专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题（解析版）(1)

C2 1+2 3,0 ( ) C1 1-2 3,0 ( ) C1H=C2H= 13-1=2 3 作AHx轴于H点，AH=1 AC1=AB= 4-1 ( )2+ 3-1 ( )2= 13 H B A O x y C1 C2 一、如图，点坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点使得△B 是等腰三角形． y x O A B 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=； （2）以点B 为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=B； （3）作B 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点，有=B． C5 C4 C3 C2 C1 y x O A B 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求 ． 模型介绍 B A O x y C5 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果、B 均往下移一个单位，当点坐标为 （1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C5坐标为（ 19 6 ,0） 解得：x= 13 6 3-x ( )2+22=x2 设AC5=x，则BC5=x，C5H=3-x AH=3，BH=2 H B A O x y C5 而对于本题的 ，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 B A O x y C5 （1）表示点：设点 坐标为（m，0），又点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）， （2）表示线段： ， （3）分类讨论：根据 ，可得： ， （4）求解得答：解得： ，故 坐标为 ． 小结 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标、B、； （2）由点坐标表示出三条线段：B、、B； （3）根据题意要求取①B=、②B=B、③=B； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在 x 轴上找一点使得△B 是直角三角形，求点坐标． y x O A B 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠为直角，过点作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （2）若∠B 为直角，过点B 作B 的垂线，与x 轴的交点即为所求点； （3）若∠为直角，以B 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点．（直径所对的圆周角为直 角） C4 C3 C2 C1 y x O A B 重点还是如何求得点坐标， 1 2 C C 、 求法相同，以 2 C 为例： 【构造三垂直】 故C2坐标为（ 13 2 ，0） 代入得：BN= 3 2 AM BN = MB NC2 由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3 △ 易证AMB∽△BNC2 M N B A O x y C2 3 4 C C 、 求法相同，以 3 C 为例： 故a=1或3 设MC3=a，C3N=b △ 易证AMC3∽△C3NB， 由A、B坐标得AM=1，BN=3， AM C3N = MC3 NB 代入得： 1 b = a 3 ，即ab=3，又a+b=4， 故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0） M N B A O x y C3 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题 【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，且（﹣ 1，0），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的表达式； （2）直线l 过点与抛物线交于点P，当∠PB＝45°时，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BQ 是直角三角形？若存在，请直接 写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）设y＝（x 2 ﹣）2+k，把（﹣1，0）代入得： （﹣1 2 ﹣）2+k＝0， 解得：k＝﹣9， ∴y＝（x 2 ﹣）2 9 ﹣＝x2 4 ﹣x 5 ﹣， 答：抛物线的解析式为y＝x2 4 ﹣x 5 ﹣； （2）过点P 作PM⊥x 轴于点M，如图： 例题精讲 设P（m，m2 4 ﹣m 5 ﹣），则PM＝|m2 4 ﹣m 5| ﹣， ∵（﹣1，0）， ∴M＝m+1 ∵∠PB＝45° ∴M＝PM， | ∴m2 4 ﹣m 5| ﹣＝m+1， 即m2 4 ﹣m 5 ﹣＝m+1 或m2 4 ﹣m 5 ﹣＝﹣（m+1）， 当m2 4 ﹣m 5 ﹣＝m+1 时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去）， 当m2 4 ﹣m 5 ﹣＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴P 的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）； （3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BQ 是直角三角形，理由如下： 在y＝x2 4 ﹣x 5 ﹣中，令x＝0 得y＝﹣5，令y＝0 得x＝﹣1 或x＝5， ∴B（5，0），（0，﹣5）， 