精品解析：广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共29 页 （北京）股份有限公司 华南师大附中2022-2023 学年第一学期期中考试 高二数学 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分100 分，考试用时120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用照色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并 用铅笔在答题卡上的相应位置填涂. 2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答家标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答第I 卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内， 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 第I 卷 一、单选题：本大题共8 小题，每小题3 分，满分24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求. 1. 已知 ，若 ，则 （ ） A . 4 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】等价转化为 ,利用空间向量的坐标运算得到关于 的方程，解之即可. 第2 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】由 得 ， 又∵ ， ， , 解得 , 故选：A. 2. 己知m，n 是两条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误. 【详解】对于A，若 ，则 或异面，故A 错误. 对于B，若 ，则 或 相交，故B 错误. 对于C，若 ，则 或 相交，故C 错误. 对于D，由线面垂直的性质可得若 ，则 ，故D 正确， 故选：D. 3. 直线 的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得直线 的斜率为 ，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 第3 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】解：将直线 方程转化为斜截式方程得 ， 所以，直线 的斜率为 ， 所以，直线 的 倾斜角为 . 故选：A 4. 过点 且与直线 平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设所求直线为 ，代入A 点坐标，求得m 值，即可得答案. 【详解】因为所求直线与直线l 平行， 所以设所求直线方程为： ， 又所求直线过点 ，代入可得 ，解得 ， 所以所求直线为 ，即 . 故选：A 5. 直线 与圆 的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】由已知得，圆 的圆心为（0，0），半径为 ， 所以圆心到直线 的距离为 . 第4 页/共29 页 （北京）股份有限公司 因为 ，所以 所以圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相交或相切； 故选：C． 6. 设点 ， ，直线过点 且与线段 相交，则的斜率 的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示： 因为 ， 所以当直线过点 且与线段 相交时，的斜率 的取值范围是 或 ， 故选：B 第5 页/共29 页 （北京）股份有限公司 7. 已知直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角 的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把三棱柱补成四棱柱，如图所示，即可知异面直线 与 所成角为 （或其补角）， 再解三角形即可求出． 【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得 ，易知该四棱柱为长方体， ， 异面直线 与 所成角为 （或其补角）， ， ， ， ∴ . 故选：C. 8. 设椭圆 ＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P 是椭圆上一点，且∠F1PF2＝ ，若△F1PF2的外接圆 和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r 时，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 第6 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【分析】由正弦定理把 用 表示，也用 表示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理结合椭圆定义可得 ．然后把 面积用两种方法表示，得出 的关系式，求得离心率． 【详解】解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c， 根据正弦定理可得2R＝ ＝ ＝ ， ∴R＝ ，r＝ R＝ ． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a， 由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos ＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn， ∴mn＝ ， ∴ ＝ mnsin ＝ ， 又 ＝ (m+n+2c)•r＝ ， ∴ ＝ ，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0， 解得：e＝ 或e＝﹣1（舍）． 故选：B． 二、多选题：本大题共4 小题，每小题3 分，满分12 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合要求，全部选对得3 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知直线 与圆 交于 两点，则（ ） A. 第7 页/共29 页 （北京）股份有限公司 B. 的面积为 C. 圆 上到直线的距离为1 的点共有2 个 D. 圆C 上到直线的距离为1 的点共有3 个 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案． 【详解】 圆 ，即圆心坐标为 ，半径 ，如图所示： 圆心 到直线 的距离 ， ，所以A 选 项错误； ，选项B 正确； 由 ，作直线的平行线，使两直线的距离为1，这样的平行线有两条，一条与圆相切，另一条过圆 心与圆相交，可知圆上到直线l 的距离为1 的点共3 个，C 选项错误，D 选项正确. 