2019年高考数学试卷（理）（北京）（解析卷）

1/17 2019 年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．（5 分）已知复数z＝2+i，则z• ＝（ ） A． B． C．3 D．5 【分析】直接由 求解． 【解答】解：∵z＝2+i， ∴z• ＝ ． 故选：D． 【点评】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题． 2．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k＝1，s＝1 s＝2 1/17 不满足条件k≥3，执行循环体，k＝2，s＝2 不满足条件k≥3，执行循环体，k＝3，s＝2 此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s 的值 为2． 2/17 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题． 3．（5 分）已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的 距离是（ ） A． B． C． D． 【分析】消参数t 化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解． 【解答】解：由 （t 为参数），消去t，可得4x 3 ﹣y+2＝0． 则点（1，0）到直线l 的距离是d＝ ． 故选：D． 【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题． 4．（5 分）已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，则（ ） A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 【分析】由椭圆离心率及隐含条件a2＝b2+c2得答案． 【解答】解：由题意， ，得 ，则 ， 4 ∴a2 4 ﹣b2＝a2，即3a2＝4b2． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题． 5．（5 分）若x，y 满足|x|≤1﹣y，且y≥ 1 ﹣，则3x+y 的最大值为（ ） A．﹣7 B．1 C．5 D．7 【分析】由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到 最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 3/17 【解答】解：由 作出可行域如图， 联立 ，解得A（2，﹣1）， 令z＝3x+y，化为y＝﹣3x+z， 由图可知，当直线y＝﹣3x+z 过点A 时，z 有最大值为3×2 1 ﹣＝5． 故选：C． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度 满足m2﹣m1＝ lg ，其中星等为mk 的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等 是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10 10.1 ﹣ 【分析】把已知熟记代入m2﹣m1＝ lg ，化简后利用对数的运算性质求解． 【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45， 由题意可得： ， ∴ ，则 ． 故选：A． 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． 3/17 7．（5 分）设点A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |＞| |”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】“ 与 的夹角为锐角”⇒“| + |＞| |”，“| + |＞| |”⇒“ 与 4/17 的夹角为锐角”，由此能求出结果． 【解答】解：点A，B，C 不共线， “ 与 的夹角为锐角”⇒“| + |＞| |”， “| + |＞| |”⇒“ 与 的夹角为锐角”， ∴设点A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |＞| |”的充分必要 条件． 故选：C． 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查 推理能力与计算能力，属于基础题． 8．（5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y 就是其中之 一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．① B．② C．①② D．① ②③ 【分析】将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图 形可得． 【解答】解：将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当x＝0 时，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）； 当x＞0 时，方程变为y2﹣xy+x2 1 ﹣＝0，所以△＝x2 4 ﹣（x2 1 ﹣）≥0，解得x∈（0， 4/17 ]， 所以x 只能取整数1，当x＝1 时，y2﹣y＝0，解得y＝0 或y＝1，即曲线经过（1，0）， （1，1）， 5/17 根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1）， 故曲线一共经过6 个整点，故①正确． 当x＞0 时，由x2+y2＝1+xy 得x2+y2 1 ﹣＝xy≤ ，（当x＝y 时取等）， ∴x2+y2≤2，∴ ，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过 ，根据 对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 ；故②正确． 在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积 ＝ ＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误． 故选：C． 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题． 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。 9．（5 分）函数f（x）＝sin22x 的最小正周期是 ． 【分析】用二倍角公式可得f（x）＝ ，然后用周期公式求出周期即可． 【解答】解：∵f（x）＝sin2（2x）， ∴f（x）＝ ， ∴f（x）的周期T＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题． 10．（5 分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝ 0 ，Sn 5/17 的最小值为 ﹣ 10 ．【分析】利用等差数列{an}的前n 项和公式、通项公式列出方程 组，能求出a1＝﹣4，d＝1，由此能求出a5的Sn的最小值． 【解答】解：设等差数列{an}的前n 项和为Sn，a2＝﹣3，S5＝﹣10， 6/17 ∴ ， 解得a1＝﹣4，d＝1， ∴a5＝a1+4d＝﹣4+4×1＝0， Sn＝ ＝﹣4n+ ＝ （n﹣ ）2﹣ ， ∴n＝4 或n＝5 时，Sn取最小值为S4＝S5＝﹣10． 故答案为：0，﹣10． 【点评】本题考查等差数列的第5 项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法， 考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网 格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 40 ． 【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方 体与一个棱柱的体积作和求解． 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是把棱长为4 的正方体去掉一个四棱柱， 7/17 则该几何体的体积V＝ ． 故答案为：40． 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 12．（5 分）已知l，m 是平面α 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若 l ⊥ α ， l ⊥ m ，则 m ∥ α ． 【分析】由l，m 是平面α 外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α， l⊥m，则m∥α． 【解答】解：由l，m 是平面α 外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l⊥α，l⊥m，则m∥α． 故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α． 【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 13．（5 分）设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a 为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝ ﹣ 1 ； 若f（x）是R 上的增函数，则a 的取值范围是 （﹣∞， 0] ． 【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣ （ex+ae﹣x），变形可得分析可得a 的值，即可得答案； 对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的导数f′ （x）＝ex﹣ae﹣x≥0 在R 上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，据此分析可得答案．【解 答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+ae﹣x， 若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得a＝ ﹣1， 函数f（x）＝ex+ae﹣x，导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x 若f（x）是R 上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0 在R 上恒成立， 变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a 的取值范围为（﹣∞，0]； 故答案为：﹣1，（﹣∞，0]． 