2016年高考数学试卷（理）（天津）（解析卷）

2016年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题 1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}， 则A∩B=（ ） A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4} 2．（5分）（2016•天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y的最小值为（ ） A．﹣4 B．6 C．10 D．17 3．（5分）（2016•天津）在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°，则AC= （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值 为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（5分）（2016•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜ 0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（b＞0），以原点为圆心，双曲 线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点， 四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =17．（5分） （2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC 的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 的值为（ ） A．﹣ B． C． D． 8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）= （a＞0，且 a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数 解，则a的取值范围是（ ） A．（0，] B．[ ，] C．[ ，]∪{ } D．[ ，）∪{ } 二、填空题 9．（5分）（2016•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi） =a，则的值为 ． 10．（5分）（2016•天津）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为 （用 数字作答） 11．（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的 三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 m3 12．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径， 弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长 为 ． 13．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数， 且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则a的取值范围是 ．14．（5分）（2016•天津）设抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂 线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为3 ，则p的值为 ． 三、计算题 15．（13分）（2016•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ． （1）求f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性． 16．（13分）（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参 加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人 作为该组代表参加座谈会． （1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概 率； （2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布 列和数学期望． 17．（13分）（2016•天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为 矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2． （1）求证：EG∥平面ADF； （2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）设H为线段AF上的点，且AH= HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦 值． 18．（13分）（2016•天津）已知{an}是各项均为正数的等 差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项． （1）设cn=b ﹣b ，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列； （2）设a1=d，Tn= （﹣1）kbk 2，n∈N*，求证： ．19．（14分） （2016•天津）设椭圆 + =1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A．已知 + = ，其中O为原点，e为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于 点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范 围． 20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a， b∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证： x1+2x0=3； （3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不 小于． 2016年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}， 则A∩B=（ ） A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4} 【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交 集即可． 【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1， 4，7，10}， ∵A={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，4}， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）（2016•天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y的最小值为（ ） A．﹣4 B．6 C．10 D．17 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0， 可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6． 【解答】解：作出不等式组 表示的可行域， 如右图中三角形的区域， 作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6． 故选：B． 【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次 不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域． 3．（5分）（2016•天津）在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°，则 AC=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用余弦定理求解即可． 【解答】解：在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°， AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC， 可得：13=9+AC2+3AC， 解得AC=1或AC=﹣4（舍去）． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值 为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可． 【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4， 第二次判断不满足条件n＞3： 第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3， 第四次判断n＞3不满足条件， 第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4， 第六次判断满足条件n＞3， 故输出S=4， 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决 本题的关键． 5．（5分）（2016•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜ 0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也 不必要条件 【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可． 【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q， 若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立， 例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞ 0，+（﹣）= ＞0； 而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”， 则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件， 故选：C． 【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的 定义是解本题的关键． 6．（5分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（b＞0），以原点为圆心，双曲 线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点， 四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4， 双曲线的两条渐近线方程为y=± x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的 坐标，代入圆的方程，即可得出结论． 【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=± x， 设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b， ∴2x•bx=2b， ∴x=±1 将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+ =4，∴b2=12， ∴双曲线的方程为 ﹣ =1， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题． 7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是 边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 的值为 （ ）A．﹣ B． C． D． 【分析】运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量的数量积的定义和 性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】解：由DD、E分别是边AB、BC的中点，DE=2EF，可得 =（ + ）•（ ﹣ ） =（ + ）•（ ﹣ ） =（ + ）•（ ﹣ ） = 2﹣ • ﹣ 2= ﹣•1•1• ﹣ = ． 故选：B． 【点评】本题考查了数量积的定义和性质，注意运用向量的中 点的表示，考查计算能力，属于中档题． 8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）= （a＞0，且 a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数 解，则a的取值范围是（ ） A．（0，] B．[ ，] C．[ ，]∪{ } D．[ ，）∪{ } 【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再 根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推 出a的范围． 【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1， 函数f（x）在R上单调递减，则则： ；解得， ； 由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解， 故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解， 当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x， 则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0， 解得a= 或1（舍去）， 当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为[ ，]∪{ }， 故选：C． 【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范 围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中 档题． 二、填空题 9．（5分）（2016•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi） =a，则的值为 2 ． 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进 而可得答案． 【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R， ∴ ， 解得： ， ∴=2， 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不 大，属于基础题． 10．（5分）（2016•天津）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为 ﹣56 （用数 字作答） 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：Tr+1= = x16﹣3r， 令16﹣3r=7，解得r=3． ∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为 =﹣56． 故答案为：﹣56． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题． 11．（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的 三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 2 m3 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个 以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱 锥， 棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2， 棱锥的高h=3m， 故体积V= =2m3， 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视 图，判断几何体的形状是解答的关键． 12．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E， BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为 ． 【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交 弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE． 【解答】解：如图， 过D作DH⊥AB于H， ∵BE=2AE=2，BD=ED， ∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1， ∴DH2=AH•BH=2，则DH= ， 在Rt△DHE中，则 ， 由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB， ∴ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应 用，是中档题． 13．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣ ∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则a的取值范围是 （ ，） ． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即 可． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递 增， ∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减， 则f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），等价为f（2|a﹣1|）＞f（ ）， 即﹣ ＜2|a﹣1|＜ ， 则|a﹣1|＜，即＜a＜， 故答案为：（，） 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将 不等式进行转化是解决本题的关键． 14．（5分）（2016•天津）设抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点为F， 准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相 交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3 ，则p的值为 ． 【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利 用三角形的面积列出方程，求解即可． 【解答】解：抛物线 （t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F （，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0）， AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|， |CF|=3p，|AB|=|AF|= p，A（p， ）， △ACE的面积为3 ， ， 可得 =S△ACE． 即： =3 ， 解得p= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应 用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力． 三、计算题 15．（13分）（2016•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ． （1）求f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性．【分析】（1）利用三角函数的 诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解 即可． （2）利用三角函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ． ∴x≠kπ+ ，即函数的定义域为{x|x≠kπ+ ，k∈Z}， 则f（x）=4tanxcosx•（cosx+ sinx）﹣ =4sinx（cosx+ sinx）﹣ =2sinxcosx+2 sin2x﹣ =sin2x+ （1﹣cos2x）﹣ =sin2x﹣ cos2x =2sin（2x﹣ ）， 则函数的周期T= ； （2）由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z， 得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z， 当k=0时，增区间为[﹣ ， ]，k∈Z， ∵x∈[﹣ ， ]，∴此时x∈[﹣ ， ]， 由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z， 得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z， 当k=﹣1时，减区间为[﹣ ，﹣ ]，k∈Z， ∵x∈[﹣ ， ]，∴此时x∈[﹣ ，﹣ ]， 即在区间[﹣ ， ]上，函数的减区间为∈[﹣ ，﹣ ]，增区间为[﹣ ， ]． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函 数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本 题的关键． 16．（13分）（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参 加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人 作为该组代表参加座谈会． （1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概 率； （2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布 列和数学期望． 【分析】（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人 参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P（A）． （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3分别求出P（X=0），P（X=1），P （X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX． 【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有 =45种， 事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都 参加2次； 共有 + =15种， ∴事件A发生概率：P= = ． （Ⅱ）X的可能取值为0，1，2． P（X=0）= = P（X=1）= = ， P（X=2）= = ， ∴X的分布列为： X 0 1 2 P ∴EX=0× +1× +2× =1． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的 高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运 用． 17．（13分）（2016•天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2． （1）求证：EG∥平面ADF； （2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）设H为线段AF上的点，