专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题（原卷版）

C2 1+2 3,0 ( ) C1 1-2 3,0 ( ) C1H=C2H= 13-1=2 3 作AHx轴于H点，AH=1 AC1=AB= 4-1 ( )2+ 3-1 ( )2= 13 H B A O x y C1 C2 一、如图，点坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点使得△B 是等腰三角形． y x O A B 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=； （2）以点B 为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=B； （3）作B 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点，有=B． C5 C4 C3 C2 C1 y x O A B 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求 ． 模型介绍 B A O x y C5 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果、B 均往下移一个单位，当点坐标为 （1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C5坐标为（ 19 6 ,0） 解得：x= 13 6 3-x ( )2+22=x2 设AC5=x，则BC5=x，C5H=3-x AH=3，BH=2 H B A O x y C5 而对于本题的 ，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 B A O x y C5 （1）表示点：设点 坐标为（m，0），又点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）， （2）表示线段： ， （3）分类讨论：根据 ，可得： ， （4）求解得答：解得： ，故 坐标为 ． 小结 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标、B、； （2）由点坐标表示出三条线段：B、、B； （3）根据题意要求取①B=、②B=B、③=B； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在 x 轴上找一点使得△B 是直角三角形，求点坐标． y x O A B 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠为直角，过点作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （2）若∠B 为直角，过点B 作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （3）若∠为直角，以B 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点．（直径所对的圆周角为直 角） C4 C3 C2 C1 y x O A B 重点还是如何求得点坐标， 1 2 C C 、 求法相同，以 2 C 为例： 【构造三垂直】 故C2坐标为（ 13 2 ，0） 代入得：BN= 3 2 AM BN = MB NC2 由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3 △ 易证AMB∽△BNC2 M N B A O x y C2 3 4 C C 、 求法相同，以 3 C 为例： 故a=1或3 设MC3=a，C3N=b △ 易证AMC3∽△C3NB， 由A、B坐标得AM=1，BN=3， AM C3N = MC3 NB 代入得： 1 b = a 3 ，即ab=3，又a+b=4， 故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0） M N B A O x y C3 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题 【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，且（﹣ 1，0），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的表达式； （2）直线l 过点与抛物线交于点P，当∠PB＝45°时，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BQ 是直角三角形？若存在，请直接 写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+4 经过点（4，0），B（﹣1， 0），交y 轴于点． 例题精讲 （1）求抛物线的解析式； （2）点D 是直线上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E，过点D 作DF⊥x 轴，垂 足为F，连接EF，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标； （3）在上方的抛物线上是否存在点P，使得△P 是直角三角形？若存在，求出所有符合 条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由． 考点二：二次函数中的等腰三角形存在性问题 【例2】．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+经过点（1，0），与y 轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． （3）P 是y 轴正半轴上一点，且△PB 是以B 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标． 变式训练 【变2-1】．如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象与x 轴的一个交点为（4，0），与y 轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B 的坐标； （2）在x 轴的正半轴上是否存在点P．使得△PB 是以B 为底边的等腰三角形？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变2-2】．如图，抛物线y＝x2+4x+经过（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P 是y 轴 左侧且位于x 轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）将线段B 绕点B 顺时针旋转90°得线段BD（点D 是点的对应点），求点D 的坐标， 并判断点D 是否在抛物线上； （3）过点P 作PM⊥x 轴交直线BD 于点M，试探究是否存在点P，使△PBM 是等腰三角 形？若存在，求出点m 的值；若不存在，说明理由． 1．如图，在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（﹣3，0），B（1， 0）两点，与y 轴交于点（0，3），连接，点P 为第二象限抛物线上的动点． （1）求、b、的值； （2）连接P、P、，求△P 面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△Q 为直角三角形，若存在，请求出所 有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线y＝﹣ x2﹣ x 的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移2 个单位，分别交x 轴于、B 两点，交y 轴于点，则平移后的 解析式为 ． （2）判断△B 的形状，并说明理由． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以、、P 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，抛物线y＝﹣ x2+x+3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点， 顶点为D，抛物线的对称轴与x 轴交于点E，连接，BD． （1）求点，B，，D 的坐标； （2）点F 为抛物线对称轴上的动点，且△BEF 与△相似，请直接写出符合条件的点F 的 坐标； （3）点P 为抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使△BDP 是直角三角形？若存在， 请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，其中（﹣1，0）， （0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线y＝﹣x 1 ﹣交于、E 两点，P 是x 轴上点B 左侧一动点，当以P、B、 为顶点的三角形与△BE 相似时，求点P 的坐标； （3）若F 是直线B 上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF 为等腰直角三角 形，若存在，请直接写出点M 的坐标；否则说明理由． 5．如图，抛物线y＝x2+bx 3 ﹣（≠0）与x 轴交于，B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于 点，且B＝＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB 是等腰三角形？若存在，请直接写出 符合条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+（≠0）的图象交x 轴于点、B，交y 轴 于点，其顶点为D，已知B＝4，∠B＝45°，：B＝1：3． （1）求二次函数的表达式及其顶点D 的坐标； （2）点M 是线段B 上方抛物线上的一个动点，点是线段B 上一点，当△MB 的面积最大 时，求： ①点M 的坐标，说明理由； ②M+ B 的最小值 ； （3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、、为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝x2+bx+4 交x 轴于（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点，连接， B．