【点评】 8/17 本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属 于基础题． 14．（5 分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四 种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网 上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 130 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的 最大值为 15 ． 【分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，结 合恒成立思想，可得x 的最大值． 【解答】解：①当x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140 10 ﹣ ＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m﹣x）×80%≥m×70%， 即有x≤ ， 由题意可得m≥120， 可得x≤ ＝15， 则x 的最大值为15 元． 故答案为：130，15 【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答 题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（13 分）在△ABC 中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ． （Ⅰ）求b，c 的值； （Ⅱ）求sin（B﹣C）的值． 【分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得b2＝a2+c2 2 ﹣accosB，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可； 8/17 （Ⅱ）sin（B﹣C）＝sinBcosC cos ﹣ BsinC，根据正弦定理可求出sinC，然后求出cosC， 代入即可得解． 9/17 【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ． ∴由余弦定理，得b2＝a2+c2 2 ﹣accosB ＝ ， ∴b＝7，∴c＝b 2 ﹣＝5； （Ⅱ）在△ABC 中，∵cosB＝﹣ ，∴sinB＝ ， 由正弦定理有： ， ∴ ， ∵b＞c，∴B＞C，∴C 为锐角， cos ∴ C＝ ， sin ∴ （B﹣C）＝sinBcosC cos ﹣ BsinC ＝ ＝ ． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题． 16．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝ AD＝CD＝2，BC＝3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且 ＝ ． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P 的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且 ＝ ．判断直线 AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 9/17 【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，由此能证 明CD⊥平面PAD． （Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 10/17 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AE﹣P 的余弦值． （Ⅲ）求出 ＝（ ，0， ），平面AEF 的法向量＝（1，1，﹣1）， ＝0， 从而直线AG 在平面AEF 内． 【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵AD⊥CD，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD． 解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴， AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A（0，0，0），E（0，1，1），F（ ， ， ）， P（0，0，2），B（2，﹣1，0）， ＝（0，1，1）， ＝（ ）， 平面AEP 的法向量＝（1，0，0）， 设平面AEF 的法向量＝（x，y，z）， 则 ，取x＝1，得＝（1，1，﹣1）， 设二面角F﹣AE﹣P 的平面角为θ， 则cosθ＝ ＝ ＝ ． ∴二面角F﹣AE﹣P 的余弦值为 ．（Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下： ∵点G 在PB 上，且 ＝ ．∴G（ ，﹣ ， ）， ∴ ＝（ ，﹣ ， ）， ∵平面AEF 的法向量＝（1，1，﹣1）， 10/17 ＝ ﹣ ＝0， 故直线AG 在平面AEF 内． 11/17 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二 面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为 主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全 校学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本 中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下： （0，1000] （1000，2000] 大于2000 仅使用A 18 人 9 人 3 人 仅使用B 10 人 14 人 1 人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概 率； （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月 支付金额大于1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生 的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，发现他们本 月的支付金额都大于2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支 付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由． 【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000 名学生中随机抽取的100 人中，A，B 两种支付方式 都不使用的有5 人，仅使用A 的有30 人，仅使用B 的有25 人，从而A，B 两种支付方 式都使用的人数有40 人，由此能求出从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率． 11/17 （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月 支付金额大于1000 元的人数，则X 12/17 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E （X）． （Ⅲ）从样本仅使用A 的学生有30 人，其中27 人月支付金额不大于2000 元，有3 人月 支付金额大于2000 元，随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元的概率 为p＝ ＝ ，不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的 人数有变化． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得： 从全校所有的1000 名学生中随机抽取的100 人中， A，B 两种支付方式都不使用的有5 人， 仅使用A 的有30 人，仅使用B 的有25 人， ∴A，B 两种支付方式都使用的人数有：100 5 30 25 ﹣﹣ ﹣ ＝40， ∴从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率p＝ ＝0.4． （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月 支付金额大于1000 元的人数， 则X 的可能取值为0，1，2， 样本仅使用A 的学生有30 人，其中支付金额在（0，1000]的有18 人，超过1000 元的有 12 人， 样本仅使用B 的学生有25 人，其中支付金额在（0，1000]的有10 人，超过1000 元的有 15 人，P（X＝0）＝ ＝ ＝ ， P（X＝1）＝ ＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ＝ ， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 12/17 P 数学期望E（X）＝ ＝1． （Ⅲ）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化， 13/17 理由如下： 从样本仅使用A 的学生有30 人，其中27 人月支付金额不大于2000 元，有3 人月支付金 额大于2000 元， 随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元的概率为p＝ ＝ ， 虽然概率较小，但发生的可能性为 ． 故不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化． 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、 相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 18．（14 分）已知抛物线C：x2＝﹣2py 经过点（2，﹣1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M， N，直线y＝﹣1 分别交直线OM，ON 于点A 和点B．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴 上的两个定点． 【分析】（Ⅰ）代入点（2，﹣1），解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程； （Ⅱ）抛物线x2＝﹣4y 的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx 1 ﹣，联立抛物线方 程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方 程，可