精品解析：广东仲元中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共29 页 （北京）股份有限公司 广东仲元中学2022 学年第一学期期中考试高二数学试卷 一、单项选择题：（本大题8 个小题，满分40 分，每小题有且只有一个正确答案，答对得5 分） 1. 已知 ， ，(i 为虚数单位)，则 （ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值. 【详解】 ， 利用复数相等的充分必要条件可得： . 故选：C. 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A、B，再去求 即可解决 【详解】 则 故选：D 第2 页/共29 页 （北京）股份有限公司 3. 直线 与直线 平行，则 A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】两直线平行，斜率相等；按 ， 和 三类求解. 【详解】当 即 时， 两直线为 ， ， 两直线不平行，不符合题意； 当 时， 两直线为 ， 两直线不平行，不符合题意； 当 即 时， 直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 因为两直线平行，所以 ， 解得 或 ， 故选B. 【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况. 4. 已知 ，若 ，则 （ ） 第3 页/共29 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角的基本关系式和两角差的余弦公式，计算可得出答案. 【详解】 . 故选：C. 5. 若a 为实数，则“ ”是“ 为奇函数的”（ ） A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的的偶性的定义及判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当 时,函数 的定义域为 关于原点对称， 且 ，即 ， 此时函数 为奇函数，所以充分性成立； 反之：当 ，则满足 ，即 ， 第4 页/共29 页 （北京）股份有限公司 即 ，解得 ，所以必要性不成立. 综上可得， 是函数 为奇函数的充分不必要条件. 故选：A. 6. 如图，正方体 的棱长为 ， 是棱 的中点， 是四边形 内一点（包含边 界）．若 平面 ，且线段 长度的最小值为 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，证明 点轨迹是线段 ， 然后根据勾股定理求得 后可得最小值，由此求得 ． 【详解】如图，过点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，则 底面 ，连接 ， 平面 ，则 ，所以 ， ∵ 平面 ， /平面 ， ， 平面 ， ∴平面 平面 ，又 平面 ，∴ 平面 ． 又平面 平面 ， 平面 ，∴ ， 第5 页/共29 页 （北京）股份有限公司 为 的中点，∴ 为 的中点，则 为 的中点，即 在线段 上（包含端点）， ∴ ，∴ ，∴ ， ， 故选：B． 7. 若函数 的图象与直线 有公共点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数 的图象，利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】函数 的图象如图所示： 第6 页/共29 页 （北京）股份有限公司 由图象知：当直线过点A（-1，0）时，m=1； 当直线与半圆相切时： ，解得 或 （舍去）； 因为函数 的图象与直线 有公共点， 所以实数 的取值范围是 ， 故选：A 8. 正四面体 的棱长为1，点 是该正四面体内切球球面上的动点，当 取得最小值时，点 到 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取 的中点为 ， ，可得当 的长度最小时， 取得最小值，求出球心 到点 的距离 ，可得点 到 的距离为 . 【详解】因为四面体 是棱长为1 的正四面体， 第7 页/共29 页 （北京）股份有限公司 所以其体积为 . 设正四面体 内切球的半径为， 则 ，得 . 如图，取 的中点为 ，则 . 显然，当 的长度最小时， 取得最小值. 设正四面体内切球的球心为 ，可求得 . 因为球心 到点 的距离 ， 所以球 上的点 到点 的最小距离为 ， 即当 取得最小值时，点 到 的距离为 . 故选：A. 第8 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的 半径，得出点 到 的距离为球心 到点 的距离减去半径. 二、多项选择题：（本大题4 个小题，满分20 分，每小题有两个或两个以上正确答案，全对 得5 分，部分对且无错得2 分） 9. 有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到的另一组数据 ， ，…， ，满足 （ 为非零常数），则下列结论一定成立的是（ ） A. 两组数据的样本平均数不同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的样本方差相同 D. 两组数据的样本标准差不同 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质判断即可. 【详解】解：对于A，设样本数据 ， ， ， 的平均数为 ， 则新样本数据 ， ， ， 的平均数是 ，平均数不同，故A 正确； 对于B，设样本数据 ， ， ， 的中位数为 ， 则新样本数据 ， ， ， 的中位数是 ，中位数不同，故B 错误； 对于C，样本数据 ， ， ， ，由这组数据得到新样本数据 ， ， ， ， 两组数据的波动性相同，所以方差、标准差相同，故C 正确，D 错误； 故选：AC． 10. 已知直线 交y 轴于点A，将l 绕点A 顺时针旋转 得直线m，则（ ） A. 直线l 与直线m 关于x 轴对称 B. 直线l 与直线m 关于y 轴对称 C. 直线m 的方程为 第9 页/共29 页 （北京）股份有限公司 D. 直线m 的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】先求得直线m 的方程，再分别求得直线l 关于x 轴和关于y 轴对称的直线方程即可解决. 【详解】直线 交y 轴于点 ，斜率 ，倾斜角为 则直线m 倾斜角为 ，斜率 ，且直线m 过点 ， 则直线m 的方程为 ，即 ， 又直线 关于y 轴对称的直线为 ； 关于x 轴对称的直线为 则选项AC 判断错误；选项BD 判断正确. 故选：BD 11. 已知圆M： ，直线l： ，直线l 与圆M 交于A，C 两点，则 下列说法正确的是（ ） A. 直线l 恒过定点 B. 的最小值为4 C. 的取值范围为 D. 