5 合1 检测法”，检测次数Y 的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)． 19. 已知函数 ． （1）若 ，求 在 处切线方程； （2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值． 20. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点P(0，-3)的直线l 斜率为k，交椭圆E 于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y=-3 于点M、N，直 线AC 交y=-3 于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k 的取值范围． 21. 定义 数列 ：对实数p，满足：① ， ；② ；③ ， ． （1）对于前4 项2，-2，0，1 的数列，可以是 数列吗？说明理由； （2）若 是 数列，求 的值； （3）是否存在p，使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在， 说明理由．