专题10 期末复习(三)一元一次方程 课堂学案及配套作业(解析版 )

专题10 期末复习（三）一元一次方程 （解析版） 第一部分 学 知识点一 一元一次方程的定义 1．（2020 秋•公安县期中）关于x 的方程﹣3x＝bx+2 是一元一次方程，则b 的取值情况是（ ） ．b≠ 3 ﹣ B．b＝﹣3 ．b＝﹣2 D．b 为任意数 思路引领：根据一元一次方程的定义（一个未知数且未知数的次数是1 的整式方程是一元一次方程）解 决此题． 解：由﹣3x＝bx+2，得（3+b）x＝﹣2． ∵关于x 的方程﹣3x＝bx+2 是一元一次方程， 3+ ∴ b≠0． ∴b≠ 3 ﹣． 故选：． 总结升华：本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键． 2．（2022 春•射洪市期中）已知（m 2 ﹣）x|m| 1 ﹣＝5 是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ） ．﹣2 B．±2 ．2 D．0 思路引领：根据一元一次方程的定义即可求出答．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这 样的整式方程叫一元一次方程． 解：∵（m 2 ﹣）x|m| 1 ﹣＝5 是关于x 的一元一次方程， ∴{ m−2≠0 ¿m∨−1=1， 解得m＝﹣2． 故选：． 总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义． 3．（2022 春•射洪市期中）下列方程中，一元一次方程共有（ ）个 ①4x 3 ﹣＝5x 2 ﹣；②3x 4 ﹣y；③3x+1¿ 1 x ；④3 x−1 4 + 1 5=¿0； ⑤x2+3x+1＝0；⑥x 1 ﹣＝12． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 思路引领：根据一元一次方程的定义得出即可． 解：①4x 3 ﹣＝5x 2 ﹣，是一元一次方程，符合题意； ②3x 4 ﹣y，不符合一元一次方程的定义，不合题意； ③3x+1¿ 1 x ，是分式方程，不合题意； ④3 x−1 4 + 1 5=¿0，是一元一次方程，符合题意； ⑤x2+3x+1＝0，是一元二次方程，不合题意； ⑥x 1 ﹣＝12，是一元一次方程，符合题意． 故选：． 总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键． 知识点二 等式的性质 4．（2021 秋•天山区校级期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ） ．若m+3＝﹣3，则m＝ B．若x a= y a ，则x＝y ．若2x＝2y，则x＝y D．若−3 2 k=8，则k＝﹣12 思路引领：直接利用等式的基本性质分别分析得出答． 解：、若m+3＝﹣3，则m，不一定相等，错误，不合题意； B、若x a= y a ，则x＝y，正确，符合题意； 、若2x＝2y（≠0），则x＝y，错误，不合题意； D、若−3 2 k=8，则k¿−16 3 ，故此选项错误，不合题意． 故选：B． 总结升华：此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键． 5．（2022 春•新野县期中）下列变形中： ①由方程x−12 5 =¿2 去分母，得x 12 ﹣ ＝10； ②由方程6x 4 ﹣＝x+4 移项、合并得5x＝0； ③由方程2−x−5 6 = x+3 2 两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3； ④由方程2 9x¿ 9 2两边同除以2 9，得x＝1； 其中错误变形的有（ ）个． ．0 B．1 ．2 D．3 思路引领：根据等式的性质，逐项判断即可． 解：①由方程x−12 5 =¿2 去分母，得x 12 ﹣ ＝10，不符合题意； ②由方程6x 4 ﹣＝x+4 移项、合并得5x＝8，符合题意； ③由方程2−x−5 6 = x+3 2 两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+9，符合题意； ④由方程2 9x¿ 9 2两边同除以2 9，得x¿ 81 4 ； 其中错误变形的有3 个：②、③、④． 故选：D． 总结升华：此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握等式的性质． 6．（2021 秋•海门市期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） ．若 x＝y，则 x+5＝y+5 B．若 ＝b，则 ＝b ．若 x＝y，则x a= y a D．若a c =b c （≠0），则 ＝b 思路引领：根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘 以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立． 