2020年高考数学试卷（北京）（空白卷）

1/6 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 第一部分（选择题共40 分） 一、 选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合 ，则 A. B. C. D. 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（1,2），则 A. B. C. D. 3．在 的展开式中， 的系数为 A.-5 B.5 C.-10 D.10 4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 A. B. C. D. 2/6 5．已知半径为1 的圆经过点 ，则其 圆心到原点的距离的最小值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 6．已知函数 ，则不等式 的解集是 (A) (B) (C) (D) 7．设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为， 是抛物线上异于 的一点， 过 作 于 ，则线段 的垂直平分线 (A) 经过点 (B) 经过点 (C) 平行于直线 (D) 垂直于直线 8．在等差数列 中， =-9， =-1，记 ,则数列 （A）有最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项 （C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项 9．已知 “ ，则存在 使得 ” “ 是 ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 2/6 （D）既不充分也不必要条件 10．2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日（π 3/6 Day）.历史上，求圆周率π “ ” 的方法有多种，与中国传统数学中的割圆术相似， 数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数充分大时，计算单位圆的内接正 边形的 周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术 平均数作为2π 的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π 的近似值的表达式是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题共110 分） 二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分。 11．函数 的定义域是_________. 12．已知双曲线 ，则 的右焦点的坐标为_________: 的焦点到 其渐近线的距离是_________. 13．已知正方形 的边长为2，点 满足 ，则 =___ ______； =_________. 14．若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为_____ ____. 15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未 达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 与时间的关系为 ， 用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知 整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 4/6 给出下 列四个结 论： ①在 这 段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在 , , 这三段时间中，在 的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．(本小题13 分) 如图，在正方体 中， 为 的中点， (Ⅰ)求证: 平面 ； (Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值。 17．(本小题13 分) 在 中， , 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为 已知，求: (I) a 的值； (II) 和 的面积. 条件①: , ; 条件②: ， 。 注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。 18.（本小题14 分） 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、 方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获 得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 4/6 5/6 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人 150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。 （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2 人，全体女生中随机抽取1 人，估计这3 人中恰有2 人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 。假设该校一年级有500 名 男生和300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 试比较 与 的大小。（结论不要求证明）19．（本小题15 分） 已知函数 。 （Ⅰ）求曲线 的斜率等于-2 的切线方程； （Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值. 20．（本小题15 分） 已知椭圆 过点 ，且 。 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 的直线交椭圆 于点 ， ，直线 ， 分别交直线 于点 ， .求 的值. 21.（本小题15 分） 已知 是无穷数列，给出两个性质： ①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使得 ； ②对于 中任意一项 ，在 中都存在两项 ，使得 . （Ⅰ）若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由； （Ⅱ）若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②， 6/6 说明理由； （Ⅲ）若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数 列.