由抛物线y＝x2 4 ﹣x 5 ﹣的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t）， ∴B2＝50，BQ2＝9+t2，Q2＝4+（t+5）2， 当B 为斜边时，BQ2+Q2＝B2， 9+ ∴ t2+4+（t+5）2＝50， 解得t＝﹣6 或t＝1， ∴此时Q 坐标为（2，﹣6）或（2，1）； 当BQ 为斜边时，B2+Q2＝BQ2， 50+4+ ∴ （t+5）2＝9+t2， 解得t＝﹣7， ∴此时Q 坐标为（2，﹣7）； 当Q 为斜边时，B2+BQ2＝Q2， 50+9+ ∴ t2＝4+（t+5）2， 解得t＝3， ∴此时Q 坐标为（2，3）； 综上所述，Q 的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+4 经过点（4，0），B（﹣1， 0），交y 轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点D 是直线上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E，过点D 作DF⊥x 轴，垂 足为F，连接EF，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标； （3）在上方的抛物线上是否存在点P，使得△P 是直角三角形？若存在，求出所有符合 条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+4 经过点（4，0），B（﹣1，0）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4； （2）连接D，由题意知，四边形FDE 是矩形，则D＝EF，据垂线段最短，可知： 当D⊥时，D 最短，即EF 最短． 由（1）知，在Rt△中，＝＝4， ∴＝4 ． 又∵D 为的中点． ∴DF∥， ∴DF＝ ＝2， ∴点D 的坐标为（2，2）； （3）假设存在，设点P 的坐标为（m，﹣m2+3m+4）． ∵点的坐标为（4，0），点的坐标为（0，4）， ∴P2＝（m 4 ﹣）2+（﹣m2+3m+4 0 ﹣）2＝m4 6 ﹣m3+2m2+16m+32，P2＝（m 0 ﹣）2+（﹣ m2+3m+4 4 ﹣）2＝m4 6 ﹣m3+10m2，2＝（0 4 ﹣）2+（4 0 ﹣）2＝32． 分两种情况考虑， ①当∠P＝90°时，P2＝P2+2， 即m4 6 ﹣m3+2m2+16m+32＝m4 6 ﹣m3+10m2+32， 整理得：m2 2 ﹣m＝0， 解得：m1＝0（舍去），m2＝2， ∴点P 的坐标为（2，6）； ②当∠P＝90°时，P2+P2＝2， 即m4 6 ﹣m3+10m2+m4 6 ﹣m3+2m2+16m+32＝32， 整理得：m（m3 6 ﹣m2+6m+8）＝0， ∴m（m 4 ﹣）（m2 2 ﹣m 2 ﹣）＝0， 解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去）， （舍去）， ， ∴点P 的坐标为（1+ ，3+ ）． 综上所述，假设成立， 即存在点P（2，6）或（1+ ，3+ ），使得△P 是直角三角形． 考点二：二次函数中的等腰三角形存在性问题 【例2】．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+经过点（1，0），与y 轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． （3）P 是y 轴正半轴上一点，且△PB 是以B 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标． 解：（1）由题意得，﹣1+5+＝0， 解得，＝﹣4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x 4 ﹣； （2）y＝﹣x2+5x 4 ﹣＝﹣（x﹣ ）2+ ， 抛物线对称轴为：x＝ ， 顶点坐标为 （ ， ）； （3）∵点的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，﹣4）， ∴＝1，B＝4， 在Rt△B 中，B＝ ＝ ， ①当PB＝B 时，PB＝ ， ∴P＝PB﹣B＝ ﹣4， 此时点P 的坐标为（0， ﹣4）， ②当P＝B 时，P＝B＝4 此时点P 的坐标为（0，4）． 变式训练 【变2-1】．如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象与x 轴的一个交点为（4，0），与y 轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B 的坐标； （2）在x 轴的正半轴上是否存在点P．使得△PB 是以B 为底边的等腰三角形？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）把点（4，0）代入二次函数有： 0＝﹣16+4b+3 得：b＝ 所以二次函数的关系式为：y＝﹣x2+ x+3． 当x＝0 时，y＝3 ∴点B 的坐标为（0，3）． （2）如图： 作B 的垂直平分线交x 轴于点P，连接BP， 则：BP＝P 设BP＝P＝x，则P＝4﹣x， 在直角△BP 中，BP2＝B2+P2 即：x2＝32+（4﹣x）2 解得：x＝ ∴P＝4﹣ ＝ 所以点P 的坐标为：（ ，0） 综上可得点P 的坐标为（ ，0）． 【变2-2】．如图，抛物线y＝x2+4x+经过（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P 是y 轴 左侧且位于x 轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）将线段B 绕点B 顺时针旋转90°得线段BD（点D 是点的对应点），求点D 的坐标， 并判断点D 是否在抛物线上； （3）过点P 作PM⊥x 轴交直线BD 于点M，试探究是否存在点P，使△PBM 是等腰三角 形？若存在，求出点m 的值；若不存在，说明理由． 