模型26 圆幂定理（解析版）

1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 如图所示，直线PT 切圆于点，B、为圆的弦，则有∠P＝∠PB（∠P 为弦切角）． 2、相交弦定理 【结论1】如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 ①P·BP＝P·DP, ②P·BP＝P·DP＝r2－P2 3、切割线定理 【结论2】如图 ，PB 是⊙的一条割线，P 是⊙的一条切线，切点为， 半径为r,则①P2＝PB·P，②P2＝PB·P＝P2－r2 4、割线定理 【结论3】如图 ，PB、PD 是⊙的两条割线，半径为r,则 ①P·PB＝P·PD ②P·PB＝P·PD＝P2－r2 R 口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等 考点一：相交弦定理 【例1】．已知：如图弦B 经过⊙的半径的中点P，且P＝2，PB＝3，则是⊙的半径等于（ ） ． B． ． D． 解：延长交⊙于D， 设⊙的半径是R， ∵弦B 经过⊙的半径的中点P， ∴P＝ R＝P，PD＝ R+R， 由相交弦定理得：P×BP＝P×DP， 则2×3＝ R×（ R+R）， 解得：R＝2 ， 故选：． 变式训练 【变式1-1】．如图，⊙的弦B、D 相交于点E，若E：BE＝2：3，则E：DE＝ 2 ： 3 ． 解：∵⊙的弦B、D 相交于点E， ∴E•BE＝E•DE， ∴E：DE＝E：BE＝2：3， 故答为：2：3． 【变式1-2】．如图，在⊙的内接四边形BD 中，⊥BD，＝B，过点作的垂线交D 的延长线 例题精讲 于点E，连结BE．若s∠B＝ ，则 的值为 ． 解：设，BD 交于点F，过点B 作BG⊥E，交E 的延长线于点G，如图， ∵⊥BD，s∠B＝ ， s ∴∠B＝ ＝ ， 设F＝3k，则B＝5k， ∴BF＝ ＝4k． ∵＝B， ∴＝5k， ∴F＝﹣F＝2k． ∵F•F＝DF•BF， ∴DF＝ k． ∵⊥BD，E⊥， ∴DF∥E， ∴ ， ∴ ， ∴E＝ k． ∴E＝ ＝ k． ∵⊥BD，E⊥，BG⊥E， ∴四边形FBG 为矩形， ∴BG＝F＝2k，G＝BF＝4k， ∴EG＝E+G＝ k， ∴BE＝ ＝ k， ∴ ＝ ， 故答为： ． 考点二：弦切角定理 【例2】．如图，割线PB 过圆心，PD 切⊙于D，是 上一点，∠PD＝20°，则∠的度数是 110 度． 解：连接BD，则∠BD＝90°， ∵PD 切⊙于点D， ∴∠BD＝∠PD＝20°， ∴∠DB＝90°﹣∠BD＝90° 20° ﹣ ＝70°； 又∵四边形DB 是圆内接四边形， ∴∠＝180°﹣∠DB＝180° 70° ﹣ ＝110°． 变式训练 【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙相切于点，另一边交⊙于B、两点，⊙ 的半径为 ，＝ ，则B 的长度为（ ） ． B．6 ． D．5 解：连接，B，作D⊥于D，E⊥P 于E， ∵＝B， ∴∠D＝ ∠，D＝D＝ ， ∴D＝ ＝2 ， ∵P 切⊙于， ∴∠E＝∠B， ∵∠B＝ ∠， ∴∠E＝∠D， ∵∠E＝∠D＝90°， ∴△E∽△D， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴E＝ ，E＝ ， ∵∠P＝45°， ∴△PE 是等腰直角三角形， ∴PE＝E＝ ，P＝ ， ∵P＝E+PE， ∴P＝ ， ∵∠E＝∠B，∠P＝∠P， ∴△P∽△PB， ∴：B＝P：P， 2 ∴ ：B＝ ： ， ∴B＝6． 故选：B． 【变式2-2】．