当 最小时，其余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.直线方程变形为 ，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦 的中点时， 第10 页/共29 页 （北京）股份有限公司 此时 最短；C.根据向量数量积公式，转化为求 的最值；D.根据C 即可判断. 【详解】A.直线 ，即 ，直线恒过点 ，故A 正确； B.当定点 是弦 的中点时，此时 最短，圆心 和定点 的距离时 ，此时 ，故B 正确； C.当 最小时， 最小，此时 ，此时 ，当 是直径时，此时 最大， ，此 时 ，所以 的取值范围为 ，故C 正确； D.根据C 可知当 最小时，其余弦值为 ，故D 错误. 故选：ABC 12. 已知正三棱柱 中， 为 的中点，点 在线段 上，则下列结论 正确的是（ ） A. 直线 平面 ， B. 和 到平面 的距离相等 C. 存在点 ，使得 平面 D. 存在点 ，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】连接 交于点 ，连接 ，证得 ，进而得到 平面 ，可判定A 正确；证得 ，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B 正确；假设存在点 ，使得 平面 第11 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ，得到 ，令 ，结合 ，可判定C、D 错误. 【详解】对于A 中，如图所示，连接 交于点 ，连接 ， 因为 为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以 为 的中点， 又因为 是 的中点，所以 ， 由 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，所以A 正确； 对于B 中，因为 交 于点 ， ， ，所以 ， 因为 与 与平面 成角相等，所以 和 到平面 的距离相等， 所以B 正确； 对于C 中，假设存在点 ，使得 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 令 ，可得 ， 因为 和 所成角为锐角， 和 所成角为锐角， 所以 ，所以 ， 所以 不成立，所以C 错误； 对于D 中，由C 知 ，所以不存在点 ，使得 ，所以D 错误. 故选：AB. 第12 页/共29 页 （北京）股份有限公司 三、填空题：（本大题4 个小题，满分20 分，每小题5 分，16 题第一空3 分，第二空2 分） 13. 已知向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则 __________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用数量积的定义和运算律直接计算. 【详解】因为 ，所以 . 所以 . 故答案为：-1. 14. 已知点 是直线 上位于第一象限的点，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把点代入直线中得到关于 的式子，然后和 联立使用基本不等式求得最小值. 【详解】点 是直线 上位于第一象限的点，故可得 ， ，故可得 ，当且仅 第13 页/共29 页 （北京）股份有限公司 当 ，即 时，等号成立. 故答案为： . 15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M，满足 MA2＋MO2＝10，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[0，3] 【解析】 【详解】设M(x，y)，由MA2＋MO2＝10，A(0，2)，得x2＋(y－1)2＝4，而(x－a)2＋(y－a＋2)2＝ 1，它们有公共点，则1≤a2＋(a－3)2≤9，解得实数a 的 取值范围是[0，3]． 16. 已知圆 和点 ，若定点 和常数 满足：对圆O 上任意一点 M，都有 ，则 _________， 面积的最大值为______________． 【答案】 ①. 2 . ② ## 【解析】 【分析】先利用题给条件求得参数 ，代入即可求得 ，进而求得 面积的最大值 【详解】设圆O 上任意一点 ，则 则 若 为定值，则 ， 解之得， 或 （舍），则 第14 页/共29 页 （北京）股份有限公司 则 则 面积的最大值为 故答案为：2； 四、解答题：（本大题6 个小题，满分70 分） 17. 在 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 ． （1）求B 的大小； （2）若 ，求 的面积． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得 ，求得 ， 即可求解； （2）由余弦定理可得 ，结合 ，求得 ，利用三角形的面积公式，即可求 解. 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理可得 ， 又 ， 第15 页/共29 页 （北京）股份有限公司 所以 ， 因为 ，则 ，所以 ， 因为 ，所以 . （2）因为 ， ， 由余弦定理可得 ，整理得 ， 又 ，解得 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时， 要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运 算与求解能力，属于基础题． 18. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且 是边长为2 的等边三角形，四边 形 是矩形， ，M 为 的中点． （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； 第16 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （3）求点D 到平面 的距离． 【答案】（1）见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点 为原点，分别以直线 为 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法 可求得 . （2）利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值 （3）利用空间向量法可点D 到平面 的距离. 【小问1 详解】 以点D 为原点，分别以直线 为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得 ， 即 ,∴ . 【小问2 详解】 设 为平面 的法向量， 则 即 取 得 , 第17 页/共29 页 （北京）股份有限公司 . 【小问3 详解】 设点 到平面 的距离为 , 由(2) 可知 为平面 的一个法向量， 即点 到平面 的距离为 . 