专题52 一次函数背景下的将军饮马问题（解析版）

方法点拨 一、求线段之和的最小值 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： m A B P m A B （2）点、B 在直线同侧： m A B P m A B A' 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： 模型介绍 n m A B m B A P' P （2）一个点在内侧，一个点在外侧： n m A B Q P n m A B B' （3）两个点都在内侧： n m A B Q P n m A B B' A' （4）、台球两次碰壁模型 m n A B E D m n A B A' B' 变式一：已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点，使得围成的 四边形DEB 周长最短 变式二：已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、分别上求点P、Q 点P+PQ+Q 周长最短 m n A P Q m n A A" A' 【例1】．矩形B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是的 中点，点E 在B 上，当△DE 的周长最小时，点E 的坐标为 （ 3 ， ） ． 解：如图，作点D 关于直线B 的对称点，连接与B 的交点为E，此时△DE 的周长最小． ∵D（ ，0），（3，0）， ∴（ ，0）， ∴直线解析式为y＝﹣ x+4， ∴x＝3 时，y＝ ， ∴点E 坐标（3， ）， 故答为：（3， ）． 例题精讲 变式训练 【变1-1】．已知菱形B 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点（5，0），B＝4 ，点 P 是对角线B 上的一个动点，D（0，1），当P+DP 最短时，点P 的坐标为（ ） ．（1， ） B．（ ， ） ．（ ， ） D．（ ， ） 解：如图，连接交B 于K，作K⊥于． ∵四边形BD 是菱形， ∴⊥B，、关于对角线B 对称， ∴P＝P， ∴P+PD＝P+PD， ∴当D、P、共线时，P+PD 的值最小， 在Rt△K 中，∵K＝2 ，＝5， ∴K＝ ＝ ， ∵K⊥， ∴K＝ ＝2，＝ ＝4， ∴K（4，2）， ∴直线K 的解析式为y＝ x， 直线D 的解析式为y＝﹣ x+1， 由 ，解得 ， ∴B 与D 的交点P′（ ， ）， ∴当点P 与P′重合时，P+DP 最短时，点P 的坐标为（ ， ），、 故选：D． 【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点B 在原点，点、在坐标轴上， 点D 的坐标为（6，4），E 为D 的中点，点P、Q 为B 边上两个动点，且PQ＝2，要使 四边形PQE 的周长最小，则点P 的坐标应为 （ ， 0 ） ． 解：点向右平移2 个单位到M，点E 关于B 的对称点F，连接MF，交B 于Q， 此时MQ+EQ 最小， ∵PQ＝2，DE＝E＝2，E＝ ， ∴要使四边形PQE 的周长最小，只要P+EQ 最小就行， 即P+EQ＝MQ+EQ，过M 作M⊥B 于， 设Q＝x，则Q＝6 2 ﹣﹣x＝4﹣x， ∵△MQ∽△FQ， ∴ ∵M＝B＝4，F＝E＝2，Q＝x，Q＝4﹣x， ∴ ， 解得：x＝ ， ∴BP＝6 2 ﹣﹣ ＝ ， 故点P 的坐标为：（ ，0）． 故答为：（ ，0）． 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（1，3），点B 坐标为（4，1），点在x 轴上，点D 在y 轴上，则以、B、、D 为顶点的四边形的周长的最小值是 + ． 解：如图，作点关于y 轴的对称点′，点B 关于x 轴的对称点B′，连接′B′交x 轴于，交y 轴于D，连接D，D，B，B，四边形BD 的周长最小． 由作图可知：D＝D′，B＝B′，′（﹣1，3），B′（4，﹣1） ∴四边形BD 的周长＝B+B+D+D ＝B+B′+D+D′ ＝B+′B′ ＝ + ＝ + ， 故答为 + ． 变式训练 【变2-1】．如图所示，已知点（1，0），直线y＝﹣x+7 与两坐标轴分别交于，B 两点， D，E 分别是线段B，上的动点，则△DE 的周长的最小值是（ ） ．4 B．10 ．4 D．12 解：作点关于y 轴的对称点'，作点关于y＝﹣x+7 的对称点''，连接'''，则△DE 的周长的 最小值为'''的长； ∵（1，0）， ' ∴（﹣1，0）， 设''（m，），则有 ＝﹣ +7， ＝1， ∴m＝7，＝6， '' ∴（7，6）， ''' ∴＝10； 故选：B． 【变2-2】．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象 交于点，过点作x 轴的垂线，垂足为M，已知△M 的面积为1．