22 费马点中三线段模型与最值问题

费马点中三线段模型与最值问题 【专题说明】 费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。 主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60 度，从而将“不等三爪 图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段 最短求解问题 【模型展示】 问题：在△B 内找一点P，使得P+PB+P 最小． A B C P 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直 线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． （1）如图，分别以△B 中的B、为边，作等边△BD、等边△E． （2）连接D、BE，即有一组手拉手全等：△D △ ≌BE． （3）记D、BE 交点为P，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以B 为边作等边△BF，连接F，必过点P，有∠PB=∠BP=∠P=120°． F P P A B C D E E D C B A B A C A B C D E 在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接P，P 平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PB=∠BP=∠P=120°．原来在“手拉手全等”就已经见 过了呀，只是相逢何必曾相识！ 【精典例题】 1、如图，四边形BD 是菱形，B=4，且∠B= BE=60° ∠ ，G 为对角线BD（不含B 点）上任 意一点，将△BG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF，当G+BG+G 取最小值时EF 的长（ ） ． B． ． D． 【答】D 【详解】 解：如图， ∵将△BG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF， BE=B=B ∴ ，BF=BG，EF=G， BFG ∴△ 是等边三角形． BF=BG=FG ∴ ，． G+BG+G=FE+GF+G ∴ ． 根据“两点之间线段最短”， ∴当G 点位于BD 与E 的交点处时，G+BG+G 的值最小，即等于E 的长， 过E 点作EF B ⊥ 交B 的延长线于F， EBF=180°-120°=60° ∴∠ ， B=4 ∵ ， BF=2 ∴ ，EF=2 ，在Rt EF △ 中， EF ∵ 2+F2=E2， E=4 ∴ ． BE=120° ∵∠ ， BEF=30° ∴∠ ， EBF= BG=30° ∵∠ ∠ ， EF=BF=FG ∴ ， EF= ∴ E= ， 故选：D． 2、如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ， 与 交于点 ，可推出结 论： 问题解决：如图，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点 到 三个顶点的距离和的最小值是___________ 【答】 【详解】 如图，将△MG 绕点M 逆时针旋转60°，得到△MPQ， 显然△MP 为等边三角形， ∴，M＋G＝P＋PQ， ∴点到三顶点的距离为：＋M＋G＝＋P＋PQ， ∴当点、、P、Q 在同一条直线上时，有＋M＋G 最小， 此时，∠MQ＝75°+60°＝135°， 过Q 作Q M ⊥ 交M 的延长线于，则∠MQ=90°， MQ ∴∠ ＝180°- MQ=45° ∠ ， MQ ∵ ＝MG＝4 ， Q ∴＝M＝MQ•s45°=4， Q ∴＝ ， 故答为： 3、如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接M， BM，M，则M+BM+M 的最小值为________． 【答】 【详解】 将△BM 绕点B 顺时针旋转60 度得到△BE，∵BM=B，∠MB=∠BE=60°，∴M=BM M=E ∵ ∴M+MB+M=M+M+E．当、M、、E 四点共线时取最小值E． ∵B=B=BE=6，∠B=∠EB=60°，∴B⊥E，=E，∠B=30°，∴B= B=3，= B= ，∴E=2= ． 