第33讲 统计（讲义）（解析版）

第33 讲 统计 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 数据的收集、整理与描述 题型01 调查收集数据的过程与方法 题型02 判断全面调查与抽样调查 题型03 总体、个体、样本、样本容量 题型04 抽样调查的可靠性 题型05 用样本估计总体 题型06 统计表 类型一 条形统计图 类型二 扇形统计图 类型三 折线统计图 类型四 频数分布直方图 类型五 频数分布折线图 题型07 频数与频率 题型08 借助调查结果做决策 考点二 数据分析 题型01 与算术平均数有关的计算 题型02 与加权平均数有关的计算 题型03 与中位数有关的计算 题型04 与众数有关的计算 题型05 与方差有关的计算 题型06 与极差有关的计算 题型07 与标准差有关的计算 题型08 根据已知数据，判断统计量是否正确 题型09 利用合适的统计量做决策 题型10 根据方差判断稳定性 考点要 求 新课标要求 命题预测 数据的 收集、 整理与 描述  体会抽样的必要性，通过实例认识简单随机抽样  进一步经历收集、整理、描述、分析数据的活动，了解数据处 理的过程;能用计算器处理较为复杂的数据  会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据  理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数加权 平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述  通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图能利 用频数直方图解释数据中蕴含的信息  体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均 数，用样本方差估计总体方差  能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测， 并能进行交流 统计是中考数学中的必拿分考 点，虽然这个考点中所含概念较多， 像中位数、众数、平均数、方差等概 念，以及条形统计图、折线统计图、 扇形统计图等，都需要理解其定义与 意义，年年都会考查，但是这个考点 整体的难度并不大，计算方式也比较 固定，是广大考生的得分点，分值为 10 分左右，预计2024 年各地中考还 将出现．所以，只要记住各个统计 量，各个图表的定义与计算方法，都 能很好的拿到这个考点所占的分值 数据分 析 考点一 数据的收集、整理与描述 1 全面调查与抽样调查 概念 优缺点 全面调查 （普查） 为特定的目的对全部考察对象 进行的调查，叫做全面调查 优点：收集到的数据全面、准确 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长 抽样调查 抽取一部分对象进行调查，根 据调查样本数据推断全体对象 的情况叫抽样调查 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计 的准确程度 【使用抽象调查时的注意事项】抽样时注意样本的代表性和广泛性． 【小技巧】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查， 对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．所以要根据调查目的、调查对象等因素，合理 选择调查方法，不能凭主观臆想随意选择． 2 总体、个体、样本及样本容量 分类 概念 注意事项 总体 所要调查对象的全体对象叫做总体 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这 个班学生身高的全体，不能错误地理解为学 生的全体为总体 个体 总体中的每一个考察对象叫做个体 总体包括所有的个体 样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许 多样本，样本能够在一定程度上反映总体 样本容 量 样本中个体的数目称为样本容量（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估 计越精确 3 几种常见的统计图 统计 图 图形 优点 缺点 常见结论 条形 统计 图 1）能清楚地表示出每 个项目中的具体数目 2）易于比较数目之间 的差别 对于条形统计图，人们习惯 于由条形柱的高度看相应的 数据，即条形柱的高度与相 应的数据成正比，若条形柱 的高度与数据不成正比，就 容易给人造成错觉 各组数量之和=总 数 扇形 统计 图 能清楚地表示出各部分 在总体中所占的百分比 在两个扇形统计图中，若一 个统计图中的某一个量所占 的百分比比另一个统计图中 的某个量所占的百分比多， 这样容易造成第一个统计量 比第二个统计量大的错误理 解 各部分百分比之和 =100%； 各部分圆心角的度 数=相应百分比 ×360° 折线 统计 图 能清楚的反映各数据的 变化趋势 在折线图中，若横坐标被 “压缩”，纵坐标被“放 大”，此时的折线统计图中 的统计量变化量变化明显， 反之，统计量变化缓慢 各种数量之和=样 本容量 频数 分布 直方 图 直观显示各组频数的分 布情况，易于显示各组 之间频数的差别 各组数量之和=样 本容量; 各组频率之和=1; 数据总数×相应的 频率=相应的频数 步骤： ①计算数据的最大值 与最小值的差 ②选取组距，确定组 数 ③确定各组的分点 ④列频数分布表 ⑤画出频数直方图 题型01 调查收集数据的过程与方法 【例1】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间， 请你运用数学的统计知识将统计的主要步骤进行排序： ①得出结论，提出建议； ②分析数据； ③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间； ④利用统计图表将收集的数据整理和表示． 合理的排序是（ ） ．③②④① B．③④②① ．③④①② D．②③④① 【答】B 【分析】直接根据调查收集数据的过程与方法分析排序即可． 【详解】解：统计的主要步骤依次为： 从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间； 利用统计图表将收集的数据整理和表示； 分析数据； 得出结论，提出建议， 1 条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的个 数（频数）之比 2 扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数 值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少 3 在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同 一单位长度所表示的意义应该一致 4 画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一个 组；不漏，即不能漏掉某一个数据 故选：B． 【点睛】本题主要考查调查收集数据的过程与方法，熟练掌握调查的过程是解答此题的关键． 