2021—2022学年上期期中高二文科数学答案

高二 文数 第1页 （共4页） 河南省实验中学2021——2022 学年上期期中试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12 小题） 1．A．2．C．3．D．4．D．5．B．6．A．7．B．8．C．9．A．10．A．11．A．12． A． 二．填空题（共4 小题） 13．2，���= 1 6���−5，���≥2 ． 14． （﹣1，0）∪（1，+∞） ． 15． 3 3 2 ． 16．1830 三．解答题（共6 小题） 17．解： （1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cosA﹣2＝0， 即（2cosA﹣1） （cosA+2）＝0，解得cosA= 1 2或cosA＝﹣2（舍去） ， 由0＜A＜π，可得A= ��� 3； （2）由���= 1 2 ������������������= 1 2 ������× 3 2 = 5 3，得bc＝20，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝21， 即有（b+c）2﹣2bc﹣2bccos ��� 3 =21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81， 所以b+c＝9． 18．解： （1）公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13 成等比数列． 则：���42 = ���1 ⋅���13，即： （3+3d）2＝3（3+12d） ， 解得：d＝0 或2（0 舍去） ， 所以：an＝3+2（n﹣1）＝2n+1． （2）由于：an＝2n+1，则：������= ���(2���+4) 2 =n2+2n， 所以： 1 ������ = 1 ���(���+2) = 1 2 ( 1 ���− 1 ���+2 )． 则：Tn= 1 2 (1 −1 3 + 1 2 −1 4 + 1 3 −1 5 + ⋯+ 1 ���−1 − 1 ���+1 + 1 ���− 1 ���+2 )， = 1 2 (1 + 1 2 − 1 ���+1 − 1 ���+2 )，= 3 4 − 2���+3 2(���+1)(���+2)． 高二 文数 第2页 （共4页） 19．证明： ���2+���2 ���+��� ≥ ���2+���2 2 ≥ ���+��� 2 ，证明如下： 因为（ ���2+���2 ���+���）2−���2+���2 2 = 2(���2+���2)2−(���2+���2)(���+���)2 2(���+���)2 = (���2+���2)(���−���)2 2(���+���)2 ， 又a，b 是正数，所以a2+b2＞0， （a+b）2＞0， （a﹣b）2≥0， 所以（ ���2+���2 ���+���）2≥���2+���2 2 ，当且仅当a＝b 时，取等号，故 ���2+���2 ���+��� ≥ ���2+���2 2 ； 因为 ���2+���2 2 −（ ���+��� 2 ）2= 2(���2+���2)−(���+���)2 4 = (���−���)2 4 ≥0，当且仅当a＝b 时，取等号， 所以 ���2+���2 2 ≥���+��� 2 ； 故 ���2+���2 ���+��� ≥ ���2+���2 2 ≥ ���+��� 2 ． 20．证明： （1）由������+1 = ������ ������+3 ＜0，得 1 ������+1 = ������+3 ������ =1+ 3 ������， ∴ 1 ������+1 + 1 2 =3（ 1 ������ + 1 2） ， 1 ���1 + 1 2 = 3 2， ∴数列{ 1 ������+ 1 2 }以 3 2为首项，3 为公比的等比数列， 1 ������ + 1 2 = 3 2 ×3n﹣1= 3��� 2 ， ∴������= 2 3���−1（n∈N*） ， （2）������= (3���−1) ��� 2���⋅������= (3���−1) ��� 2���⋅ 2 3���−1 = ��� 2���−1， 所以������= 1 × 1 20 + 2 × 1 21 + 3 × 1 22 + ⋯+ (���−1) × 1 2���−2 + ���× 1 2���−1 ������ 2 = 1 × 1 21 + 2 × 1 22 + ⋯+ (���−1) × 1 2���−1 + ���× 1 2��� 两式相减得 ������ 2 = 1 20 + 1 21 + 1 22 + ⋯+ 1 2���−1 −���× 1 2���= 2 − ���+2 2���， 所以������= 4 −���+2 2���−1。 高二 文数 第3页 （共4页） 21．解： （1）∵不等式（ax﹣1） （x+1）＞0 的解集为{���| −1＜���＜−1 2 }， ∴方程（ax﹣1） （x+1）＝0 的两根是﹣1，−1 2； ∴−1 2a﹣1＝0，∴a＝﹣2； （2）∵（ax﹣1） （x+1）＞0， ∴a＜0 时，不等式可化为（x−1 ���） （x+1）＜0； 若a＜﹣1，则 1 ���＞−1，解得﹣1＜x＜1 ���； 若a＝﹣1，则 1 ���=−1，解得不等式为∅； 若﹣1＜a＜0，则 1 ���＜−1，解得 1 ���＜x＜﹣1； a＝0 时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1； 当a＞0 时，不等式为（x−1 ���） （x+1）＞0， ∵ 1 ���＞−1，∴解不等式得x＜﹣1 或x＞1 ���； 综上，a＜﹣1 时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1 ���}； a＝﹣1 时，不等式的解集为∅； ﹣1＜a＜0 时，不等式的解集为{x| 1 ���＜x＜﹣1}； a＝0 时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}； 当a＞0 时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞1 ���}． 22．解： （1）∵AB∥ON，∠���������= ��� 3，∴∠���������= 2��� 3 ， 又OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0， ��� 3） ， 在△AOB 中，由正弦定理可知， ������ ���������∠���������= ������ ������������= ������ ���������(��� 3−���) = 10 3 2 = 20 3 3 ， ∴AB= 20 3 ������������，OA= 20 3 ���������( ��� 3 −���)，