2021—2022学年上期期中高二文科数学答案

河南省实验中学2021——2022学年上期期中答案 高二 文科数学 一．选择题（共12 小题） 1．A．2．C．3．D．4．D．5．B．6．A．7．B．8．C．9．A．10．A．11．A． 12．A． 二．填空题（共4 小题） 13．{ 2，n=1 6n−5，n≥2)． 14．（﹣1，0）∪（1，+∞）． 15．3 ❑ √3 2 ． 16．1830 三．解答题（共6 小题） 17．解：（1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cosA 2 ﹣＝0， 即（2cosA 1 ﹣）（cosA+2）＝0，解得cosA¿ 1 2 或cosA＝﹣2（舍去）， 由0＜A＜π，可得A¿ π 3 ； （2）由S=1 2 bcsinA=1 2 bc× ❑ √3 2 =5 ❑ √3，得bc＝20，又a2＝b2+c2 2 ﹣bccosA＝21， 即有（b+c）2 2 ﹣bc 2 ﹣bccosπ 3 =¿21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81， 所以b+c＝9． 18．解：（1）公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列． 则：a4 2=a1⋅a13 ，即：（3+3d）2＝3（3+12d）， 解得：d＝0 或2（0 舍去）， 所以：an＝3+2（n 1 ﹣）＝2n+1． （2）由于：an＝2n+1，则：Sn=n(2n+4) 2 =¿n2+2n， 所以：1 Sn = 1 n(n+2)=1 2 ( 1 n − 1 n+2 )． 则：Tn¿ 1 2 (1−1 3 + 1 2 −1 4 + 1 3 −1 5 +⋯+ 1 n−1 − 1 n+1 + 1 n − 1 n+2 )， ¿ 1 2 (1+ 1 2 − 1 n+1 − 1 n+2 )，¿ 3 4 − 2n+3 2(n+1)(n+2)． 19．证明：a 2+b 2 a+b ≥ ❑ √ a 2+b 2 2 ≥a+b 2 ，证明如下： 因为（a 2+b 2 a+b ）2 −a 2+b 2 2 =2(a 2+b 2) 2−(a 2+b 2)(a+b) 2 2(a+b) 2 =(a 2+b 2)(a−b) 2 2(a+b) 2 ， 又a，b 是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0， 所以（a 2+b 2 a+b ）2 ≥a 2+b 2 2 ，当且仅当a＝b 时，取等号，故a 2+b 2 a+b ≥ ❑ √ a 2+b 2 2 ； 因为a 2+b 2 2 −（a+b 2 ）2¿ 2(a 2+b 2)−(a+b) 2 4 =(a−b) 2 4 ≥0，当且仅当a＝b 时，取 等号， 所以❑ √ a 2+b 2 2 ≥a+b 2 ； 故a 2+b 2 a+b ≥ ❑ √ a 2+b 2 2 ≥a+b 2 ． 20．证明：（1）由an+1= an an+3 ＜0，得1 an+1 =an+3 an =¿1+3 an ， ∴1 an+1 + 1 2=¿3（1 an + 1 2），1 a1 + 1 2=3 2， ∴数列{ 1 an + 1 2 }以3 2为首项，3 为公比的等比数列， 1 an + 1 2=3 2 ×3n 1 ﹣¿ 3 n 2 ， ∴an= 2 3 n−1 （n∈N*）， （2）bn=(3 n−1) n 2 n ⋅an=(3 n−1) n 2 n ⋅ 2 3 n−1 = n 2 n−1， 所以 T n=1× 1 2 0 +2× 1 2 1 +3× 1 2 2 +⋯+(n−1)× 1 2 n−2 +n× 1 2 n−1 T n 2 =1× 1 2 1 +2× 1 2 2 +⋯+(n−1)× 1 2 n−1 +n× 1 2 n 两式相减得 T n 2 = 1 2 0 + 1 2 1 + 1 2 2 +⋯+ 1 2 n−1 −n× 1 2 n=2−n+2 2 n ， 所以 T n=4−n+2 2 n−1。 21．解：（1）∵不等式（ax 1 ﹣）（x+1）＞0 的解集为{x∨−1＜x＜−1 2 }， ∴方程（ax 1 ﹣）（x+1）＝0 的两根是﹣1，−1 2 ； ∴−1 2 a 1 ﹣＝0，∴a＝﹣2； （2）∵（ax 1 ﹣）（x+1）＞0， ∴a＜0 时，不等式可化为（x−1 a ）（x+1）＜0； 若a＜﹣1，则1 a ＞−1，解得﹣1＜x＜1 a ； 若a＝﹣1，则1 a=−1，解得不等式为∅； 若﹣1＜a＜0，则1 a ＜−1，解得1 a ＜x＜﹣1； a＝0 时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1； 当a＞0 时，不等式为（x−1 a ）（x+1）＞0， ∵1 a ＞−1，∴解不等式得x＜﹣1 或x＞1 a ； 综上，a＜﹣1 时，不等式的解集为{x| 1 ﹣＜x＜1 a }； a＝﹣1 时，不等式的解集为∅； 1 ﹣＜a＜0 时，不等式的解集为{x|1 a ＜x＜﹣1}； a＝0 时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}； 当a＞0 时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞1 a }． 22．解：（1）∵AB∥ON，∠MON= π 3 ，∴∠OAB=2π 3 ， 又OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0，π 3 ）， 在△AOB 中，由正弦定理可知， OB sin∠OAB = AB sinθ = OA sin( π 3 −θ) = 10 ❑ √3 2 =20 ❑ √3 3 ， ∴AB¿ 20 ❑ √3 sinθ，OA¿ 20 ❑ √3 sin( π 3 −θ)， ∴△AOB 的周长f（θ）¿ 20 ❑ √3 [sinθ+sin( π 3 −θ)]+10，θ∈（0，π 3 ）．