【变式1-1】（2023·四川南充·统考一模）垃圾分类利国利民，某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种 颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50 名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤： ①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率 ②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表 ③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比 正确统计步骤的顺序应该是( ) ．②→③→① B．②→①→③ ．③→①→② D．③→②→① 【答】 【分析】根据统计数据收集处理的步骤即可得出结果． 【详解】解：按照统计步骤，先②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表，然后③绘制扇形统计 图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，最后得出①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水 瓶投放的正确率， ∴正确的步骤为：②→③→①， 故选：． 【点睛】题目主要考查统计数据收集处理的步骤，理解题意是解题关键． 【变式1-2】（2023·云南昆明·云大附中校考三模）每年的6 月6 日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解 本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动， (1)有以下三种调查方： 方一：从七年级抽取140 名学生，进行视力状况调查； 方二：从七年级、八年级中各随机抽取140 名生，进行视力状况调查； 方三：从全校1600 名学生中随机抽取600 名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方是________；（填“方一”、“方二”或“方三”） 二、收集整理数据 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为，B，，D 四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进 行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类 别 A B D 视 力 视力 ≥5.0 49 4．6≤视力 ≤48 视力≤45 健 康状况 视力 正常 轻度视力 不良 中度视力 不良 重度视力 不良 人 数 160 m 56 三、分析数据，解答问题： (2)表中m=¿______，n=¿_______，调查视力数据的中位数所在类别为_____类； (3)该校共有学生1600 人，请估计该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的一共有多少人? 【答】(1)方三 (2)64，120，B (3)704 人 【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方三符合题意； （2）根据类求出总人数，再根据B 类的占比求出m，再结合总人数求出n，根据中位数的定义解答即可； （3）利用样本估计总体即可； 【详解】（1）解：根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方三：从全校1600 名学生中随机抽取 600 名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的． 故答为：方三； （2）由题意可得，调查的总人数为：160÷ 40%=400（人）， 由题意可知，m=400×16%=64（人）， n=400−160−64−56=120， 第200 位和第201 位均为B 类，则调查视力数据的中位数所在类别为B 类； 故答为：64；120；B； （3）1600× 56+120 400 =704（人）， 所以该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704 人． 【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计 表中找出相应的数据． 题型02 判断全面调查与抽样调查 【例2】（2023·浙江嘉兴·统考一模）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） ．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B．检测一批LED 灯的使用寿命 ．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量 D．检测一批家用汽车的抗撞击能力 【答】 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故符合题意； B、检测一批LED 灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B 不符合题意； 、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故不符合题意； D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D 不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 【变式2-1】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） ．调查某班学生的身高情况 B．调查亚运会100m 游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 ．调查某批汽车的抗撞击能力 D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量 【答】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果 比较近似解答． 【详解】解：．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； B．调查亚运会100m 游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； ．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意； D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征 灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查， 对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【变式2-2】（2022·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）下列说法中正确的是（ ） ．对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式 B．为调查某品牌方便面的色素含量是否符合国家标准，采用普查的方式 ．为了解全市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 D．了解小米手机的使用寿命，采用抽样调查的方式 【答】D 【分析】根据抽样调查和全面调查的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答． 