模型26 圆幂定理（原卷版）(1)

1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 如图所示，直线PT 切圆于点，B、为圆的弦，则有∠P＝∠PB（∠P 为弦切角）． 2、相交弦定理 【结论1】如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 ①P·BP＝P·DP, ②P·BP＝P·DP＝r2－P2 3、切割线定理 【结论2】如图 ，PB 是⊙的一条割线，P 是⊙的一条切线，切点为， 半径为r,则①P2＝PB·P，②P2＝PB·P＝P2－r2 4、割线定理 【结论3】如图 ，PB、PD 是⊙的两条割线，半径为r,则 ①P·PB＝P·PD ②P·PB＝P·PD＝P2－r2 口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等 考点一：相交弦定理 【例1】．已知：如图弦B 经过⊙的半径的中点P，且P＝2，PB＝3，则是⊙的半径等于（ ） ． B． ． D． 变式训练 【变式1-1】．如图，⊙的弦B、D 相交于点E，若E：BE＝2：3，则E：DE＝ ． 【变式1-2】．如图，在⊙的内接四边形BD 中，⊥BD，＝B，过点作的垂线交D 的延长线 于点E，连结BE．若s∠B＝ ，则 的值为 ． 考点二：弦切角定理 例题精讲 【例2】．如图，割线PB 过圆心，PD 切⊙于D，是 上一点，∠PD＝20°，则∠的度数是 度． 变式训练 【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙相切于点，另一边交⊙于B、两点，⊙ 的半径为 ，＝ ，则B 的长度为（ ） ． B．6 ． D．5 【变式2-2】．如图，BP 是⊙的切线，弦D 与过切点的直径B 交于点E，D 的延长线和切 线交于点P，连接D，B．若DE＝D＝ ，B＝2，则线段P 的长为 ． 考点三：切割线定理 【例3】．如图，直线P 过半圆的圆心，交半圆于，B 两点，P 切半圆与点，已知P＝3， PB＝1，则该半圆的半径为 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，为B 上一点，以为圆心，为半径作圆与B 相切于 点D，分别交、B 于E、F，若D＝2E＝4，则⊙的直径为（ ） ．10 B． ．5 D．12 【变式3-2】．如图，在四边形BD 中，以B 为直径的半圆经过点，D．与BD 相交于点 E，D2＝E•，分别延长B，D 相交于点P，PB＝B，D＝2 ．则B 的长是 ． 【变式3-3】．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，BE 平分∠B 交于点E，点D 在B 上， DE⊥EB． （1）求证：是△BDE 的外接圆的切线； （2）若 ，求BD 的长． 考点四：割线定理 【例4】．如图，过点P 作⊙的两条割线分别交⊙于点、B 和点、D，已知P＝3，B＝P＝ 2，则PD 的长是（ ） ．3 B．75 ．5 D．55 变式训练 【变式4-1】．如图，P 是圆外的一点，点B、D 在圆上，PB、PD 分别交圆于点、，如果 P＝4，B＝2，P＝D，那么PD＝ ． 【变式4-2】．已知直角梯形BD 的四条边长分别为B＝2，B＝D＝10，D＝6，过B、D 两 点作圆，与B 的延长线交于点E，与B 的延长线交于点F，则BE﹣BF 的值为 ． 1．如图，四边形BD 内接于⊙，B 为⊙的直径，M 切⊙于点，∠BM＝60°，则∠B 的正切值是 （ ） ． B． ． D． 2．如图，从圆外一点P 引圆的切线P，点为切点，割线PDB 交⊙于点D、B．已知P＝ 12，PD＝8，则S△BP：S△DP＝ ． 3．如图，在△B 中，B＝，∠＝72°，⊙过B 两点且与B 切于B，与交于D，连接BD，若B＝ ﹣1，则＝ ． 4．如图，⊙的直径B＝8，将弧B 沿弦B 折叠后与∠B 的角平分线相切，则△B 的面积为 ． 5．如图，⊙是△B 的外接圆，∠B＝45°，D⊥B 于点D，延长D 交⊙于点E，若BD＝4，D＝ 1，则DE 的长是 ． 6．如图，已知＝B，D＝5，DB＝4，∠＝2∠E．则D•DE＝ ． 