如果B 为反比例函数在第 一象限图象上的点（点B 与点不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P （ ， 0 ） ，使P+PB 最小． 解：设点的坐标为（，b），则 ， ∴b＝k， ∵ ， ∴ ∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为 ． 根据题意画出图形，如图所示： 联立得 ， 解得 ， ∴为（2，1）， 设点关于x 轴的对称点为，则点的坐标为（2，﹣1）． 令直线B 的解析式为y＝mx+ ∵B 为（1，2）， 将B 和的坐标代入得： ， 解得： ∴B 的解析式为y＝﹣3x+5， 当y＝0 时， ， ∴P 点为（ ，0）． 故答为：（ ，0）． 1．如图，一次函数y＝x+4 的图象与x 轴，y 轴分别交于点，B，点（﹣2，0）是x 轴上一 点，点E，F 分别为直线y＝x+4 和y 轴上的两个动点，当△EF 周长最小时，点E，F 的 坐标分别为（ ） ．E（﹣ ， ），F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2） ．E（﹣ ， ），F（0， ） D．E（﹣2，2），F（0， ） 解：作（﹣2，0）关于y 轴的对称点G（2，0），作（2，0）关于直线y＝x+4 的对称点 D，连接D，连接DG 交B 于E，交y 轴于F，如图： ∴DE＝E，F＝GF， ∴E+F+EF＝DE+GF+EF＝DG，此时△EF 周长最小， 由y＝x+4 得（﹣4，0），B（0，4）， ∴＝B，△B 是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵、D 关于B 对称， ∴∠DB＝∠B＝45°， ∴∠D＝90°， ∵（﹣2，0）， ∴＝﹣＝2＝D， ∴D（﹣4，2）， 由D（﹣4，2），G（2，0）可得直线DG 解析式为y＝﹣ x+ ， 在y＝﹣ x+ 中，令x＝0 得y＝ ， ∴F（0， ）， 由 得 ， ∴E（﹣ ， ）， ∴E 的坐标为（﹣ ， ），F 的坐标为（0， ）， 故选：． 2．如图所示，直线y＝x+4 与两坐标轴分别交于，B 两点，点是B 的中点，D，E 分别是直 线B 和y 轴上的动点，则△DE 周长的最小值是 2 ． 解：如图，作点关于B 的对称点F，关于的对称点G，连接DF，EG， ∵直线y＝x+4 与两坐标轴分别交于、B 两点，点是B 的中点， ∴（0，4），B（﹣4，0），（﹣2，0）， ∴B＝4，G＝2，BG＝6，＝B， ∴∠B＝45°， ∴△BF 是等腰直角三角形， ∴BF＝B＝2， 由轴对称的性质，可得DF＝D，E＝EG， 当点F，D，E，G 在同一直线上时，△DE 的周长＝D+DE+E＝DF+DE+EG＝FG， 此时△DE 周长最小， Rt ∵ △BFG 中，FG＝ ＝2 ， ∴△DE 周长的最小值是2 ． 故答为：2 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点 B，点P 在线段B 上，P⊥x 轴于点，则△P 周长的最小值为 3+3 ． 解：设点P（m，m+3 ），则P＝m+3 ，＝﹣m， △P 周长＝P++P＝P+m+3 ﹣m＝3 +P， 即△P 周长取得最小值时，只需要P 最小即可， 故点作D⊥P，当点D、P 重合时，P（D）最小， △B 为等腰直角三角形，则BD 也为等腰三角形， 设：D＝，则D＝BD＝， 由勾股定理得：22＝（3 ）2，解得：＝3＝D＝P， 故△P 周长的最小值＝3 +P＝3+3 ， 故答为：3+3 ． 4．如图所示，已知点（1，0），直线y＝﹣x+7 与两坐标轴分别交于，B 两点，D，E 分别 是B，上的动点，则△DE 周长的最小值是 10 ． 解：如图，点关于的对称点′（﹣1，0），点关于直线B 的对称点″， ∵直线B 的解析式为y＝﹣x+7， ∴直线″的解析式为y＝x 1 ﹣， 由 解得 ， ∴直线B 与直线″的交点坐标为K（4，3）， ∵K 是″中点， ∴可得″（7，6）． 连接′″与交于点E，与B 交于点D，此时△DE 周长最小， △DE 的周长＝DE+E+D＝E′+ED+D″＝′″＝ ＝10． 故答为10． 5．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，（4，4），点在边B 上，且 ＝ ，点D 为B 的中点， 点P 为边上的动点，当点P 在上移动时，使四边形PDB 周长最小的点P 的坐标为 P （ ， ） ． 解：∵在Rt△B 中，∠B＝90°，（4，4）， ∴B＝B＝4，∠B＝45°， ∵ ＝ ，点D 为B 的中点， ∴B＝3，D＝BD＝2， ∴D（2，0），（4，3）， 作D 关于直线的对称点E，连接E 交于P， 则此时，四边形PDB 周长最小，E（0，2）， ∵直线 的解析式为y＝x， 设直线E 的解析式为y＝kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴直线E 的解析式为y＝ x+2， 解 得， ， ∴P（ ， ）， 故答为：（ ， ）． 