2018年高考数学试卷（理）（北京）（解析卷）

2018年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项。 1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】根据集合的基本运算进行计算即可． 【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}， 则A∩B={0，1}， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关 键．比较基础． 2．（5分）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可． 【解答】解：复数 = = ， 共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识 的考查． 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ） A． B． C． D． 【考点】EF：程序框图． 【专题】35：转化思想；5K：算法和程序框图． 【分析】直接利用程序框图的应用求出结果． 【解答】解：执行循环前：k=1，S=1． 在执行第一次循环时，S=1﹣= ． 由于k=2≤3， 所以执行下一次循环．S= ， k=3，直接输出S= ， 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用． 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度 音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频 率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为f，则第 八个单音的频率为（ ） A． f B． f C． f D． f 【考点】88：等比数列的通项公式． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可． 【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的 比都等于 ． 若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为： = ． 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力． 5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的 个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】L!：由三视图求面积、体积；L7：简单空间图形的三视图． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间 位置关系与距离． 【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果． 【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD， AC= ，CD= ， PC=3，PD=2 ，可得三角形PCD不是直角三角形． 所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC， △PAD． 故选：C． 【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基 本知识的考查． 6．（5分）设，均为单位向量，则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑． 【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即 可． 【解答】解：∵“| ﹣3 |=|3 + |” ∴平方得| |2+9| |2﹣6 • =9| |2+| |2+6 • ， 即1+9﹣6 • =9+1+6 • ，即12 • =0， 则• =0，即⊥， 则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥”的充要条件， 故选：C． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进 行转化是解决本题的关键． 7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的 距离．当θ、m变化时，d的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】IT：点到直线的距离公式． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】由题意d= = ， 当sin（θ+α）=﹣1时，dmax=1+ ≤3．由此能求出d的最大值． 【解答】解：由题意d= = ， tanα= = ， ∴当sin（θ+α）=﹣1时， dmax=1+ ≤3． ∴d的最大值为3． 故选：C． 【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公 式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 是中档题． 8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（ ） A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】利用a的取值，反例判断（2，1）∈A是否成立即可． 【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x， y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所 以A不正确； 当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y ＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确； 当a=1，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，x+y＞ 4，x﹣y≤2}，显然（2，1）∉A，所以当且仅当a＜0错误，所以C不正确； 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避 免可行域的画法，简洁明了． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．（5分）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为 an=6n﹣3 ． 【考点】84：等差数列的通项公式． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{an} 的通项公式． 【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴ ， 解得a1=3，d=6， ∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3． ∴{an}的通项公式为an=6n﹣3． 故答案为：an=6n﹣3． 【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则 a= 1+ ． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆 心到直线的距离等于半径求出结果． 【解答】解：圆ρ=2cosθ， 转化成：ρ2=2ρcosθ， 进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1， 把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0． 由于直线和圆相切， 所以：利用圆心到直线的距离等于半径． 则： =1， 解得：a=1± ．a＞0 则负值舍去． 故：a=1+ ． 故答案为：1+ ． 【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆 相切的充要条件的应用． 11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（ ）对任意 的实数x都成立，则ω的最小值为 ． 【考点】HW：三角函数的最值． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值． 【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可． 【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（ ）对任意的 实数x都成立， 可得： ，k∈Z，解得ω= ，k∈Z，ω＞0 则ω的最小值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能 力． 12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是 3 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即 可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2y﹣x，则y= x+ z， 平移y= x+ z， 由图象知当直线y= x+ z经过点A时， 直线的截距最小，此时z最小， 由 得 ，即A（1，2），此时z=2×2﹣1=3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利 用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键． 13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在 [0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 f（x）=sinx ． 【考点】2J：命题的否定． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】本题答案不唯一，符合要求即可． 【解答】解：例如f（x）=sinx， 尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立， 当x∈[0， ）上为增函数，在（ ，2]为减函数， 故答案为：f（x）=sinx． 【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题． 14．（5分）已知椭圆M： + =1（a＞b＞0），双曲线N： ﹣ =1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一 个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 2 ． 【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥 曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的 离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：椭圆M： + =1（a＞b＞0），双曲线N： ﹣ =1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的 顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（， ），可得： ，可得 ，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e= ． 同时，双曲线的渐近线的斜率为 ，即 ， 可得： ，即 ， 可得双曲线的离心率为e= =2． 故答案为： ；2． 【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高． 【考点】HP：正弦定理． 【专题】34：方程思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可． （Ⅱ）利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即 可． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角， ∵cosB=﹣，∴sinB= = = ， 由正弦定理得 = 得sinA= = = ， 则A= ． （Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB， 即64=49+c2+2×7×c× ， 即c2+2c﹣15=0， 得（c﹣3）（c+5）=0， 得c=3或c=﹣5（舍）， 则AC边上的高h=csinA=3× = ． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程 关系是解决本题的关键． 16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= ，AC=AA1=2． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交． 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平 面角及求法． 【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（I）证明AC⊥BE，AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF； （II）建立坐标系，求出平面BCD的法向量，通过计算与 的夹角得出二面 角的大小； （III）计算 与的数量积即可得出结论． 【解答】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1， ∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC， ∵AB=BC，E是AC的中点， ∴BE⊥AC， 又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF， ∴AC⊥平面BEF． （II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所 示： 则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1）， ∴ =（﹣2，1，0）， =（0，﹣2，1）， 设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则 ，即 ， 令y=2可得=（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1， ∴ =（2，0，0）为平面CD﹣C1的一个法向量，∴cos＜， ＞= = = ． 由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角， ∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣ ． （III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），∴ =（2，0，﹣1）， ∴ • =2+0﹣4=﹣2≠0， ∴ 与不垂直， ∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD， ∴FG与平面BCD相交． 【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与 空间向量的应用，属于中档题． 17．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类 电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的 概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等． 用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们 喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6 的大小关系． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方 差．菁 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用 古典概型概率计算公式直接求解． （Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获 得好评”，第四类获得好评的有50部，第五类获得好评的有160部，由此能求 出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概 率． （Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk= ，则ξk服 从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ1，Dξ2， Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系． 【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这 部电影是获得好评的第四类电影”， 总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部， 第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部， ∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影 的频率为： P（A）= =0.025． （Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获 得好评”，第四类获得好评的有：200×0.25=50部，第五类获得好评的有： 800×0.2=160部， 则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概 率： P（B）= =0.35． （Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下： ξk= ， 则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影： ξ1 1 0 P 0.4 0.6 E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4， D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24． 第二类电影： ξ2 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2， D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第三类电影： ξ3 1 0 P 0.15 0.85 E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15， D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275． 第四类电影： ξ4 1 0 P 0.25 0.75 E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15， D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875． 第五类电影： ξ5 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2， D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第六类电影： ξ6 1 0 P 0.1 0.9 E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1， D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09． ∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为： Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1． 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两 点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 18．（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求