解：、若x＝y，则x+5＝y+5，此选项正确； B、若＝b，则 ＝b，此选项正确； 、若x＝y，当≠0 时x a= y a ，此选项错误； D、若a c =b c （≠0），则 ＝b，此选项正确； 故选：． 总结升华：本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等 式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立． 7．（2022 春•龙胜县期中）已知方程5y+x＝2，用含y 的代数式表示x 的形式为 ． 思路引领：将y 看作已知数，求出x 即可． 解：5y+x＝2， 解得x＝2 5 ﹣y． 故答为：x＝2 5 ﹣y． 总结升华：此题考查了解一元二次方程，解题的关键是将y 看作已知数，求出x． 知识点三 已知一元一次方程的解去求参数 8．（2021 秋•玉州区期末）若x＝﹣1 是关于x 的方程2（x﹣）+＝0 的解，则﹣2+1 的值为 ． 思路引领：把x＝﹣1 代入方程即可得到一个关于的式子，然后利用得到的式子把所求的式子表示出来， 即可求解． 解：把x＝﹣1 代入方程，得：2（﹣1﹣）+＝0， 即＝﹣2， 则原式＝﹣2×（﹣2）+1＝4+1＝5． 故答是：5． 总结升华：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键． 9．（2017 春•龙海市期中）若方程2x﹣m＝1 和方程3x＝2（x 2 ﹣）的解相同，则m 的值为 ． 思路引领：根据同解方程的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答． 解：由3x＝2（x 2 ﹣）解得x＝﹣4， 将x＝﹣4 代入2x﹣m＝1，得 8 ﹣﹣m＝1， 解得m＝﹣9， 故答为：﹣9． 总结升华：本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m 的方程是解题关键． 10．（2022 春•上海期中）如果关于x 的方程（m2 1 ﹣）x＝1 无实数解，那么m 满足的条件是 ． 思路引领：令未知数的系数为0，即可得出结论． 解：当m2 1 ﹣＝0 时，方程无实数解， ∴m＝±1． 故答为：±1． 总结升华：本题主要考查了一元一次方程的解，正确找出方程无实数解的式子是解题的关键． 知识点四 解一元一次方程 11．（2021 秋•临泽县校级月考）解方程 （1）4x 2 ﹣（x+05）＝17； （2）1 5 x−1 2 （3 2 ﹣x）＝1 （3）4−x 2 −2 x+1 3 =¿1． 思路引领：（1）方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解． 解：（1）去括号得：4x 2 ﹣x 1 ﹣＝17， 移项合并得：2x＝18， 解得：x＝9； （2）去分母得：2x 15+10 ﹣ x＝10， 移项合并得：12x＝25， 解得：x¿ 25 12 ； （3）去分母得：12 3 ﹣x 4 ﹣x 2 ﹣＝6， 移项合并得：﹣7x＝﹣4， 解得：x¿ 4 7 ． 总结升华：此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． 12．（2020 秋•罗湖区校级期末）解方程： （1）4x 2 ﹣（x+05）＝17 （2）4−x 2 −2 x+1 3 =¿1． 思路引领：根据一元一次方程的解法即可求出答． 解：（1）去括号得：4x 2 ﹣x 1 ﹣＝17 移项合并得：2x＝18 解得：x＝9 （2）去分母得：12 3 ﹣x 4 ﹣x 2 ﹣＝6 移项合并得：7x＝4 解得：x¿ 4 7 总结升华：本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础 题型． 知识点五 错解、同解方程 13．（2022 春•长泰县期中）在数学课上，冰冰在解方程2 x−1 5 +1= x+a 2 时，因为粗心，去分母时方程左 边的1 没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝﹣6，试求的值，并解出原方程正确的解． 思路引领：先根据错误的做法：“方程左边的1 没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方程，求出的值， 再把的值代入原方程，求出正确的解． 解：∵去分母时，只有方程左边的1 没有乘以10， 2 ∴（2x 1 ﹣）+1＝5（x+）， 把x＝﹣6 代入上式，解得＝1． 原方程可化为：2 x−1 5 +1= x+1 2 ， 去分母，得2（2x 1 ﹣）+10＝5（x+1）， 去括号，得4x 2+10 ﹣ ＝5x+5， 移项、合并同类项，得﹣x＝﹣3， 系数化为1，得x＝3， 故＝1，x＝3． 总结升华：此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次 方程的解． 14．（2021 秋•伊通县期末）已知关于x 的方程m+x 3 =¿4 的解是关于x 的方程x−m 3 −2 x−4 4 = x 6 −1的解 的2 倍，求m 的值． 