7．如图：BE 切⊙于点B，E 交⊙于，D 两点，且交直径于B 于点P，⊥D 于，＝5，连接 B、D，且B＝BE，∠＝40°，劣弧BD 的长是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，⊙经过点（4，3），点B 与点在y 轴上，点B 与原点重合， 且B＝，与⊙交于点D，延长与⊙交于点E，连接E、DE 与x 轴分别交于点G、F，则 t∠DF＝ ，t∠＝ ． 9．如图，在△B 中，B＝，⊙是△B 的外接圆，D 是⊙的切线，为切点，且D＝B，连接D， 与⊙交于点E． （1）求证D＝B； （2）若E＝5，B＝6，求⊙的半径． 10．如图，△B 是⊙的内接三角形，D 是⊙的直径，B⊥D 于点E，过点作⊙的切线交D 的延 长线于点F，连接FB． （1）求证：FB 是⊙的切线． （2）若＝4 ，t∠D＝ ，求⊙的半径． 11．如图，正方形BD 内接于⊙，点E 为B 的中点，连接E 交BD 于点F，延长E 交⊙于点 G，连接BG． （1）求证：FB2＝FE•FG； （2）若B＝6，求FB 和EG 的长． 12．如图，⊙的割线PB 交⊙于、B，PE 切⊙于E，∠PE 的平分线和E、BE 分别交于、D， PE＝4 ，PB＝4，∠EB＝60°． （1）求证：△PDE∽△P； （2）试求以P、PB 的长为根的一元二次方程； （3）求⊙的面积．（答保留π） 13．如图，圆上有，B，三点，是直径，点D 是 的中点，连接D 交B 于点E，点F 在B 延长线上，且F＝FE． （1）求证：F 是圆的切线； （2）若 ，BE＝2，求圆的半径和DE•E 的值． 14．如图，B 为⊙的直径，点P 在B 的延长线上，点在⊙上，且P2＝PB•P． （1）求证：P 是⊙的切线； （2）已知P＝20，PB＝10，点D 是 的中点，DE⊥，垂足为E，DE 交B 于点F，求 EF 的长． 15．已知：如图，PF 是⊙的切线，PE＝PF，是⊙上一点，直线E、P 分别交⊙于B、D，直 线DE 交⊙于，连接B， （1）求证：PE∥B； （2）将PE 绕点P 顺时针旋转，使点E 移到圆内，并在⊙上另选一点，如图2．其他条 件不变，在图2 中画出完整的图形．此时PE 与B 是否仍然平行？证明你的结论． 16．已知△B 是⊙的内接三角形，∠B 的平分线与⊙相交于点D，连接DB． （1）如图①，设∠B 的平分线与D 相交于点，求证：BD＝D； （2）如图②，过点D 作直线DE∥B，求证：DE 是⊙的切线； （3）如图③，设弦BD，延长后交⊙外一点F，过F 作D 的平行线交B 的延长线于点 G，过G 作⊙的切线G（切点为），求证：FG＝G． 17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内 （顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1 中，∠E，∠BED 就是圆内角，所对的分别 是 、 ，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步 解决问题： 解：连接B，，，B，D． 如图2，在△BE 中，∠E＝∠EB+∠EB ∵∠EB＝ ∠，∠EB＝ ∠BD ∴∠E＝ ∠+ ∠BD＝ （∠+∠BD） 即：∠E 的度数＝ （ 的度数+ 的度数） （1）如图1，在⊙中，弦B、D 相交于点E，若弧 的度数是65°，弧 的度数是 40°，则∠ED 的度数是 ． 【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角． （2）如图3，在⊙中，弦B，D 的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E 的度数与它所夹 的两段弧 、 的度数之间的关系． 【灵活运用】 （3）如图4，平面直角坐标系内，点（ ，1）在⊙上，⊙与y 轴正半轴交于点B，点， 点D 是线段B 上的两个动点，满足＝D．，D 的延长线分别交⊙于点E、F．延长FE 交 y 轴于点G，试探究∠FG 的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明 理由．