如图，BP 是⊙的切线，弦D 与过切点的直径B 交于点E，D 的延长线和切 线交于点P，连接D，B．若DE＝D＝ ，B＝2，则线段P 的长为 ． 解：连接BD，如图， ∵DE＝D， ∴∠＝∠DE， ∵∠DE＝∠BE，∠DB＝∠， ∴∠BE＝∠DB． ∴BE＝B＝2． ∵∠DEB＝180°﹣∠BE，∠BP＝180°﹣∠BE， ∴∠DEB＝∠BP， ∵BP 是⊙的切线， ∴∠BDE＝∠PB， ∴△DEB∽△BP， ∴ ， ∴ ， ∴P＝ ． 故答为： ． 考点三：切割线定理 【例3】．如图，直线P 过半圆的圆心，交半圆于，B 两点，P 切半圆与点，已知P＝3， PB＝1，则该半圆的半径为 4 ． 解：∵P 切半圆与点， ∴P2＝P•PB， 即P＝9， 则B＝9 1 ﹣＝8， 则圆的半径是4． 故答为4． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，为B 上一点，以为圆心，为半径作圆与B 相切于 点D，分别交、B 于E、F，若D＝2E＝4，则⊙的直径为（ ） ．10 B． ．5 D．12 解：连接D，过作的垂线，设垂足为G， ∵∠＝90°， ∴四边形DG 是矩形， ∵D 是切线，E 是割线， ∴D2＝E•， ∵D＝2E＝4， ∴＝8， ∴E＝6， ∴GE＝3， ∴D＝G＝5， ∴⊙的直径为10． 故选：． 【变式3-2】．如图，在四边形BD 中，以B 为直径的半圆经过点，D．与BD 相交于点 E，D2＝E•，分别延长B，D 相交于点P，PB＝B，D＝2 ．则B 的长是 4 ． 解：连接，如图， ∵D2＝E•， ∴ ， 而∠D＝∠DE， ∴△D∽△DE， ∴∠D＝∠DE， ∵∠D＝∠BD， ∴∠DB＝∠BD， ∴B＝D； 设⊙的半径为r， ∵D＝B， ∴ ， ∴∠B＝∠BD， ∴∥D， ∴ ， ∴P＝2D＝4 ， ∵∠PB＝∠PD，∠PB＝∠PD， ∴△PB∽△PD， ∴ ，即 ， ∴r＝4（负根已经舍弃）， ∴B＝4， 故答为4． 【变式3-3】．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，BE 平分∠B 交于点E，点D 在B 上， DE⊥EB． （1）求证：是△BDE 的外接圆的切线； （2）若 ，求BD 的长． （1）证明：连接E， ∵BE 平分∠B 交于点E， 1 ∴∠＝∠EB， 1 ∵∠＝∠2， 2 ∴∠＝∠BE， ∴∠E＝∠＝90°， ∴是⊙的切线， ∵⊙是△BDE 的外接圆， ∴是△BDE 的外接圆的切线； （2）解：∵E 是圆的切线，B 是圆的割线， 根据切割线定理：E2＝D×B， ∵ ， ∴（ ）2＝2 ×（2 +BD）， 解得：BD＝4 ． ∴BD 的长是：4 ． 考点四：割线定理 【例4】．如图，过点P 作⊙的两条割线分别交⊙于点、B 和点、D，已知P＝3，B＝P＝ 2，则PD 的长是（ ） ．3 B．75 ．5 D．55 解：∵P＝3，B＝P＝2， ∴PB＝5， ∵P•PB＝P•PD， ∴PD＝75， 故选：B． 变式训练 【变式4-1】．如图，P 是圆外的一点，点B、D 在圆上，PB、PD 分别交圆于点、，如果 P＝4，B＝2，P＝D，那么PD＝ 4 ． 解：如图，∵P＝4，B＝2，P＝D， ∴PB＝P+B＝6，P＝ PD． 又∵P•PB＝P•PD， 4×6 ∴ ＝ PD2， 则PD＝4 ． 故答是：4 ． 【变式4-2】．已知直角梯形BD 的四条边长分别为B＝2，B＝D＝10，D＝6，过B、D 两 点作圆，与B 的延长线交于点E，与B 的延长线交于点F，则BE﹣BF 的值为 4 ． 