故选：BD 10. 设椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 是椭圆 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 的最小值为 第8 页/共29 页 （北京）股份有限公司 C. 的大小可以是 D. 满足 为等腰三角形的点 有 个 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程可确定 ，根据 可知A 错误；由 可知B 正确；当 为椭圆 上下顶点时， ，由此可得C 正确；当 为椭圆上下顶点时，可知 为等腰三角形， 根据 ，可知 ， 能成立，结合椭圆对称性可知D 正确. 【详解】由椭圆方程知： ， ， ； 对于A，离心率 ，A 错误； 对于B， 为椭圆左焦点， ，B 正确； 对于C，当 为椭圆上下顶点时， ， ， ， ， 则当 在椭圆上运动时， ，则 大小可以是 ，C 正确； 对于D，当 为椭圆上下顶点时， ，满足 为等腰三角形； ，即 ， 能成立，根据椭圆对称性知：此时有 点满足题意； 第9 页/共29 页 （北京）股份有限公司 同理可知： 时，有 点满足题意； 满足 为等腰三角形的点 有 个，D 正确. 故选：BCD. 11. 如图，在三棱柱 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ， ． 设 ， ， ，若 ， ， ，则下 列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得. 【详解】 ，故A 错误； 由题可知 ， ， ， 第10 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ，故B 正确； 因为 ， ， 则 ，故C 错误，D 正确． 故选：BD. 12. 在长方体 中， ，点 为棱 上靠近点 的三等分点，点 是长方形 内一动点（含边界），且直线 ， 与平面 所成角的大小相等，则（ ） A. 平面 B. 三棱锥 的体积为4 C. 存在点 ，使得 D. 线段 的长度的取值范围为 第11 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：由题意得到平面 平面 ，然后根据面面平行的性质定理即可判断选项 A； 选项B：根据 即可判断选项B； 选项C：作 交 于 ，连接 ，当 为 中点时，满足 ； 选项D：根据题意分析出当点 在点 或点 处时，线段 的长度取得最大值；当点 在点 处时， 线段 的长度取得最小值，从而可求出线段 的长度的取值范围为 . 【详解】 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 正确； ，故 错误； 连接 ，作 交 于 ，连接 ， 平面 ， 为 与平面 所成的角， 平面 ， 为 与平面 所成角． 直线 ， 与平面 所成角的大小相等， ， 所以 ， 又 ， ，所以点 在 的中垂线上，即点 在线段 上运动， 当点 与点 重合时， ，故 正确； 第12 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ， 为棱 上靠近 的三等分点， ， ， ， ， ， 当点 在点 或点 处时，线段 的长度取得最大值，最大值为 ； 当点 在点 处时，线段 的长度取得最小值，最小值为 ， 线段 的长度的取值范围为 ，故 正确． 故选： ． 第II 卷 三、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，满分16 分. 13. 已知直线 ，圆 ，则圆 关于直线对称的圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心 的对称点 的坐标，由直线为线段 中垂线，求出对称点 的坐标，可得对称圆 的方程 【详解】设圆心 关于直线对称圆心为 ，由直线为线段 中垂线， 第13 页/共29 页 （北京）股份有限公司 可得 ，解得 ， ， 得对称圆心为 ，圆的半径为1， 所以圆 关于直线对称的圆的方程为 . 故答案为： 14. 已知正四棱锥 ，底面边长为4，高为2，则该四棱锥外接球的 体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上，构造直角 ，令 结合勾股定理，即得解 【详解】 由题意得，正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上， 记球心为 ，则 ， 令 则 或 （此时 在 的延长线上）， 在直角 中， ， 第14 页/共29 页 （北京）股份有限公司 解得 ， 所以球的体积为 . 故答案为： 15. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线交 于 两点， 且 ，且 ，则 的标准方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，根据 ， ，得到四边形 是矩形，设 ，由 求解. 【详解】如图所示： 第15 页/共29 页 （北京）股份有限公司 连接 ， 因为 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 又因为 ， 所以平行四边形 是矩形， 设 ， 由题意得 ， 解得 ， 则 ， 故答案为： . 16. 已知过 的直线与圆 交于 两点，（ 点在 轴上方），若 第16 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ，圆的切线 .则直线 与切线的距离是__________. 【答案】 和 【解析】 【分析】设出直线 的方程，联立直线与圆的方程，由 求解直线方程，根据圆心与切线关 系判断直线 与切线距离. 【详解】因为 ，所以点 在圆 内，即 点在弦 上， 因为点 在 轴上，点 在 轴上方，所以点 在 轴下方，则可作出图象如下图所示. 则直线 必不可能与 轴垂直，可设方程为 ， 则 ，整理得 ， 由直线 与圆 相交两个不同的点可得，该方程有两个不相等的实数根， 设 ，由题意知 ，则 ， 因为 ，所以 ，即 ， 则 ，即 ，由 可得 ， 第17 页/共29 页 （北京）股份有限公司 所以 ，整理得 ， 解得 ，根据 可得 ， 则直线 的方程为 ，一般式为 ， 则圆心 到直线 距离为 ， 因为圆心 到与直线 平行的圆的切线距离是半径 ， 所以直线 到与其平行的圆的两条切线距离分别是 和 . 故答案为： 和 四、解答题：本大题共6 小题，满分48 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程. 17. （1）已知直线 的方程为 ，若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求直线 的方程； （2）已知 ，若直线过点 ，且原点到直线的距离为 ，求直线的方程. 【答案】（1）2x-y-3=0 （2）x+y-1=0 或x+7y+5=0 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直关系，求出 的斜率，代入点斜式方程； （2）讨论直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，若斜率存在，根据距离求出斜率. 