蓉城名校联盟2021～2022学年度上期高中2020级期中联考文科数学参考答案及评分标准

1 蓉城名校联盟2021～2022 学年度上期高中2020 级期中联考 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D B C A D C D B D C 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．1  14．2  15． 5 16．4 3 3 三、解答题：本题共6 小题，共70 分。 17． （10 分） 解： （1）设所求直线方程为4 3 0 x y m    ……2 分 由点 (1,2) P 在直线4 3 0 x y m    上得 4 1 3 2 0 m    ， 10 m  ， ……4 分 故所求直线方程为4 3 10 0 x y    . ……5 分 （2）设所求直线方程为3 4 0 x y c    ……7 分 由| 2 | 2 5 c   得 12 c  或 8 c  ……9 分 故所求直线方程为3 4 12 0 x y    或3 4 8 0 x y    ． ……10 分 18． （12 分） 解:（1） 1 2 5 3 | | | | 4 2 2 2 MF MF a       ……2 分 2 a   ，又 1 c   ， 2 2 2 3 b a c     ……4 分 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   . ……6 分 另解1：由 2 2 2 2 2 1 9 1 4 1 c a b a b             得 2 2 4 3 a b        另解2：由 2 2 2 2 1 3 2 c a b b a          得 2 2 4 3 a b        （2）设 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y 由 2 2 1 1 3 4 12 x y   ， 2 2 2 2 3 4 12 x y   ， 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 3( )( ) 4( )( ) x x x x y y y y      ……8 分 1 2 2 x x    ， 1 2 1 y y  ， 1 2 1 2 3 2 AB y y k x x      ……10 分 直线l 的方程为 1 3 ( 1) 2 2 y x    即3 2 4 0 x y    故直线l 的方程为3 2 4 0 x y    ……12 分 2 另解1： 2 2 1 ( 1) 2 3 4 12 y k x x y           得 2 2 2 (4 3) 4 (2 1) (2 1) 12 0 k x k k x k        1 2 2 2 (2 1) 1 2 4 3      x x k k k ， 3 2  k 另解2：由公式得 2 0 2 0 3 2 AB b x k a y   （建议不扣分） 19． （12 分） 解： （1）设圆心 ( ,2 ) C t t  ，由 2 2 | | | | CA CB  得 ……2 分 2 2 2 2 ( 4) ( 2) ( 2) t t t t       ， 2 t  圆心 (2,0) C ，半径 2 r  ……4 分 故圆C 的方程为 2 2 ( 2) 4 x y    ． ……6 分 （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 3 ( 4) y k x    即 4 3 0 kx y k     ，圆心到直线的距离为 2 | 3 2 | 2 1 k d k     ……7 分 5 12 k   ……9 分 直线l 的方程为5 12 16 0 x y    ……10 分 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 4 x  ，满足题意． ……11 分 综上：直线l 的方程为5 12 16 0 x y    或 4 x  . ……12 分 20． （12 分） 解： （1）设动点 ( , ) P x y ，根据题意得： 2 2 ( 1) 2 | 2 | 2 x y y     ……3 分 整理得 2 2 1 2 y x   故曲线C 的方程为 2 2 1 2 y x  ． ……5 分 （2）设 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y 由 2 2 1 2 2 y kx x y        消去y 整理得 2 2 ( 2) 2 1 0 k x kx    1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 k x x x x k k      ， ， 2 8( 1) 0 k    ……7 分 三角形OAB 的面积 2 1 2 2 1 2 1 | | 2 2 k S x x k      ……9 分 令 2 1 ( 1)   k t t ， 2 2 2 1 1 t S t t t     ……11 分 当 