解：延长D 交⊙于点G， 设BE，DG 的中点分别为点M，，则易知M＝D， ∵B＝D＝10，由割线定理得，B•F＝D•G， ∵B＝D， ∴BF＝DG， ∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣D）＝2（BM﹣M）＝2B＝4． 故答为：4． 1．如图，四边形BD 内接于⊙，B 为⊙的直径，M 切⊙于点，∠BM＝60°，则∠B 的正切值是 （ ） ． B． ． D． 解：连接BD． B 是直径，则∠DB＝90°， ∴∠DB＝∠BM＝60°． ∴∠D＝∠DB+∠DB＝150°． ∵∠B＝180°﹣∠D＝30°， t ∴∠B＝t30°＝ ． 故选：B． 2．如图，从圆外一点P 引圆的切线P，点为切点，割线PDB 交⊙于点D、B．已知P＝ 12，PD＝8，则S△BP：S△DP＝ 9 ： 4 ． 解：由切割线定理可得P2＝PD×PB， ∵P＝12，PD＝8 ∴PB＝18． 由弦切角和公共角易知△PD∽△PB． ∴S△PD：S△PB＝P2：PB2＝4：9． 3．如图，在△B 中，B＝，∠＝72°，⊙过B 两点且与B 切于B，与交于D，连接BD，若B＝ ﹣1，则＝ 2 ． 解：∵B＝，∠＝72°，B 是⊙的切线， ∴∠BD＝∠B＝36°， ∴∠BD＝36°， ∴∠BD＝∠BD＝72°， ∴D＝BD＝B； 又∵B 是切线， ∴B2＝D•， ∴B2＝（﹣B）•（设＝x），则可得到：（x﹣ ）2＝ ， 解得：x1＝2，x2＝ （x2＜0 不合题意，舍去）． ∴＝2． 4．如图，⊙的直径B＝8，将弧B 沿弦B 折叠后与∠B 的角平分线相切，则△B 的面积为 8 ． 解：设弧B 沿弦B 折叠后的圆弧的圆心为′，连接′B，如图， ∵将弧B 沿弦B 折叠后与∠B 的角平分线相切， ′ ∴B⊥BD， ′ ∴∠BD＝90°． 设∠BD＝α，则∠BD＝∠BD＝α， ∴∠B＝2α． 由折叠的性质得：∠B＝∠′B＝2α， ′ ∴∠BD＝∠′B+∠DB＝3α＝90°， ∴α＝30°． ∵B 为⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∴B＝B•s∠B＝8×s60°＝4， ＝B•s∠B＝8× ＝4 ． ∴△B 的面积为 •B＝ 4× ＝8 ． 故答为：8 ． 5．如图，⊙是△B 的外接圆，∠B＝45°，D⊥B 于点D，延长D 交⊙于点E，若BD＝4，D＝ 1，则DE 的长是 ． 解：连接B，，，过点作F⊥B 于F，作G⊥E 于G， ∵⊙是△B 的外接圆，∠B＝45°， ∴∠B＝90°， ∵BD＝4，D＝1， ∴B＝4+1＝5， ∴B＝＝ ， ∴＝ ，F＝BF＝ ， ∴DF＝BD﹣BF＝ ， ∴G＝ ，GD＝ ， 解法一：在Rt△G 中，G＝ ＝ ， ∴GE＝ ， ∴DE＝GE﹣GD＝ ． 解法二：在Rt△G 中，G＝ ＝ ， ∴D＝G+GD＝ ， ∵D×DE＝BD×D， ∴DE＝ ＝ ． 故答为： ． 6．如图，已知＝B，D＝5，DB＝4，∠＝2∠E．则D•DE＝ 56 ． 解：如图，过点作F⊥B 于点F，交D 于点； 过点B 作BG∥，交DE 于点G； ∵B＝， ∴F＝BF，∠＝2∠D；而∠＝2∠E， ∴∠D＝∠E， ∴、、B、E 四点共圆， ∴D•DE＝D•DB＝4×5＝20； ∵BG∥，且F＝BF， ∴△D∽△BGD，＝G； ∴ ，设D＝5λ，则DG＝4λ， ∴D＝+D＝14λ， ∴D＝ ， ∴ •DE＝20， ∴D•DE＝56． 故答为56． 7．如图：BE 切⊙于点B，E 交⊙于，D 两点，且交直径于B 于点P，⊥D 于，＝5，连接 B、D，且B＝BE，∠＝40°，劣弧BD 的长是 ． 