【详解】对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用全面调查的方式，故选项不正确； 为调查某品牌方便面的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式，故选项B 不正确； 为了解全市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，故选项不正确； 了解小米手机的使用寿命，采用抽样调查的方式，故选项D 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握抽样调查和全面调查的性质，从而完成求解． 题型03 总体、个体、样本、样本容量 【例3】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）某校有4000 名学生，随机抽取了400 名学生进行体重调查，下 列说法错误的是（ ） ．总体是该校4000 名学生的体重 B．个体是每一个学生 ．样本是抽取的400 名学生的体重 D．样本容量是400 【答】B 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的知识解答．总体是指所要考查对象的全体；个体是指每一个 考查对象；样本是指从总体中抽取的部分考查对象称为样本；样本容量是指样本所含个体的个数(不含单 位)． 【详解】解：、总体是该校4000 名学生的体重，此选项正确，不符合题意； B、个体是每一个学生的体重，此选项错误，符合题意； 、样本是抽取的400 名学生的体重，此选项正确，不符合题意； D、样本容量是400，此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样 本，关键是明确考查的对象．总体、个体和样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量 是样本中包含的个体的数量，不能带单位． 【变式3-1】（2023·江苏无锡·统考二模）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000 名学生中随 机抽取了300 名学生，下列说法正确的是（ ） ．此次调查属于全面调查 B．样本容量是300 ．2000 名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体 【答】B 【分析】根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义逐一判断即可解答． 【详解】解：、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意； B、样本容量是300，故此选项符合题意； 、2000 名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意； D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握这些数学概念是解题的关 键． 【变式3-2】（2023·福建龙岩·统考一模）某市有3 万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽 样调查了2000 名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） ．3 万名考生是总体 B．每名考生的数学成绩是个体 ．2000 名考生是总体的一个样本 D．2000 名是样本容量 【答】B 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分 个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时， 首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样 本确定出样本容量． 【详解】解：、3 万名学生的数学成绩是总体，故不符合题意； B、其中的每名考生的数学成绩是个体，故B 符合题意； 、2000 名考生的数学成绩是总体的一个样本，故不符合题意； D、2000 是样本容量，故D 不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了个体，总体，样本，样本容量等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握． 题型04 抽样调查的可靠性 【例4】（2022·河南南阳·统考一模）为了解游客在开封、洛阳和安阳这三个城市旅游的满意度，数学小组 的同学商议了几个收集数据的方．方一：在多家旅游公司调查1000 名导游；方二：在洛阳调查1000 名游 客；方三：在开封调查1000 名游客；方四：在三个城市各调查1000 名游客．其中最合理的是（ ）． ．方一 B．方二 ．方三 D．方四 【答】D 【分析】采取抽样调查时，应能够保证被抽中的调查样本在总体中的合理、均匀分布，调查出现倾向性偏 差的可能性是极小的，样本对总体的代表性很强． 【详解】解：方一、方二、方三选项选择的调查对象没有代表性． 方四在三个城市各调查1000 名游客，具有代表性． 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性．抽样调查是实际中经常用采用的调查方式，如果抽取的样本得当， 就能很好地反映总体情况．否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况． 【变式4-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）抽样调查放学时段，学校附近某路口车流量情况的样本中，下列 最合适的是（ ） ．抽取一月份第一周为样本 B．抽取任意一天为样本 ．选取每周日为样本 D．每个季节各选两周作为样本 【答】D 【分析】根据样本是总体中所抽取的一部分个体，样本要具有代表性，可得答． 【详解】：样本容量太小，不具代表性，故错误； B：样本容量太小，不具代表性，故B 错误； ：样本不具代表性，故错误； D：春夏秋冬各选两周作为样本，样本具代表性，故D 正确； 故选D 【点睛】本题考查了样本，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本要具有代表性． 【变式4-2】（2022·河南新乡·统考二模）小明、小红、小亮三名同学想要了解本市老年人的健康状况，他 们各自进行了如下调查． 小明；周末去医院随机询问了100 个老年人的健康状况． 小红：放学之后去广场上随机询问了100 名跳广场舞的老年人的健康状况． 小亮：放学后在本市区随机询问了100 名老年人的健康状况． 他们三个的调查结果， 同学的更可靠．（填“小明”“小红”或“小亮”） 【答】小亮 【分析】根据抽样调查的意义以及抽样调查的可靠性进行判断即可． 【详解】为确保所抽取样本的广泛性，代表性和可靠性即可知小亮同学的调查更可靠， 故答为：小亮 【点睛】本题考查抽样调查，数据的收集和整理的过程和方法，理解抽取样本的广泛性，代表性和可靠性 是解题关键． 题型05 用样本估计总体 【例5】（2023·河北·模拟预测）嘉淇调查了本班学生最喜欢的体育项目情况，并绘制成如图所示的扇形统 计图和条形统计图，其中条形统计图被撕坏了一部分，则m 与的和为（ ） ．24 B．26 ．52 D．54 【答】 【分析】根据喜欢乒乓球的人数和扇形图的圆心角可以求出总人数，再求出乒乓球和足球的百分比的和， 即可求出m 与的和． 【详解】解：调查的学生总人数为：10