故答为 ． 4、如图，△B 中，∠B＝30°且B＝，P 是底边上的高上一点．若P+BP+P 的最小值为2 ，则B＝_____． 【答】 【详解】 如图将△BP 绕点顺时针旋转60°得到△MG．连接PG，M． B= ∵ ，⊥B， BP= P ∴∠ ∠， P=P ∵ ， BP P ∴△ △ ≌ （SS）， P=PB ∴ ， MG=PB ∵ ，G=P，∠GP=60°， GP ∴△ 是等边三角形， P=PG ∴ ， P+PB+P=P+PG+GM ∴ ， ∴当M，G，P，共线时，P+PB+P 的值最小，最小值为线段M 的长， P+BP+P ∵ 的最小值为2 ， M=2 ∴ ， BM=60° ∵∠ ，∠B=30°， M=90° ∴∠ ， M==2 ∴ ， 作B⊥于．则B= B=1，= ，=2- ， B= ∴ ． 故答为 ． 5、如图，四边形BD 是正方形，△BE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含B 点）上任意 一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E、M、M ⑴求证：△MB EB ≌△ ； ⑵①当M 点在何处时，M＋M 的值最小； ②当M 点在何处时，M＋BM＋M 的值最小，并说明理由； ⑶当M＋BM＋M 的最小值为√3+1时，求正方形的边长 【答】 （1）△MB EB ≌△ ，证明略。 （2）①当M 点落在BD 的中点时，M＋M 的值最小 ②连接E，当M 点位于BD 与E 的交点处时， M＋BM＋M 的值最小，图略 M B D E （3）√2 【解析】（满分13 分）解：⑴∵△BE 是等边三角形， B ∴＝BE，∠BE＝60° MB ∵∠ ＝60°， MB ∴∠ －∠B＝∠BE－∠B 即∠BM＝∠BE 又∵MB＝B， MB EB ∴△ △ ≌ （SS） ………………5 分 ⑵①当M 点落在BD 的中点时，M＋M 的值最小 ………………7 分 ②如图，连接E，当M 点位于BD 与E 的交点处时， M＋BM＋M 的值最小 ………………9 分 理由如下：连接M 由⑴知，△MB EB ≌△ ， M ∴ ＝E MB ∵∠ ＝60°，MB＝B， BM ∴△ 是等边三角形 BM ∴ ＝M M B D E F M ∴ ＋BM＋M＝E＋M＋M ………………10 分 根据“两点之间线段最短”，得E＋M＋M＝E 最短 ∴当M 点位于BD 与E 的交点处时，M＋BM＋M 的值最小，即等于E 的长……11 分 ⑶过E 点作EF B ⊥ 交B 的延长线于F， EBF ∴∠ ＝90°－60°＝30° 设正方形的边长为x，则BF＝ √3 2 x，EF＝ x 2 在Rt EF △ 中， EF ∵ 2＋F2＝E2， ∴（ x 2 ）2＋（ √3 2 x＋x）2＝(√3+1) 2 ………………12 分 解得，x＝√2（舍去负值） ∴正方形的边长为√2 ………………13 分 6、在正方形BD 中，点E 为对角线（不含点）上任意一点，B= ； （1）如图1，将△DE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DF，连接EF； ①把图形补充完整（无需写画法）； ②求 的取值范围； (2)如图2，求BE+E+DE 的最小值． 【答】（1）①补图见解析；② ；（2） 【详解】 （1）①如图△DF 即为所求； ②∵四边形BD 是正方形， B ∴＝B＝2 ，∠B＝90°，∠DE＝∠D＝45°， ∴＝ ＝ B＝4， DE ∵△ 绕点D 逆时针旋转90°得到△DF， DF ∴∠ ＝∠DE＝45°，E＝F， EF ∴∠ ＝∠D＋∠DF＝90°， 设E＝F＝x，EF2＝y，则E＝4−x， y ∴＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）． 即y＝2（x−2）2＋8， 2 ∵＞0， x ∴＝2 时，y 有最小值，最小值为8， 当x＝4 时，y 最大值＝16， 8≤EF ∴ 2≤16． （2）如图中，将△BE 绕点顺时针旋转60°得到△FG，连接EG，DF．作F D ⊥ 于． 由旋转的性质可知，△EG 是等边三角形， E ∴＝EG， DF≤FG ∵ ＋EG＋DE，BE＝FG， E ∴＋BE＋DE 的最小值为线段DF 的长． 在Rt F △中，∠F＝30°，B＝ =F， F ∴＝ F＝ ，＝ ＝ ， 在Rt DF △ 中，DF＝ ＝ ， BE ∴ ＋E＋ED 的最小值为 ．