19. 在平面直角坐标系 中， 的顶点 的坐标为 ， 边上的中线 所在的直线方程 为 ， 的角平分线所在的直线方程为 . （1）求点的 坐标； （2）求直线的 方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）设点B 的坐标为 ， 中点M 的坐标为 ，点B 在直线 上，点M 在 第18 页/共29 页 （北京）股份有限公司 直线 上，列方程求解即可； （2）点A 关于直线 的对称点为 ，根据对称列方程求解点 的坐标为 ，再 由点斜式即可得解. 【详解】（1）设点B 的坐标为 则 中点M 的坐标为 依题意可知，点B 在直线 上，点M 在直线 上 则有 解得 ， 即点B 的坐标为 （2）设点A 关于直线 的对称点为 ， 则 在直线 上 设点 的坐标为 ，则点 的中点坐标为 则有 解得 即点 的坐标为 直线 的斜率为 所以直线 的直线方程为 第19 页/共29 页 （北京）股份有限公司 化简得： 即直线 的方程为 . 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，涉及中点坐标的运算及点线对称的求解，属于中档题. 20. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， . （1）求函数 在 上的解析式； （2）证明函数 在 上是单调增函数； （3）若对任意实数m， 恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1） ， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解；（2）利用函数单调性的定义证明；（3）利用函数奇偶性和单调 性转化为二次不等式恒成立问题，然后分离参数，利用二次函数的性质求解. 【小问1 详解】 任取 ，则 ， ， 当 时， ， 又因为 符合上式， 故 ， . 第20 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 任取 且 ， ， 因为 ， ， ， ， 所以 ，所以 ， 所以 在R 上单调递增. 【小问3 详解】 因为 是奇函数， 原不等式可化为 ， 又因为 在R 上是单调增函数， 所以 即 对 恒成立. 令 ，则 ， 所以 ，即t 的取值范围为 . 21. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F 分别为 和 的 中点，D 为棱 上的点． 第21 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （1）证明： ； （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空 间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出 答案； 【详解】（1）[方法一]：几何法 因为 ，所以 ． 又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方体 ，如图所示， 过E 作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ， 第22 页/共29 页 （北京）股份有限公司 因为E，F 分别为 和 的中点，所以 是BC 的中点， 易证 ，则 ． 又因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 平面 ． 又因为 平面 ，所以 ． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱 是 直三棱柱， 底面 ， ， ， ，又 ， 平面 ．所以 两两垂直． 以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图． ， ． 由题设 （ ）． 因为 ， 所以 ，所以 ． [方法三]：因为 ， ，所以 ，故 ， ，所以 第23 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ，所以 ． （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以 ，即 ． 令 ，则 因为平面 的法向量为 ， 设平面 与平面 的二面角的平面角为 ， 则 ． 当 时， 取最小值为 ， 此时 取最大值为 ． 第24 页/共29 页 （北京）股份有限公司 所以 ，此时 ． [方法二] ：几何法 如图所示，延长 交 的延长线于点S，联结 交 于点T，则平面 平面 ． 作 ，垂足为H，因为 平面 ，联结 ，则 为平面 与平面 所成二面角的平面角． 设 ，过 作 交 于点G． 由 得 ． 又 ，即 ，所以 ． 又 ，即 ，所以 ． 所以 ． 则 ， 第25 页/共29 页 （北京）股份有限公司 所以，当 时， ． [方法三]：投影法 如图，联结 ， 在平面 的投影为 ，记面 与面 所成的二面角的平面角为 ，则 ． 设 ，在 中， ． 在 中， ，过D 作 的平行线交 于点Q． 在 中， ． 在 中，由余弦定理得 ， ， ， ， ， 第26 页/共29 页 （北京）股份有限公司 当 ，即 ，面 与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐 标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行 证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法； 方法二：利用空间线面关系找到，面 与面 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是 很容易找到；方法三：利用面 在面 上的投影三角形的面积与 面积之比即为面 与面 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常 好的方法，开阔学生的思维． 22. 如图，在平面直角坐标系 中，圆 交 轴于 、 两点，交直线 于 、 两点． （1）若 ，求 的值； （2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，试探究斜率之积 是否为定值？若是，请求出该定值； 若不是，请说明理由． 第27 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （3）证明：直线 、 的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】（1） ； （2） 恒为定值 ； （3）证明见解析，交点恒在定直线 上. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线 的距离 ，再利用点到直线的距离公式可得出关 于 的等式，即可求得实数 的值； （2）设点 、 ，将