模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型（解析版）(1)

1．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之 间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 例．如图所示，有一正方体纸盒，在点1处有一只小虫，它要爬到点吃食物．应该沿着怎 样的路线才能使行程最短？ 解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接1，则1就是行程最短的路线． 2 赵爽弦图模型 我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用 四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验 证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边、b 与斜边满足关系式2+b2＝2．称为 勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2 得，大正方形面积＝4× ＝（+b）2， 整理得b2+2+2b＝2b+2， ∴2＝2+b2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 考点一：行程最短问题 【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16m，底面半径等于4m，在圆柱下底面的点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 20 m．（π 取3） 解：将圆柱体展开，连接、B，根据两点之间线段最短， 根据题意可得：是圆周的一半， ∴＝ ×2×4π＝12， ∴B＝ ＝20m． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10m，母线长为40m，为母线P 的中点，一 只蚂蚁欲从点B 处沿圆锥的侧面爬到点处，则它爬行的最短距离是 20 m． 解：由题意知，底面圆的直径B＝20，故底面周长等于20π 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为° ∵根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，20π＝ ，解得＝90° ∴展开图中扇形圆心角＝90°， 作E⊥PB 于E，则E＝PE＝10 ，BE＝40 10 ﹣ ， ∵根据勾股定理求得它爬行的最短距离是 ＝20 m ∴蚂蚁爬行的最短距离为20 m 【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬 到B 点，那么它所走的最短路线的长是 15 m． 解：由题意可得， 当展开前面和右面时，最短路线长是： ＝ ＝15（m）； 当展开前面和上面时，最短路线长是： ＝ ＝7 （m）； 当展开左面和上面时，最短路线长是： ＝ （m）； 15 ∵ ＜7 ＜ ， ∴一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬到B 点，那么它 所走的最短路线的长是15m， 故答为：15． 【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 米、03 米、02 米，， B 是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 台阶面爬行到B 点最短路程是 25 米． 解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（02+03）×3， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x， 由勾股定理得：x2＝22+[（02+03）×3]2＝252， 解得x＝25． 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 的面积是 49 ． 解：∵E＝5，B＝13， ∴BF＝E＝5， 在Rt△BF 中，F＝ ＝12， ∴小正方形的边长EF＝12 5 ﹣＝7， ∴小正方形EFG 的面积为7×7＝49． 故答为：49． 变式训练 【变式2-1】．如图1 是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角 三角形围成．若较短的直角边B＝25，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长 一倍，得到图2 所示的“数学风车”，若△BD 的周长是15，则这个风车的外围周长是 38 ． 解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，＝y，则 x2＝4y2+252， ∵△BD 的周长是15， ∴x+2y+25＝15 则x＝65，y＝3． ∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×95＝38． 故答是：38． 【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形BD 的对角线与正方形EF 的对角线E 交于点K， 对角线交正方形EF 于G，两点，记△GK 面积为S1，△面积为S2，若E＝12，D＝4 ，则S1+S2的值为 16 ． 解：由题意可得， F＝，∠FG＝∠＝90°，F∥E， ∵∠GF＝∠GK，∠＝∠KE， ∵F∥E， ∴∠GK＝∠KE， ∴∠GF＝∠， 在△FG 和△中， ， ∴△FG≌△（S）， ∴FG＝， ∵四边形EF 为正方形， ∴E﹣＝F﹣FG，即G＝E， 在△GK 和△EK 中， ， ∴△GK≌△EK（S）， ∴K＝EK，即点K 为正方形EF 的中心， 如图，过点K 作KM⊥F 于点M， ∵E＝12，D＝4 ， ∴BF＝12，D＝ ， 在Rt△DE 中， 由勾股定理得DE＝ ＝4， ∴F＝DE＝4，EF＝E﹣F＝12 4 ﹣＝8， 则F＝8，KM＝4， 设G＝，FG＝b，则+b＝F＝8， ∴ ＝ ， ＝ ＝2b， ∴S1+S2＝2+2b＝2（+b）＝16． 故答为：16． 1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1 的正方体的顶点出发，经过每个面的中心点后，又回 到点，蚂蚁爬行最短程S 满足（ ） ．5＜S≤6 B．6＜S≤7 ．7＜S≤8 D．8＜S≤9 解：正方体展开图形为： 则蚂蚁爬行最短程S＝5+ ＝5+ ． 即6＜S≤7． 故选：B． 2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直 角三角形是全等的，如果大正方形BD 的面积是小正方形EFG 面积的13 倍，那么t∠DE 的值为（ ） ． B． ． D． 