1 0 t k   ， 时三角形OAB 的面积的最大值为 2 2 . ……12 分 3 21． （12 分） 解： （1）设点 ( , ) M x y ，则点 (2 2,2 ) P x y  在圆 2 2 2 4 x y r   上 ……3 分 故 2 2 2 (2 2) 4 4 x y r    ， ……4 分 即 2 2 2 ( 1) x y r    ……5 分 所以曲线C 的方程为 2 2 2 ( 1) x y r    ……6 分 （2）圆 2 2 2 1 0 x y y    与圆 2 2 2 ( 1) x y r    相减得 2 2 2 2 0 x y r     故直线AB 的方程为 2 2 2 2 0 x y r     ……8 分 由 2 2 2 1 0 x y y    得 2 2 ( 1) 2 x y    圆心(0,1) 到直线 2 2 2 2 0 x y r     的距离 2 | 4 | 2 2 r d   ……9 分 由 2 | | 2 2 2 2 AB d    得 2 | 4 | 0 2 2 r d    ，故 2 r  ……11 分 此时，两圆的圆心距为 2 ，满足2 2 2 2 2     ，两圆相交．故 2 r  ……12 分 22． （12 分） 解： （1）设点 0 0 ( , ) P x y ，则 2 2 2 2 2 2 0 0 b x a y a b   ， 2 2 2 2 0 0 2 ( ) b y x a a   ……1 分 1 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 PA PA y y y b k k x a x a x a a         ……3 分 椭圆的离心率e  3 2 ， 2 2 4 a b  ……4 分 1 2 1 4 PA PA k k    为定值． ……5 分 另解1：椭圆的离心率 3 2 e  ， 2 2 4 a b   椭圆的方程为 2 2 2 4 4 x y b   设点 0 0 ( , ) P x y ， 则 2 2 2 0 0 4 4 x y b   ， 2 2 2 0 0 4 4 x b y    1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 4 4 4 PA PA y y y y y k k x a x a x a x b y             （2）椭圆的方程为 2 2 1 4 x y  ， 坐标原点O 在以AB 为直径的圆上．OA OB  ， ……6 分 当直线l 的斜率不存在时，由对称性设 ( , ) A t t ，则 2 2 2 4 4 4 5 t t t    ， ， 此时坐标原点O 到直线l 的距离为2 5 5 ……7 分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m   ， 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y 由 2 2 4 4 y kx m x y        得 2 2 2 2 2 (4 1) 8 4( 1) 0 16[(4 1) ] 0 k x kmx m k m          ， ……8 分 4 2 2 2 2 (4 1) 2 4 0 k y my m k      OA OB   ， 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 4 4 0 4 1 4 1 m m k x x y y k k          2 2 5 4( 1) m k    ，此时 2 16 (16 1) 0 5 k    ……10 分 坐标原点O 到直线l y kx m   ： 的距离的平方 2 2 2 4 1 5 m d k    ，坐标原点O 到直线l 的距离为2 5 5 故坐标原点O 到直线l 的距离为定值，该定值为2 5 5 ． ……12 分 5 解析： 1． 1 1 k a  选A． 2．将 4  改为0，得 1 2 y x  选B． 3．由题意 0 2 0 2 m m m m      ， ， 选D． 4．由 1 2 1 1 m m m    得 1 m 选B． 5．平移至( 1,1)  处最小选C． 6．直线为 2 2 0 x y    由d r  ，得 2,3 m  选A． 7．椭圆方程为 2 2 1 16 12 x y   ，点P 在短轴顶点时角最大．选D． 8．最小值为 4 2 2 d r    ，选C． 9．曲线为半圆，画图可得．选D． 10．由题意 2 a c b   ，得 2 5 2 3 0 e e    ，故 3 5 e  ． 11．直线过定点 (1,1) P ，直线与OP 垂直时最小．选D． 12．三角形 2 ABF 的面积为2 2 ，三角形 2 ABF 的内切圆的半径为 2 2 ，选C． 13．由 1 1 k  ，得 1 k ． 14．圆心( , 1) 2 a  在直线y x  上，故 2 a ． 15．由 2 b a  ，得 5 e  ． 16．点P 的轨迹方程为 2 2 1 8 4 x y   ，三角形MPN 的面积为 2 π 4 3 tan 4tan 2 6 3 b   ．