2017年高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）（解析卷）

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ） A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅ 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A={x|x＜1}， B={x|3x＜1}={x|x＜0}， ∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误； A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误． 故选：A． 【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注 意交集、并集定义的合理运用． 2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取 一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型． 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进 行求解即可． 【解答】 解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正 方形的边长为2， 则黑色部分的面积S= ， 则对应概率P= = ， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的 面积是解决本题的关键． 3．（5分）设有下面四个命题 p1：若复数z满足∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1= ； p4：若复数z∈R，则∈R． 其中的真命题为（ ） A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运 算． 【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得 答案． 【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题； p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i 满足z1z2∈R，但z1≠ ，故命题p3为假命题； p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题． 故选：B． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分 类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题． 4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差 为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公 差，由此能求出{an}的公差． 【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48， ∴ ， 解得a1=﹣2，d=4， ∴{an}的公差为4． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审 题，注意等差数列的性质的合理运用． 5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1， 则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 【考点】3P：抽象函数及其应用． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1，解得答案． 【解答】解：∵函数f（x）为奇函数． 若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1， 又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， ∴﹣1≤x﹣2≤1， 解得：x∈[1，3]， 故选：D． 【点评】 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度 中档． 6．（5分）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 【考点】DA：二项式定理． 【专题】35：转化思想；4R：转化法． 【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：（1+ ）（1+x）6展开式中： 若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式 中x2的系数： 若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数： 由（1+x）6通项公式可得 ． 可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ． 可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ．（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系 数为：15+15=30． 故选：C． 【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础 题． 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等 腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面 体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的 面，根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形= ×2×（2+4）=6， ∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能输 入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2． 【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“ ”内不能输入“A＞1000”， 又要求n为偶数，且n的初始值为0， 所以“ ”中n依次加2可保证其为偶数， 所以D选项满足要求， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分． 9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是 （ ） A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移 个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 左平移 个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 右平移 个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 左平移 个单位长度，得到曲线C2 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长 度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线 C2， 故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计 算能力． 10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1， l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值 为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【考点】K8：抛物线的性质． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜 率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可． 方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 +θ，利用焦点弦的弦长公式 分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案 【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点， 直线l2与C交于D、E两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点（1，0）， 则直线l2的方程为y=x﹣1， 联立方程组 ，则y2﹣4y﹣4=0， ∴y1+y2=4，y1y2=﹣4， ∴|DE|= •|y1﹣y2|= × =8， ∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16， 方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 +θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|= = |DE|= = = ∴|AB|+|DE|= + = = ， ∵0＜sin22θ≤1， ∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16， 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直 线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结 论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【考点】72：不等式比较大小． 【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据 = = ， ＞ = ．即可得出大小关系． 另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ． = = ＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x． 【解答】解：x、y、z为正数， 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则x= ，y= ，z= ． ∴3y= ，2x= ，5z= ． ∵ = = ， ＞ = ． ∴ ＞lg ＞ ＞0． ∴3y＜2x＜5z． 另解：x、y、z为正数， 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则x= ，y= ，z= ． ∴ = = ＞1，可得2x＞3y， = = ＞1．可得5z＞2x． 综上可得：5z＞2x＞3y． 解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D． 【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题． 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发 大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款 软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2， 4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再 接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞ 100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110 【考点】8E：数列的求和． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当 N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为 2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活 码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意 可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值． 【解答】解：设该数列为{an}，设bn= +…+ =2n+1﹣1，（n∈N+）， 则 = ai， 由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=21﹣1+22﹣ 1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2， 可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即 为2n+1﹣n﹣2， 容易得到N＞100时，n≥14， A项，由 =435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项 符合题意． B项，仿上可知 =325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2 的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知 =210 ，可知 S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符 合题意． D项，仿上可知 =105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为 2的整数幂，故D项不符合题意． 故选A． 方法二：由题意可知： ， ， ，… ， 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣ 1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n， 总共的项数为N=1+2+3+…+n= ， 所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣ n=2n+1﹣2﹣n， 由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有 +2=3，不满足N＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有 +3=18，不满足N＞100， ③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足N＞ 100， ④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足N＞ 100， ∴该款软件的激活码440． 故选：A． 【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能 力，属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= 2 ． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可． 【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1， ∴ = +4 • +4 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12， ∴| +2 |=2 ． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示； 结合图形 = + = +2 ； 在△OAC中，由余弦定理得 | |= =2 ， 即| +2 |=2 ． 故答案为：2 ． 【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问 题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题． 14．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形 结合得答案． 【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为A， 联立 ，解得A（﹣1，1）． ∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形 结合的解题思想方法，是中档题． 15．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆 心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若 ∠MAN=60°，则C的离心率为 ． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后 求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0）， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ， 可得： = ，即 ，可得离心率为：e= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方 程的应用，考查转化思想以及计算能力． 16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC， CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折 起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变 化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4 cm3 ． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与 范围问题． 【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，设 OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= = ，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0， ），f′（x） =100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值． 法二：设正三角形的边长为x，则OG= ，FG=SG=5﹣ ，SO=h= = = ，由此能示出三棱锥的体积的最大 值． 【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC， 即OG的长度与BC的长度成正比， 设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x， 三棱锥的高h= = = ， =3 ， 则V= = = ， 令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，