【详解】（1）由已知得，直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为2. 又直线经过点 ，所以直线 的点斜式方程为： ，即2x-y-3=0. 第18 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （2）当直线斜率不存在时，方程为：x=2.原点到的距离为2，与已知矛盾，舍去； 所以，直线斜率存在，设为k，则直线的点斜式方程为：y+1=k(x-2)， 可化为kx-y-2k-1=0. 又原点到直线的距离为 ，即 ，解得k=-1 或 . 代入直线方程整理可得，直线的方程为x+y-1=0 或x+7y+5=0. 18. 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求角C； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得 ，再由余弦定理可得 ，即可求 解角C； （2）结合（1）可得 ，再由 的面积为 ，可解得 ，进而可得 ，即可求解 的周长. 【小问1 详解】 解：由已知 由正弦定理，得 ， 即 ． 第19 页/共29 页 （北京）股份有限公司 所以 ， 又 ， 所以 ； 【小问2 详解】 解：由（1）知 ． 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 ，即 ． 所以 的周长为 . 19. 如图，四棱锥 中， ， ， ， 平面CDP，E 为PC 中点. （1）证明： 平面PAD； （2）若 平面PAD， ，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 第20 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】（1）取PD 中点F，连接EF，AF，然后可证明四边形ABEF 是平行四边形，得到 即可； （2）首先可得 ，算出 ，然后利用 可算出答案. 【小问1 详解】 取PD 中点F，连接EF，AF 则 且 又∵ 且 ∴ 且 ∴四边形ABEF 是平行四边形∴ ∵ 平面PAD, 平面PAD ∴ 平面PAD 【小问2 详解】 ∵ 平面PAD, 平面 ，∴ 又∵ ， ， ∴ 因为 平面CDP， 第21 页/共29 页 （北京）股份有限公司 所以 20. 已知圆 的圆心 在直线 上，且与直线 相切于点 . （1）求圆 的方程； （2）若过点 的直线被圆 截得的弦 长为 ，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）求得过点 与直线 垂直的直线方程，联立此直线方程与直线 可求得圆心，从而可得出答案； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据弦长即可得出答案. 【小问1 详解】 解：过点 与直线 垂直的直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 由 ，解得圆心 . 所以半径 . 故圆 的方程为： ； 【小问2 详解】 解：①若斜率存在，设过点 的直线斜率为 ， 第22 页/共29 页 （北京）股份有限公司 则直线方程为： ， 即 ， 圆心 到直线的距离 ， 又 ， ，整理得 ， 解得 ，此时直线的方程为 ； ②若斜率不存在，直线方程为 ，弦心距为 ，半径 ， 弦长为 ，符合题意， 综上，直线的方程为 或 . 21. 如图甲，在矩形 中， 为线段 的中点， 沿直线 折起，使得 ，如图乙. （1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的 角为 ？若不存在，说明理由； 第23 页/共29 页 （北京）股份有限公司 若存在，求出 点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点 是线段 的中点 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到 ， ，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由 ，面面垂直的性质得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设出 的坐标 ，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值， 确定 点位置. 【小问1 详解】 证明：连接 ，取线段 的中点 ，连接 ， 在Rt 中， ， ， 在 中， ， 由余弦定理可得： ， 在 中， ， 第24 页/共29 页 （北京）股份有限公司 又 平面 ， 平面 ， 又 平面 ∴平面 平面 ， 在 中， ， ∵平面 平面 平面 ， 平面 . 【小问2 详解】 过 作 的平行线，以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， ， 平面 的法向量 ， 在平面直角坐标系 中，直线 的方程为 ， 第25 页/共29 页 （北京）股份有限公司 设 的坐标为 ， 则 ， 设平面 的法向量为 ， ， 所以 ， 令 ，则 ， 由已知 ， 解之得： 或9（舍去）， 所以点 是线段 的中点. 22. 已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，设点 ，在 中， ，周长为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设不经过点 的直线与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为 ，求证：直 线过定点，并求出该定点的坐标； （3）记第（2）问所求的定点为 ，点 为椭圆 上的一个动点，试根据 面积 的不同取值范围， 第26 页/共29 页 （北京）股份有限公司 讨论 存在的个数，并说明理由. 【答案】（1） ；（2）过定点 ；（3）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：(1)由题意布列关于 的方程组，从而得到椭圆方程；(2) 设直线方程： ，联立方程可得： ，利用根与系数的关系及 ，得到 过定点 . （3 ）设直线 与椭圆 相切， ，两切线到 的距离分别为 ，根据 面积 的不同取值范围，讨论 存在的个数. 试题解析： （1）由 得： ，所以 ………① 又 周长为 ，所以 ………② 解①②方程组，得 所以椭圆方程为 （2）设直线方程： ，交点 第27 页/共29 页 （北京）股份有限公司 依题： 即： 过定点 . （3） ， 设直线 与椭圆 相切， 得两切线到 的距离分别为 当 时， 个数为0 个 当 时， 个数为1 个 当 时， 个数为2 个 当 时， 个数为3 个 第28 页/共29 页 （北京）股份有限公司 当 时， 个数为4 个 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求 定点、定值之前已知