解：连接D，BD ∵BE＝B ∴∠E＝∠＝40°，∠BD＝80°，∠BD＝∠DB＝（180°﹣∠BD）÷2＝50° ∵BE 是切线 ∴∠DBE＝∠＝40° ∴∠BDE＝180°﹣∠E﹣∠DBE＝100° ∴∠D＝180°﹣∠DB﹣∠BDE＝30° ∵⊥D ∴D＝ ＝10，即圆的半径是10 ∴弧BD 的度数是80 度 弧BD＝ ＝ ． 8．如图，在平面直角坐标系中，⊙经过点（4，3），点B 与点在y 轴上，点B 与原点重合， 且B＝，与⊙交于点D，延长与⊙交于点E，连接E、DE 与x 轴分别交于点G、F，则 t∠DF＝ ，t∠＝ ． 解：设圆与y 轴交于点，K，过点作M⊥于点M，过点D 作D⊥于点，如图， ∵（4，3）， ∴M＝4，M＝3， ∴＝ ＝5． ∵B＝，点B 与原点重合， ∴B＝＝5． ∴E＝2＝10． ∵E 为⊙的直径， ∴ED⊥D． ∵B＝，M⊥， ∴＝2M＝6． ∴＝﹣＝6 5 ﹣＝1， ∴K＝+K＝1+10＝11． ∵D•＝•K， ∴D＝ ＝ ， ∴D＝﹣D＝5﹣ ＝ ． ∴DE＝ ＝ ． t ∴∠DE＝ ＝ ＝ ． ∵D⊥，F⊥， ∴D∥F． ∴∠DF＝∠DF． ∵ED⊥D， ∴∠DF+∠D＝90°． ∵D⊥， ∴∠D+∠D＝90°． ∴∠DF＝∠D． ∴∠DF＝∠D． t ∴∠DF＝t∠D＝ ． 故答为： ； ． 9．如图，在△B 中，B＝，⊙是△B 的外接圆，D 是⊙的切线，为切点，且D＝B，连接D， 与⊙交于点E． （1）求证D＝B； （2）若E＝5，B＝6，求⊙的半径． （1）证明：∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∵D 是⊙的切线，为切点， ∴∠D＝∠B， ∴∠D＝∠B， ∵B＝BD，＝， ∴△B≌△D（SS）， ∴B＝D； （2）连接B，，E，连接并延长交B 于点F， ∵△B≌△D， ∴∠B＝∠D， ∴ ＝ ， ∴B＝E， ∵B＝D＝6， ∴E＝D＝6， ∴∠D＝∠ED， ∵B＝，B＝D， ∴D＝， ∴∠D＝∠D， ∴∠ED＝∠D， ∴△DE∽△D， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴DE＝4 或DE＝﹣9（舍去）， ∴D＝E+DE＝9， ∴B＝＝D＝9， ∵B＝，B＝， ∴F 是B 的垂直平分线， ∴F⊥B，BF＝F＝ B＝3， ∴F＝ ＝ ＝6 ， 设⊙的半径为r， 在Rt△F 中，F2+F2＝2， ∴（6 ﹣r）2+32＝r2， ∴r＝ ， ∴⊙的半径为 ． 10．如图，△B 是⊙的内接三角形，D 是⊙的直径，B⊥D 于点E，过点作⊙的切线交D 的延 长线于点F，连接FB． （1）求证：FB 是⊙的切线． （2）若＝4 ，t∠D＝ ，求⊙的半径． （1）证明：连接，B， ∵F 是⊙的切线， ∴⊥F， ∴∠F＝90°， ∵直径D⊥B， ∴F 垂直平分B， ∴F＝BF， ∴∠FBE＝∠FE， ∵＝B， ∴∠BE＝∠E， ∴∠BE+∠FBE＝∠FE+∠E＝∠F＝90°， ∴半径B⊥FB， ∴FB 是⊙的切线 （2）解：∵t∠D＝ ＝ ， ∴令D＝x，则D＝2x， ∵△D 是直角三角形， ∴＝ ＝ ＝ x＝4 ， ∴x＝4， ∴D＝4，D＝8， ∵D2＝DE•E， 4 ∴2＝8DE， ∴DE＝2， ∴D＝DE+E＝2+8＝10， ∴⊙的半径长是5． 11．如图，正方形BD 内接于⊙，点E 为B 的中点，连接E 交BD 于点F，延长E 交⊙于点 G，连接BG． （1）求证：FB2＝FE•FG； （2）若B＝6，求FB 和EG 的长． （1）证明：∵四边形BD 是正方形， ∴D＝B， ∴ ． ∴∠DB＝∠G． ∵∠EFB＝∠BFG， ∴△EFB∽△BFG， ∴ ， ∴FB2＝FE•FG； （2）解：连接E，如图， ∵B＝D＝6，∠＝90°， ∴BD＝ ＝6 ． ∴B＝ BD＝3 ． ∵点E 为B 的中点， ∴E⊥B， ∵四边形BD 是正方形， ∴B⊥B，∠DB＝45°，B＝B， ∴E∥B，E＝BE＝ B． ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴BF＝2 ； ∵点E 为B 的中点， ∴E＝BE＝3， ∴E＝ ＝3 ． ∵E•BE＝EG•E， ∴EG＝ ． 12．如图，⊙的割线PB 交⊙于、B，PE 切⊙于E，∠PE 的平分线和E、BE 分别交于、D， PE＝4 ，PB＝4，∠EB＝60°． （1）求证：△PDE∽△P； （2）试求以P、PB 的长为根的一元二次方程； （3）求⊙的面积．（答保留π） （1）证明：由弦切角定理得∠PEB＝∠EB， ∵P 是∠PE 的平分线， ∴∠PE＝∠P， ∴△PDE∽△P； （2）解：由切割线定理得PE2＝P•PB， ∵PE＝4 ，PB＝4， ∴P＝12， ∴P+PB＝16，P•PB＝48， ∴所求方程为：x2 16 ﹣ x+48＝0； （3）解：连接B 并延长交⊙于F，连接F， 则BF 是⊙的直径， ∴∠BF＝90°， ∴∠EB＝∠F＝60° 在Rt△BF 中，s60°＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴BF＝ ． ∴⊙的面积为：π（ ）2＝π （面积单位）． 13．如图，圆上有，B，三点，是直径，点D 是 的中点，连接D 交B 于点E，点F 在B 延长线上，且F＝FE． （1）求证：F 是圆的切线； （2）若 ，BE＝2，求圆的半径和DE•E 的值． 证明：（1）∵是直径，点D 是 的中点， ∴∠B＝90°，∠D＝∠BD． ∵F＝FE， ∴∠FE＝∠FE． ∵∠B＝90°， ∴∠EF+∠BE＝90°． ∴∠EF+∠D＝90°，即∠F＝90°． ∴⊥F． 又∵点在圆上， ∴F 是圆的切线； （2）连接D． ∵是直径，点D 是 的中点， ∴∠D＝∠B＝90°，∠D＝∠BD． ∴△BE∽△DE． ∴DE•E＝E•BE， 在Rt△F 和Rt△BF 中， ∵ ＝ ＝ ， 设F＝3k，则F＝5k． ∴BF＝ k，＝ ＝4k． ∵F＝FE＝3k，BE＝FE﹣BF， 3 ∴k﹣ k＝2． ∴k＝ ． ∴＝ ． ∴圆的半径＝ ＝ ． ∵E＝F﹣FE＝5k 3 ﹣k＝2k＝ ， ∴E×BE＝ ×2＝ ． ∴DE•E＝ ． 14．如图，B 为⊙的直径，点P 在B 的延长线上，点在⊙上，且P2＝PB•P． （1）求证：P 是⊙的切线； （2）已知P＝20，PB＝10，点D 是 的中点，DE⊥，垂足为E，DE 交B 于点F，求 EF 的长． （1）证明：连接，如图1 所示： ∵P2＝PB•P，即 ＝ ， ∵∠P＝∠P， ∴△PB∽△P， ∴∠PB＝∠P， ∵B 为⊙的直径， ∴∠B＝90°， + ∴∠∠B＝90°， ∵＝B， ∴∠B＝∠B， ∴∠PB+∠B＝90°， 即⊥P， ∴P 是⊙的切线； （2）解：连接D，如图2 所示： ∵P＝20，PB＝10，P2＝PB•P， ∴P＝ ＝ ＝40， ∴B＝P﹣PB＝30， ∵△PB∽△P， ∴ ＝ ＝2， 设B＝x，则＝2x， 在Rt△B 中，x2+（2x）2＝302， 解得：x＝6 ，即B＝6 ， ∵点D 是 的中点，B 为⊙的直径， ∴∠D＝90°， ∵DE⊥， ∴∠EF＝90°， ∵∠B＝90°， ∴DE∥B， ∴∠DF＝∠B， ∴△DF∽△B， ∴ ＝ ＝ ， ∴F＝ D＝ ，即F＝ ， ∵EF∥B， ∴ ＝ ＝ ， ∴EF＝ B＝ ．