6．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ x+8 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，点为B 的中点， 点D 在第二象限，且四边形D 为矩形．动点P 为D 上一点，P⊥，垂足为，点Q 是点B 关于点的对称点，当BP+P+Q 值最小时，点P 的坐标为 （﹣ 4 ， 4 ） ． 解：BP+P+Q 有最小值， 理由是：∵直线y＝ x+8 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，点为B 的中点， ∴B＝8，＝6，＝4， 连接PB，，Q，则四边形PB 是平行四边形，如图， ∵四边形PB 是平行四边形， ∴PB＝， ∴BP+P+Q＝+Q+4， ∵BP+P+Q 有最小值，即+Q+4 有最小值， ∴只需+Q 最小即可， ∵两点之间线段最短， ∴当点，，Q 在同一直线上时，+Q 的值最小， 过点Q 作QM⊥y 轴，垂足为M， ∵点Q 是点B 关于点的对称点， ∴是△BQM 的中位线， ∴QM＝2＝12，M＝B＝8， ∴Q（﹣12，﹣8）， 设直线Q 的关系式为：y＝kx+b， 将（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得： ， 解得： ， ∴直线Q 的关系式为：y＝x+4， 令y＝0 得：x＝﹣4， ∴（﹣4，0）， ∵P∥y 轴， ∴P（﹣4，4）， 故答为：（﹣4，4）． 7．如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形格中，点，B，在小正方形的顶 点上． （1）在图中画出与△B 关于直线l 成轴对称的△'B''； （2）在直线l 上找一点P，使P+PB 的长最短． 解：（1）如图, ′ △B′′即为所求． （2）如图，点P 即为所求． 8．如图，已知△B 三个顶点坐标分别为（0，4），B（﹣2，﹣2），（3，0），点P 在线段 上移动．当点P 坐标为（1，m）时，请在y 轴上找点Q，使△PQ 周长最小． 解：∵（0，4），（3，0）， 设直线的解析式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为y＝﹣ x+4； ∵点P 在线段上移动，点P 坐标为（1，m）， ∴m＝﹣ ×1+4＝ ， ∴P（1， ）， 作P 点关于y 轴的对称点P′，连接P′交y 轴于Q，此时PQ+Q＝P′，根据两点之间线段 最短，Q 就是使△PQ 周长最小的点； 则P′（﹣1， ）， 设直线P′的解析式为y＝mx+， ∴ ，解得 ， ∴直线P′的解析式为y＝﹣ x+2， ∴Q 点的坐标为（0，2）． 9．如图，直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x 轴交于点D，直线l2经过点、B，直 线l1、l2交于点． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）在x 轴上求作一点M，使BM+M 的和最小，直接写出M 的坐标． 解：（1）∵直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x 轴交于点D， 当y＝0 时，x＝1， ∴D（1，0）． （2）设直线l2的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y＝ x﹣ ． （3）如图，由 ，解得 ， ∴（ ，﹣ ）， 作点关于x 轴的对称点′（ ， ）， ∴直线B′的解析式为y＝﹣ x+ ， ∴M（ ，0）． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10 与x 轴交于点B，与y 轴交于点，与直 线y＝ x 交于点，点M 是y 轴上的一个动点，设M（0，m）． （1）若M+MB 的值最小，求m 的值； （2）若直线M 将△分割成两个等腰三角形，请求出m 的值，并说明理由． 解：（1）直线y＝﹣2x+10 与x 轴交于点B，与y 轴交于点， ∴B（5，0），（0，10）， 解 得 ， ∴（4，2）， ∴点关于y 轴的对称点′（﹣4，2）， 如图1，连接′B，交y 轴的交点为M， 此时M＝M′，M+MB＝M′+MB＝′B，M+MB 的值最小， 设直线′B 的解析式为y＝kx+b， 把′（﹣4，2），B（5，0）代入得 ， 解得k＝﹣ ，b＝ ， ∴直线′B 的解析式为y＝﹣ x+ ， 把M（0，m）代入得，m＝ ； （2）如图2，∵（4，2），B（5，0），（0，10）， ∴2＝42+22＝20，2＝（4 0 ﹣）2+（2 10 ﹣ ）2＝80，2＝102＝100， ∴2+2＝2， ∴△是以为斜边的直角三角形， 若M 点是的中点，则M＝ ，此时直线M 将△分割成两个等腰三角形， ∴M（0，5）， ∴m＝5． 