模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型（原卷版）(1)

1．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之 间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 例．如图所示，有一正方体纸盒，在点1处有一只小虫，它要爬到点吃食物．应该沿着怎 样的路线才能使行程最短？ 解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接1，则1就是行程最短的路线． 2 赵爽弦图模型 我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用 四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验 证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边、b 与斜边满足关系式2+b2＝2．称为 勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2 得，大正方形面积＝4× ＝（+b）2， 整理得b2+2+2b＝2b+2， ∴2＝2+b2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 考点一：行程最短问题 【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16m，底面半径等于4m，在圆柱下底面的点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 m．（π 取3） 变式训练 【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10m，母线长为40m，为母线P 的中点，一 只蚂蚁欲从点B 处沿圆锥的侧面爬到点处，则它爬行的最短距离是 m． 例题精讲 【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬 到B 点，那么它所走的最短路线的长是 m． 【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 米、03 米、02 米，， B 是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 台阶面爬行到B 点最短路程是 米． 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 的面积是 ． 变式训练 【变式2-1】．如图1 是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角 三角形围成．若较短的直角边B＝25，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长 一倍，得到图2 所示的“数学风车”，若△BD 的周长是15，则这个风车的外围周长是 ． 【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形BD 的对角线与正方形EF 的对角线E 交于点K， 对角线交正方形EF 于G，两点，记△GK 面积为S1，△面积为S2，若E＝12，D＝4 ，则S1+S2的值为 ． 1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1 的正方体的顶点出发，经过每个面的中心点后，又回 到点，蚂蚁爬行最短程S 满足（ ） ．5＜S≤6 B．6＜S≤7 ．7＜S≤8 D．8＜S≤9 2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直 角三角形是全等的，如果大正方形BD 的面积是小正方形EFG 面积的13 倍，那么t∠DE 的值为（ ） ． B． ． D． 3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方 形BD、正方形EFG、正方形MPQ 的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的 值是（ ） ．12 B．15 ．20 D．30 4．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组 成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三 角形中较小的锐角为θ，那么tθ 的值是（ ） ． B． ． D． 5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形 （如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG 延长交 D 于点．记小正方形EFG 的面积为S1，大正方形BD 的面积为S2，若D＝2，＝1，S2＝ 5S1，则G 的值是（ ） ． B． ． D． 6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高1的端点到达1，若圆柱底面半径为 ，高为 5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 7．如图，底面半径为1，母线长为4 的圆锥，一只小蚂蚁若从点出发，绕侧面一周又回到 点，它爬行的最短路线长是 ． 8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6 和2．若以一个 直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣ S2＝ ． 9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是 我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段 得到如图2 的新的图，如果图1 中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2 中 阴影部分的面积为S，那么S 的值为 ． 10．如图所示一棱长为3m 的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形．其边长都为 1m，假设一只蚂蚁每秒爬行2m，则它从下底面点沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 E 的边长为7m，则图中五个正方形、B、、D、E 的面积和为 m2． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如 图1）．图2 为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形BD 中，以点B 为圆心，B 为半 径作 ，再以D 为直径作半圆交 于点E，若边长B＝10，则△DE 的面积为 ． 13．图1 是一个勾股定理演示具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰 能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11 寸，内宽为9 寸的木质盒子（如图2）． 现要自制一个这样的具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得具恰好摆入这个 盒子中，以便保护和携带（如图3 所示，，B，，D，E 五点均紧贴盒子边缘，具的厚度 等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为 ． 14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4 个全等的 直角三角形与1 个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形 BD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFG，面积为2，连接，交BG 于点P，交DE 于点M，①△GP≌△EM，②S△FP﹣S△GP＝ ，③D+＝4，④＝2+ ，以上说法正确 的是 （填写序号） 15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， （1）请问：长为125dm 的铁棒能放进去吗？ （1）如果有﹣只蚂蚁要想从D 处爬到处，求爬行的最短路程． 16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边 为．较短的直角边为b，斜边长为，可以验证勾股定理； （2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形BD，正方形 EFG，正方形MKT 的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝ ． 17．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理， 思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于2，另一种是等于四个直角三角形与 一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 2 ＝ ，化简便得结论2+b2＝2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到 等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问 题 （1）如图2，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是B 边上的高，＝3，B＝4，求D 的长度． （2）如图3，在△B 中，D 是B 边上的高，B＝4，＝5，B＝6，设BD＝x，求x 的值．