思路引领：分别解方程m+x 3 =¿4 和方程x−m 3 −2 x−4 4 = x 6 −¿1，得到两个含有m 的解，根据“关于 x 的方程m+x 3 =¿4 的解是关于x 的方程x−m 3 −2 x−4 4 = x 6 −1的解的2 倍”，列出关于m 的一元一次 方程，解之即可． 解：解方程m+x 3 =¿4 得： x＝12 3 ﹣m， 解方程x−m 3 −2 x−4 4 = x 6 −¿1 得： x＝6﹣m， 根据题意得： 2（6﹣m）＝12 3 ﹣m， 解得：m＝0． 总结升华：本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程是解题的关键． 15．（2021 秋•开福区校级期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方 程； （1）若关于x 的两个方程2x＝4 与mx＝m+1 是同解方程，求m 的值； （2）若关于x 的两个方程2x＝+1 与3x﹣＝﹣2 是同解方程，求的值； （3）若关于x 的两个方程5x+34 3 （m+1）＝m 与2x﹣m¿−19 3 （m+1）是同解方程，求此时符合要求的 正整数m，的值． 思路引领：（1）分别将两个关于x 的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m 的方程，然后解答； （2）分别将两个关于x 的方程解出来，得到两个用含的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出 等式，建立一个关于的方程，然后解答； （3）分别求出两个关于x 的方程的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m，的方程， 然后解答． 解：（1）解方程2x＝4 得：x＝2， 把x＝2 代入mx＝m+1 得：2m＝m+1， 解得：m＝1； （2）解方程2x＝+1 得：x¿ a+1 2 ， 解方程3x﹣＝﹣2 得：x¿ a−2 3 ， ∵关于x 的两个方程2x＝+1 与3x﹣＝﹣2 是同解方程， ∴a+1 2 =a−2 3 ， 解得：＝﹣7； （3）解方程5x+34 3 （m+1）＝m 得：x¿ 3mn−34 m−34 15 ， 解方程2x﹣m¿−19 3 （m+1）得：x¿ 3mn−19m−19 6 ， ∵关于x 的两个方程5x+34 3 （m+1）＝m 与2x﹣m¿−19 3 （m+1）是同解方程， ∴3mn−34 m−34 15 =3mn−19m−19 6 ， ∴m 3 ﹣m 3 ﹣＝0， m＝3（m+1）， ∵m，是正整数， ∴m＝3，＝4 或m＝1，＝6． 总结升华：本题考查了同解方程，正确理解同解方程的定义是解题的关键． 知识点六 一元一次方程的实际应用 16．（2020 秋•雨花区期末）绿叶水果店第一次用795 元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果， 其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2 倍多15 千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/千克） 5 8 售价（元/千克） 10 15 （1）绿叶水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？ （2）绿叶水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果 的重量是第一次的3 倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获 得的总利润为595 元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？ 思路引领：（1）设水果店第一次购进乙种苹果x 千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，根据总价＝单 价×数量，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设第二次乙种苹果按原价打y 折销售，根据总利润＝每千克的利润×销售数量（购进数量），即可 得出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）设绿叶水果店第一次购进乙种苹果x 千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克， 依题意，得：5（2x+15）+8x＝795， 解得：x＝40， 2 ∴x+15＝95（千克）． 答：绿叶水果店第一次购进甲种苹果95 千克，乙种苹果40 千克． （2）设第二次乙种苹果按原价打y 折销售， 依题意，得：（10 5 ﹣）×95+（15× y 10−¿8）×40×3＝595， 解得：y＝6． 答：第二次乙种苹果按原价打6 折销售． 总结升华：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 17．