解：设小正方形EFG 面积是2，则大正方形BD 的面积是132， ∴小正方形EFG 边长是，则大正方形BD 的边长是 ， ∵图中的四个直角三角形是全等的， ∴E＝D， 设E＝D＝x， 在Rt△ED 中，D2＝E2+DE2， 即132＝x2+（x+）2 解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）， ∴E＝2，DE＝3， t ∴∠DE＝ ＝ ， 故选：． 3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方 形BD、正方形EFG、正方形MPQ 的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的 值是（ ） ．12 B．15 ．20 D．30 解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2 4 ﹣m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2 4 ﹣m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：． 4．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组 成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三 角形中较小的锐角为θ，那么tθ 的值是（ ） ． B． ． D． 解：由已知条件可知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为 ． 设直角三角形中较小边长为x， 则有（x+2）2+x2＝（ ）2，解得x＝5． 则较长边的边长为x+2＝5+2＝7． 故tθ＝ ＝ ． 故选：B． 5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形 （如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG 延长交 D 于点．记小正方形EFG 的面积为S1，大正方形BD 的面积为S2，若D＝2，＝1，S2＝ 5S1，则G 的值是（ ） ． B． ． D． 解：如图，连接DG， ∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形， ∴E＝BF＝G＝D，F＝BG＝＝DE，⊥DE， ∵D＝2，＝1， ∴D＝D+＝2+1＝3， ∵大正方形BD 的面积为S2， ∴S2＝D2＝32＝9， 又∵小正方形EFG 的面积为S1，S2＝5S1， ∴S1＝ ， ∴EF＝FG＝G＝E＝ ， ∵将EG 延长交D 于点， ∴∠GE＝45°，在Rt△EG 中，由勾股定理得：EG＝ ＝ ， 设E＝BF＝G＝D＝x，则F＝BG＝＝DE＝x+ ， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2＝D2+2，即9＝x2+（x+ ）2， 解得：x1＝ ，x2＝﹣ （不合题意，舍去）， 即E＝BF＝G＝D＝x＝ ， ∴D＝E＝ ， ∴垂直平分ED， ∴DG＝EG＝ ， ∴∠DG＝∠GE＝45°， ∴∠DGE＝45°+45°＝90°， ∴∠DG＝90°， 在Rt△DG 中，由勾股定理得：G＝ ＝ ＝ ， 故选：． 6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高1的端点到达1，若圆柱底面半径为 ，高为 5，则蚂蚁爬行的最短距离为 13 ． 解：因为圆柱底面圆的周长为2π× ＝12，高为5， 所以将侧面展开为一长为12，宽为5 的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 ＝13． 故蚂蚁爬行的最短距离为13． 7．如图，底面半径为1，母线长为4 的圆锥，一只小蚂蚁若从点出发，绕侧面一周又回到 点，它爬行的最短路线长是 ． 解：由题意知，底面圆的直径为2， 故底面周长等于2π． 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π＝ ， 解得＝90°， 所以展开图中圆心角为90°， 根据勾股定理求得到点的最短的路线长是： ＝ ＝4 ． 8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6 和2．若以一个 直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣ S2＝ 12 ． 解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，b（＞b）， 根据图1 得：+b＝6， 根据图2 得：﹣b＝2， 联立解得： ， ∴S1＝16， S2＝4， 则S1﹣S2＝12． 故答为：12． 9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是 我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段 得到如图2 的新的图，如果图1 中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 S ， 那 么 S 的 值 为 16 ． 解：由题意作出如下图， 得＝ ，BD＝2，B＝D，△BD 是直角三角形， 则大正方形面积＝2＝34， △D 面积＝ （5×3 2×3 ﹣ ）＝45， 阴影部分的面积S＝34 4×45 ﹣ ＝16， 故答为：16． 10．如图所示一棱长为3m 的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形．其边长都为 1m，假设一只蚂蚁每秒爬行2m，则它从下底面点沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 25 秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定 最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得B＝ ＝ m； （2）展开底面右面由勾股定理得B＝ ＝5m； 所以最短路径长为5m，用时最少：5÷2＝25 秒． 11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 E 的边长为7m，则图中五个正方形、B、、D、E 的面积和为 98 m2． 解：设正方形、B、、D 的边长分别是、b、、d， 则正方形的面积＝2，正方形B 的面积＝b2，正方形的面积＝2，正方形D 的面积＝d2， 又∵2+b2＝x2，2+d2＝y2， ∴正方形、B、、D、E 的面积和＝（2+b2）+（2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98 （m2）． 即正方形，B，，D、E 的面积的和为98m2． 故答为：98． 12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如 图1）．