2017年高考数学试卷（理）（北京）（解析卷）

2017年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题.（每小题5分） 1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合． 【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}， ∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1} 故选：A． 【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的 取值范围是（ ） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞） 【考点】A1：虚数单位i、复数． 【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5N：数系的扩充和复数． 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限， 可得 ，解得a范围． 【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象 限，∴ ，解得a＜﹣1． 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题． 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．2 B． C． D． 【考点】EF：程序框图． 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得 答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ， 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：，故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常 采用模拟循环的方法解答． 4．（5分）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．9 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值 即可． 【解答】解：x，y满足 的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A （3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可 行域判断目标函数的最优解是解题的关键． 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【专题】2A：探究型；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增 函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案． 【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数， 故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性 质的综合应用，难度不大，属于基础题． 6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是“ • ＜0”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 【专题】35：转化思想；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑． 【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相 反，可得• ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0， 而=λ 不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数 λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0． 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立． ∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考 查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （ ） A．3 B．2 C．2 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾 股定理求出即可． 【解答】解：由三视图可得直观图， 再四棱锥P﹣ABCD中， 最长的棱为PA，即PA= = =2 ， 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的问题，关 键画出物体的直观图，属于基础题． 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测 宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是 （ ） （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 【考点】4G：指数式与对数式的互化． 【专题】11：计算题． 【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为 10为底的指数形式，进而可得结果． 【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173， ∴≈ =1093， 故选：D． 【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T= ，考查指数 形式与对数形式的互化，属于简单题． 二、填空题（每小题5分） 9．（5分）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= 2 ． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ， 可得： ， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力． 10．（5分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 = 1 ． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合． 【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可 得到结果． 【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8， 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q． 可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2； 8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2． 可得 =1．故答案为：1． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力． 11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为 （1，0），则|AP|的最小值为 1 ． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【专题】31：数形结合；44：数形结合法． 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上 的点到点P的距离的最小值． 【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为： x2+y2﹣2x﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1； 如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最 值，难度不大． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关 于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）= ﹣ ． 【考点】GP：两角和与差的三角函数． 【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差的 余弦公式即可求出 方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角 差的余弦公式即可求出 【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣ 方法二：∵sinα= ， 当α在第一象限时，cosα= ， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ ：∵sinα= ， 当α在第二象限时，cosα=﹣ ， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ 综上所述cos（α﹣β）=﹣， 故答案为：﹣ 【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分 类讨论，属于基础题 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题 的一组整数a，b，c的值依次为 ﹣1，﹣2，﹣3 ． 【考点】FC：反证法． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑． 【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞ c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题， 则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题， 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3 【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题． 14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示， 其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2， 3． （1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的 是 Q1 ． （2）记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最 大的是 p2 ． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】11：计算题；27：图表型；35：转化思想；51：函数的性质及应用． 【分析】（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai的综坐标 +Bi的纵坐标；进而得到答案． （2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与 原点连线的斜率；进而得到答案． 【解答】解：（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数， Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标； Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标， Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标， 由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1， （2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则pi为AiBi中点与原点连线的斜率， 故p1，p2，p3中最大的是p2 故答案为：Q1，p2 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Qi和pi的几何意义，是解答 的关键． 三、解答题 15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c= a． （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． 【考点】HP：正弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案， （2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB， 根据面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∠A=60°，c= a，由正弦定理可得sinC= sinA= × = ， （2）a=7，则c=3， ∴C＜A， ∵sin2C+cos2C=1，又由（1）可得cosC= ， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ， ∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ． 【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基 础题 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面 ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面 角的平面角及求法． 【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质 证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则 PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以 GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平 面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得 直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标 系， 由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ）， ， ． 设平面PBD的一个法向量为 ， 则由 ，得 ，取z= ，得 ． 取平面PAD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解： ，平面BDP的一个法向量为 ． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ． 【点评】本题考查线面角与面面角的求法， 训练了利用空间向量求空间角，属中档题． 17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者． （1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值 大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）； （3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方 差的大小．（只需写出结论） 【考点】CG： 离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由 此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率． （2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四 人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分 别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）． （3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差 大． 【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于 60， 答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： p= = ． （2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7， 可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0， 1，2， P（ξ=0）= ， P（ξ=1）= = ， P（ξ=2）= = ， ∴ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P 答：E（ξ）= =1． （3）答：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的 方差大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数 学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能 力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛 物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点 A，B，其中O为原点． （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点． 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合． 【专题】11：计算题；34：方程思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定 义、性质与方程． 【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方 程，焦点坐标和准线方程； （2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），根 据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明． 【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p= ， ∴y2=x， ∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣， （2）证明：设过点（0，）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴直线