11．如图，在直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点是y 轴上的一 个动点，且、B、三点不在同一条直线上． （1）求B 的长； （2）求△B 的周长的最小值； （3）若D（3，4），连接D、D，是否存在点，使得△D 的面积与6？若存在，求出点， 若不存在，说明理由． 解：（1）作D⊥B 于D，如图1 所示： 则∠DB＝90°，D＝1，D＝4，B＝3， ∴BD＝3 1 ﹣＝2， ∴B＝ ＝2 ． （2）如图2 中， 要使△B 的周长最小，B 一定， 则+B 最小， 作关于y 轴的对称点′，连接B′交y 轴于点， 点即为使+B 最小的点， 作′E⊥x 轴于E． 由对称的性质得：＝′， 则+B＝′B，′E＝4，E＝1， ∴BE＝4， 由勾股定理得：′B＝ ＝4 ， ∴△B 的周长的最小值为2 +4 ． （3）存在．如图3 中，设（m，0）． 由题意： ×2×|m 4| ﹣＝6， 解得m＝10 或﹣2， ∴满足条件的点的坐标为（0，10）或（0，﹣2）． 12．如图，一次函数 的图象分别与x 轴、y 轴交于、B，以线段B 为边在第一象 限内作等腰Rt△B，使∠B＝90°． （1）分别求点、的坐标； （2）在x 轴上求一点P，使它到B、两点的距离之和最小． 解：（1）作D⊥x 轴， ∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠B＝∠D， 在△B 和△D 中， ， ∴△B≌△D（S） ∴D＝B，D＝， ∵y＝﹣ x+2 与x 轴、y 轴交于点、B， ∴（3，0），B（0，2）， ∴点坐标为（5，3）； （2）作点关于x 轴对称点E，连接BE， 则E 点坐标为（5，﹣3），将（0，2）（5，﹣3），代入y＝x+中， ， 解得： ∴直线BE 解析式为y＝﹣x+2， 设点P 坐标为（x，0）， 则（x，0）位于直线BE 上， ∴点P 坐标为（2，0）． 13．如图，一次函数y＝kx+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（4，0），B（0，2）． （1）求该一次函数的表达式． （2）为坐标原点，D 为B 的中点，＝1，点P 为y 轴上的动点，求P+PD 的最小值，并 求出此时点P 的坐标（用两种不同的方法求解）． 解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b， 将（4，0）B（0，2）代入得 ， 解得： ， 所以一次函数表达式为y＝﹣ x+2； （2）法1：过点D 作DE⊥，交于点E， ∵（4，0），B（0，2）， ∴＝4，B＝2， 又∵D 为B 中点，DE∥B， ∴DE 为△B 的中位线， ∴DE＝ B＝1，E＝ ＝2， ∴D（2，1）， 作点D 关于y 轴的对称点D′，连接D′交y 轴于点P′，即为所求， ∴D′（﹣2，1）， ∵∠D′＝∠P′，∠D′P′＝∠P′， ∴△D′P′∽△P′， ∴ ＝ ＝2， ∴P′＝ ， ∴P′坐标为（0， ），最小值为 ＝ ； 法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得， 设直线D′的表达式为y＝mx+， 把D′（﹣2，1），（1，0）代入得： ， 解得： ， ∴y＝﹣ x+ ， 当x＝0 时，y＝ ， 则P′（0， ），最小值为 ＝ ． 14．已知一次函数y＝kx+b 的图象经过点（﹣1，﹣1）和点B（1，﹣3）．求： （1）求一次函数的表达式； （2）求直线B 与坐标轴围成的三角形的面积； （3）请在x 轴上找到一点P，使得P+PB 最小，并求出P 的坐标． 解：（1）设y 与x 的函数关系式为y＝kx+b， 把（﹣1，﹣1）B（1，﹣3）代入得：﹣k+b＝﹣1，k+b＝﹣3， 解得：k＝﹣1，b＝﹣2， ∴一次函数表达式为：y＝﹣x 2 ﹣； （2）设直线与x 轴交于，与y 轴交于D， 把y＝0 代入y＝﹣x 2 ﹣， 解得x＝﹣2， ∴＝2， 把x＝0 代入y＝﹣x 2 ﹣， 解得：y＝﹣2， ∴D＝2， ∴S△D＝ ××D＝ ×2×2＝2； （3）作与1关于x 轴对称，连接1B 交x 轴于P，则P 即为所求， 由对称知：1（﹣1，1）， 设直线1B 解析式为y＝x+，得﹣+＝1，+＝﹣3， 解得：＝﹣2，＝﹣1， ∴y＝﹣2x 1 ﹣， 令y＝0 得﹣2x 1 ﹣＝0， 解得：x＝﹣ ， ∴P（﹣ ，0）． 15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形B 的顶点在x 轴上，B＝，∠B＝90°，且 （2