图2 为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形BD 中，以点B 为圆心，B 为半 径作 ，再以D 为直径作半圆交 于点E，若边长B＝10，则△DE 的面积为 20 ． 解：如图，取D 的中点F，连接BF、BE、DE、EF， 由题意可得，FE＝F，BE＝B， ∴BF 是E 的垂直平分线， ∴∠FB+∠BE＝90°， ∵∠BD＝90°， ∴∠DE+∠BE＝90°， ∴∠FB＝∠DE， 又∵∠BF＝∠ED＝90°， ∴△BF∽△ED， ∴ ＝ ＝ ， ∵B＝D＝B＝10，F＝5，∠BF＝90°， ∴BF＝ ＝ ＝5 ， ∴ ＝ ＝ ， 解得：E＝4 ，ED＝2 ， ∴S△DE＝ ×E×DE＝ ×4 ×2 ＝20， 故答为：20． 13．图1 是一个勾股定理演示具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰 能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11 寸，内宽为9 寸的木质盒子（如图2）． 现要自制一个这样的具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得具恰好摆入这个 盒子中，以便保护和携带（如图3 所示，，B，，D，E 五点均紧贴盒子边缘，具的厚度 等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为 ． 解：如图，过点作M⊥EG 的延长线于点M，过点F 作FR⊥G 于点R，过点B 作B⊥G， 过点F 作F∥G，延长G 交K 于K， ∵四边形GFL、DEG、BF 均为正方形， ∴G＝FG，BF＝F＝，EG＝G，∠GF＝∠BF＝90°＝∠MG＝∠FRG＝∠BF＝∠K， ∴∠GM+∠FGM＝∠FGR+∠FGM， ∴∠GM＝∠FGR， ∴△GM≌△FGR（S）， ∴M＝FR，GM＝GR， 同理，△BF≌△FR≌△K（S）， ∴FR＝F＝K＝M，B＝R， 设M＝x，B＝y，M＝FR＝z， 则FR＝F＝K＝M＝x，B＝R＝y， 由勾股定理得：F2＝x2+y2，FG2＝x2+z2，G＝y+z， 根据题意，得：F2+FG2＝G2， ∴x2+z2+x2+y2＝（y+z）2， ∴x2＝yz①， ∵M+GR+R+K＝9，B+FR+EG＝11， 2 ∴x+y+z＝9②，x+2y+z＝11③， ②﹣③，得：x﹣y＝﹣2，即y＝x+2④， ②×2﹣③，得：3x+z＝7，即z＝7 3 ﹣x⑤， 将④⑤代入①，得：x2＝（x+2）（7 3 ﹣x）， 解得：x1＝2，x2＝﹣ （舍去）， ∴y＝4，z＝1， ∴G＝5，FG2＝5，F2＝20， ∴勾股定理演示具的正面面积为：S＝25+5+20+ × ×2 ＝55， ∵具的厚度等于木盒的内高， ∴盒子的空间利用率为： ＝ ， 故答为： ． 14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4 个全等的 直角三角形与1 个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形 BD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFG，面积为2，连接，交BG 于点P，交DE 于点M，①△GP≌△EM，②S△FP﹣S△GP＝ ，③D+＝4，④＝2+ ，以上说法正确 的是 ①③④ （填写序号） 解：∵Rt△BG Rt ≌ △DE， ∴G＝E，∠GP＝∠EM， ∵∥F． ∴∠GP＝∠ME， ∴△GP≌△EM（S）， ∴S△GP＝S△EM，P＝ME， ∴S△FP﹣S△GP＝S 四边形MEFP ∵E＝GF， ∴M＝PF， ∴S 四边形MEFP＝S 四边形MGP＝ S 正方形EFG＝1， ∴S△FP﹣S△GP＝1， ∵D2+2＝D2＝9， ∴（D+）2＝D2+2+2D•＝9+2D•， ∵﹣D＝G， ∴（﹣D）2＝G2＝2， ∴2+D2 2 ﹣D•＝2， 2 ∴D•＝7， ∴（D+）2＝9+7＝16， ∴D+＝4， ∵﹣D＝ ， ∴＝ ＝2+ ， 故答为：①③④． 15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， （1）请问：长为125dm 的铁棒能放进去吗？ （1）如果有﹣只蚂蚁要想从D 处爬到处，求爬行的最短路程． 解：（1）如图1，连接BD， ∵D＝12，B＝4， ∴BD2＝D2+B2＝122+42＝160， ∴D＝ ＝ ＝13（dm）． 13 ∵ dm＞125dm， ∴长为125dm 的铁棒能放进去； （2）如图2 所示， D＝ ＝ dm． 如图3 所示， D＝ ＝ dm， 如图4 所示， D＝ ＝ dm， ∵ ＞ ＞ ， ∴爬行的最短路程是 dm． 16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边 为．较短的直角边为b，斜边长为，可以验证勾股定理； （2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形BD，正方形 EFG，正方形MKT 的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝ ． （1）证明： ， 另一方面 ， 即2 2 ﹣b+b2＝2 2 ﹣b， 则2+b2＝2； （2）解：设正方形MKT 的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y， ∵S1+S2+S3＝16， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16， 4 ∴y+x＝ ， ∴S2＝4y+x＝ ． 故答为： ． 17．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理， 思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于2，另一种是等于四个直角三角形与 一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 2 ＝ ，化简便得结论2+b2＝2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到 等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问 题 （1）如图2，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是B 边上的高，＝3，B＝4，求D 的长度． （2）如图3，在△B 中，D 是B 边上的高，B＝4，＝5，B＝6，设BD＝x，求x 的值． 解：（1）在Rt△B 中 ， 由面积的两种算法可得： ， 解得：D＝ ． （2）在Rt△BD 中D2＝42﹣x2＝16﹣x2， 在Rt△D 中D2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得 ＝ ．