甲乙两地相距240 千米，从甲站开出一列慢车，速度为每小时80 千米，从乙站开出一列快车，速度为 每小时120 千米． （1）若两车同时开出，背向而行，经过多长时间两车相距540 千米． （2）若两车背向而行，甲车开出1 小时后，乙车开出，乙车开出多长时间两车相距540 千米． （3）若两车同时开出，同向而行（快车在后），经过多长时间快车可追上慢车． （4）若两车同时开出，同向而行（慢车在后），经过多长时间两车相距300 千米． 思路引领：（1）设若两车同时开出，背向而行，经过x 小时两车相距540 千米，由于是背向行驶，所 以依甲的路程+乙的路程＝540 240 ﹣ 为等量关系列出方程求出x 的值； （2）设若两车背向而行，甲车开出1 小时后，乙车开出，乙车开出x 小时两车相距540 千米．由于是 背向行驶，所以依甲的路程+乙的路程＝540 240 ﹣ 为等量关系列出方程求出x 的值； （3）设两车同时开出，同向而行（快车在后），经过x 小时快车可追上慢车，相遇时快车比慢车多行 240 千米，依相遇时乙的路程﹣甲的路程＝240 为等量关系列出方程求解； （4）若两车同时开出，同向而行（慢车在后），经过多长x 小时两车相距300 千米，依据乙所走的路 程﹣甲所走的路程＝300 240 ﹣ 为等量关系，列出方程求解即可． 解：（1）设经过x 小时两车相距540 千米， 由题意得：80x+120x＝540 240 ﹣ ， 解得：x¿ 3 2 ． 答：经过3 2 小时两车相距540 千米； （2）设乙车开出x 小时两车相距540 千米． 80（x+1）+120x＝540 240 ﹣ ， 解得：x¿ 11 10 ． 答：乙车开出11 10 小时两车相距540 千米； （3）设经过x 小时快车可追上慢车： 由题意得：120x 80 ﹣ x＝240， 解得：x＝6． 答：经过6 小时快车可追上慢车； （4）设经过x 小时，两车相距300 千米． 由题意得；120x 80 ﹣ x＝300 240 ﹣ ． 解得：x¿ 3 2 ． 答：经过3 2 小时两车相距300 千米． 总结升华：本题主要考查的是一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求 解．注意区分“背向”和“同向”的区别． 第二部分 配套作业 1．（2022 春•方城县期中）下列变形正确的是（ ） ．由3+x＝5，得x＝5+3 B．由7x＝﹣4，得x=−7 4 ．由3＝x 2 ﹣，得x＝3+2 D．由1 2 y=0，得y＝2 思路引领：根据等式的性质即可求解． 解：根据等式的性质1 可知，由3+x＝5，两边同时减3，得x＝5 3 ﹣，则选项不符合题意； B 根据等式的性质2 可知，由7x＝﹣4 两边同时除以7，得x¿−4 7 ，则B 选项不符合题意； 根据等式的性质1 可知，由3＝x 2 ﹣两边同时加2，得x＝3+2，则选项符合题意； D 根据等式的性质2 可知，由1 2 y=¿0 两边同时乘2，得y＝0，则D 选项不符合题意； 故选：． 总结升华：本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 2．（2021 秋•西工区校级月考）如果有理数m，满足|m|﹣＝0，那么m，的关系是（ ） ．互为相反数 B．m＝±且≥0 ．相等且都不小于0 D．m 是的绝对值 思路引领：已知等式变形得到|m|＝，利用绝对值的代数意义化简即可得到m 与的关系． 解：根据题意得：|m|＝， 则m＝±且≥0． 故选：B． 总结升华：此题考查了有理数的减法，以及绝对值的代数意义，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的 关键． 3．（2021 秋•龙口市期末）若x＝2 是关于x 的一元一次方程x+3＝b 的解，则6 3 ﹣b+2 的值是（ ） ．﹣1 B．﹣7 ．7 D．11 思路引领：把x＝2 代入方程x+3＝b 得出2+3＝b，求出2﹣b＝﹣3，变形后代入，即可求出答． 解：把x＝2 代入方程x+3＝b 得：2+3＝b， 即2﹣b＝﹣3， 所以6 3 ﹣b+2 ＝3（2﹣b）+2 ＝3×（﹣3）+2 ＝﹣9+2 ＝﹣7， 故选：B． 总结升华：本题考查了一元一次方程的解和求代数式的值，能求出2﹣b＝﹣3 是解此题的关键． 4．（2022 秋•丰台区校级期中）若x3 2 ﹣+2＝4 是关于x 的一元一次方程，则＝ ． 思路引领：把只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 的整式方程称为一元一次方程，根据一元一次 方程的概念即可完成解答． 解：由题意得：3 2 ﹣＝1， 解得＝1， 故答为：1． 总结升华：本题考查了一元一次方程的概念，把握一元一次方程的概念要注意三点：①只含一个未知 数，即一元；②未知数的次数是1，即一次；③方程两边都是整式． 5．（2022 春•原阳县月考）已知（k 3 ﹣）x|k 2| ﹣ 2021 ﹣ ＝2022 是关于x 的一元一次方程，则k＝ ． 思路引领：根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 解：∵（k 3 ﹣）x|k 2| ﹣ 2021 ﹣ ＝2022 是关于x 的一元一次方程， ∴{ k−3≠0 ¿k−2∨¿1， 解得k＝1． 故答为：1． 总结升华：本题考查了一元一次方程的定