M 为线段B 上的一个动点，过点M 作PM⊥x 轴，交抛物线于点P，交B 于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以，，Q 为顶点的三角形 是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y 轴相交于点，直 线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点、点的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△M 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标． 9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+与一直线相交于（﹣1，0），（2，3）两点，与y 轴交 于点，其顶点为D． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以，，M 为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，请求出M 点的坐标．若不存在，请说明理由． 10．抛物线y＝x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点（0， ﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点（点在点B 的 左侧），与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若M 为抛物线对称轴上一动点，使得△MB 为直角三角形，请求出点M 的坐标． （3）如图1，P 为直线B 上方的抛物线上一点，PD∥y 轴交B 于D 点，过点D 作DE⊥于 E 点．设m＝PD+ DE，求m 的最大值及此时P 点坐标． 12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于点和B（5，0），与y 轴交于点（0，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x 轴交于点M，与B 交于点F，点D 是对称轴上一点，当点D 关于直线B 的对称点E 在抛物线上时，求点E 的坐标； （3）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在直线B 上方的抛物线上，是否存在以，P，Q 为 顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明 理由． 13．已知如图1，在以为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+与x 轴交于，B 两 点，与y 轴交于点（0，﹣1），连接，＝2，直线l 过点G（0，t）且平行于x 轴，t＜﹣ 1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）若D（﹣4，m）为抛物线y＝ x2+bx+上一定点，点D 到直线l 的距离记为d，当 d＝D 时，求t 的值． （3）如图2，若E（﹣4，m）为上述抛物线上一点，在抛物线上是否存在点F，使得 △BEF 是直角三角形，若存在求出点F 的坐标，若不存在说明理由． 14．如图①，抛物线y＝x2+bx+与x 轴相交于、两点，直线y＝﹣x+3 与y 轴交于B 点，与 该抛物线交于，D 两点，已知点D 横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式； （2）如图①，在线段上有一动点（不与、重合），过作x 轴的垂线分别交B 于P 点， 交抛物线于Q 点，若x 轴把△PQ 分成两部分的面积之比为1：2，请求出点的坐标； （3）如图②，在抛物线上是否存在点，使△B 为直角三角形？若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，＝＝3，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2））在下方的抛物线上有一点，过点作直线l∥y 轴，交与点M，当点坐标为多少时， 线段M 的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使，B，K，L 为顶点形成平行四边 形，求出K，L 点的坐标． （4）在y 轴上是否存在一点E，使△DE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标； 若不存在，说明理由． 16．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+3（≠0）与x 轴交于点（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△MP 为等 腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△Q 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐 标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，点在x 轴上，点B 在y 轴上，点（3，1）， 二次函数y＝ x2+bx﹣ 的图象经过点． （1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝（x﹣）2+k 的形式； （2）把△B 沿x 轴正方向平移，当点B 落在抛物线上时，求△B 扫过区域的面积； （3）在抛物线上是否存在异于点的点P，使△BP 是以B 为直角边的等腰直角三角形？ 如果存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+4（≠0）与x 轴交于点（1，0）和B，与y 轴交于点，对 称轴为直线x＝ ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 是线段B 上的一个动点（不与点B，重合），过点P 作y 轴的平行 线交抛物线于点Q，连接Q，当线段PQ 长度最大时，判断四边形PQ 的形状并说明理 由； （3）点坐标为（0，2），点M 在抛物线上，且∠BM＝45°，直接写出点M 坐标； （4）如图2，在（2）的条件下，D 是的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E，且 ∠DQE＝2∠DQ．在y 轴上是否存在点F，使得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的 坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知直线y＝3x 3 ﹣分别交x 轴，y 轴于、B 两点，抛物线y＝x2+bx+经过、B 两 点，点是抛物线与x 轴的另一个交点（与点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求一点P，使△BP 的周长最小，并求出最小周长和P 点的坐 标； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△BM 为等腰三角形？若不存在，请说明 理由；若存在，求出点M 的坐标． 20．如图，已知直线y＝3x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，过，B 两点的抛物线交x 轴 于另一点（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BP 是等腰三角形？若存在，求出符合条 件的点P 的坐标；若不存在，说明理由． （3）在抛物线上求一点Q，使得△Q 为以为底边的等腰三角形，并写出Q 点的坐标； （4）除（3）中所求的Q 点外，在抛物线上是否还存在其它的点Q 使得△Q 为等腰三角 形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点Q（要求简要说明理由，但不证明）；若 不存在这样的点Q，请说明理由． 21．如图，抛物线交x 轴于（﹣2，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点（0，3），连接， B．M 为线段B 上的一个动点，过点M 作PM⊥x 轴，交抛物线于点P，交B 于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P 作P⊥B，垂足为点．设M 点的坐标为M（m，0），请用含m 的代数式表 示线段P 的长，并求出当m 为何值时P 有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以，，Q 为顶点的三角形 是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线y＝x2+ x+交x 轴于，B 两点，交y 轴于点．直线y＝﹣ x 2 ﹣经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线于点M，设点P 的横坐标 为m． ①当△PM 是直角三角形时，求点P 的坐标； ②作点B 关于点的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相 等．当点P 在y 轴右侧的抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b 的 解析式．（k，b 可用含m 的式子表示） 23．如图，直线y＝x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点，抛物线y＝﹣x2 2 ﹣x+3 与x 轴交于， B 两点，与y 轴交于点． （1）如图①，连接B，在y 轴上存在一点D，使得△BD 是以B 为底的等腰三角形，求 点D 的坐标； （2）如图②，在抛物线上是否存在点E，使△E 是以为底的等腰三角形？若存在，求出 点E 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图③，连接B，在直线上是否存在点F，使△BF 是以B 为腰的等腰三角形？若 存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图④，若抛物线的顶点为，连接，在x 轴上是否存在一点K，使△K 是等腰三角 形？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由； （5）如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△G 是等腰三角形？若存在，求 出 点 G 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．