解：（1）把点（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入解析式y＝x2+4x+， 得 ， 解得 ， ∴y＝x2+4x 1 ﹣； （2）如图，作⊥y 轴于点，作D⊥y 轴于点， ∵∠B+∠B＝90°，∠BD+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BD， 在△B 和△DB 中， ， ∴△B≌△BD（S）， ∴B＝＝3，D＝B＝3， ∴＝2， ∴D（﹣3，2）， 把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x 1 ﹣中， 得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2， ∴点D 不在抛物线上； （3）存在点P， ∵D（﹣3，2），B（0，﹣1）， ∴直线BD 的解析式为y＝﹣x 1 ﹣， 设P（m，m2+4m 1 ﹣），则M（m，﹣m 1 ﹣）， 由（2）知：∠BMP＝45°， 当△PBM 是等腰三角形，且45°为底角时， 有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°， 若∠MBP＝90°，则P 与重合，即m＝﹣3， 若∠MPB＝90°，则PB∥x 轴，即P 的纵坐标为﹣1， ∴m2+4m 1 ﹣＝﹣1， 解得m＝0（舍）或m＝﹣4， ∴m＝﹣4， 若45°为顶角， 即MP＝MB， ∵MP＝﹣m 1 ﹣﹣m2 4 ﹣m+1＝﹣m2 5 ﹣m，MB＝﹣ ＝﹣ ， ∴﹣m2 5 ﹣m＝﹣ m， 解得m＝0（舍）或m＝﹣5+ ， ∴m 的值为﹣3，﹣4，﹣5 ． 1．如图，在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（﹣3，0），B（1， 0）两点，与y 轴交于点（0，3），连接，点P 为第二象限抛物线上的动点． （1）求、b、的值； （2）连接P、P、，求△P 面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△Q 为直角三角形，若存在，请求出所 有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+经过（﹣3，0），B（1，0），（0，3）三点 ∴ ， 解得： ∴＝﹣1，b＝﹣2，＝3； （2）如图1， 过点P 作PE∥y 轴，交于E， ∵（﹣3，0），（0，3）， ∴直线的解析式为y＝x+3， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2 2 ﹣x+3， 设点P（m，﹣m2 2 ﹣m+3），则E（m，m+3）， ∴S△P＝ PE•（x﹣x）＝ ×[﹣m2 2 ﹣m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣ （m2 3 ﹣m）＝﹣ （m+ ）2+ ， ∴当m＝﹣ 时，S△P 最大＝ ； （3）存在，点Q 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ）或（﹣ 1， ）． 如图2，∵（﹣3，0），（0，3）， ∴＝＝3， ∴2＝2+2＝32+32＝18， ∵y＝﹣x2 2 ﹣x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为x＝﹣1， 设点Q（﹣1，）， 则Q2＝[ 1 ﹣﹣（﹣3）]2+2＝2+4，Q2＝[0﹣（﹣1）]2+（﹣3）2＝2 6+10 ﹣ ， ∵△Q 为直角三角形， ∴∠Q＝90°或∠Q＝90°或∠Q＝90°， ①当∠Q＝90°时，根据勾股定理，得：Q2+2＝Q2， ∴2+4+18＝2 6+10 ﹣ ， 解得：＝﹣2， ∴Q1（﹣1，﹣2）； ②当∠Q＝90°时，根据勾股定理，得：Q2+2＝Q2， ∴2 6+10+18 ﹣ ＝2+4， 解得：＝4， ∴Q2（﹣1，4）； ③当∠Q＝90°时，根据勾股定理，得：Q2+Q2＝2， ∴2 6+10+ ﹣ 2+4＝18， 解得：1＝ ，2＝ ， ∴Q3（﹣1， ），Q4（﹣1， ）； 综上所述，点Q 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ）或（﹣1， ）． 2．已知抛物线y＝﹣ x2﹣ x 的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移2 个单位，分别交x 轴于、B 两点，交y 轴于点，则平移后的 解析式为 y ＝﹣ x 2 ﹣ x +2 ． （2）判断△B 的形状，并说明理由． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以、、P 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）将该抛物线向上平移2 个单位，得y＝﹣ x2﹣ x+2， 故答为：y＝﹣ x2﹣ x+2； （2）当y＝0 时，﹣ x2﹣ x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，即B（﹣4，0），（1， 0）． 当x＝0 时，y＝2，即（0，2）． B＝1﹣（﹣4）＝5，B2＝25， 2＝（1 0 ﹣）2+（0 2 ﹣）2＝5，B2＝（﹣4 0 ﹣）2+（0 2 ﹣）2＝20， ∵2+B2＝B2， ∴△B 是直角三角形； （3）y＝﹣ x2﹣ x+2 的对称轴是直线x＝﹣ ，设P（﹣ ，）， P2＝（1+ ）2+2＝ +2，P2＝ +（2﹣）2，2＝12+22＝5 当P＝时，P2＝2， +2＝5，方程无解； 当P＝P 时，P2＝P2， +2＝ +（2﹣）2，解得＝0，即P1（﹣ ，0）， 当＝P 时2＝P2， +（2﹣）2＝5，解得1＝2+ ，2＝2﹣ ，P2（﹣ ，2+ ），P3（﹣ ，2﹣ ）． 综上所述：使得以、、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（﹣ ，0），（﹣ ，2+ ），（﹣ ，2﹣ ）． 3．如图，抛物线y＝﹣ x2+x+3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点， 顶点为D，抛物线的对称轴与x 轴交于点E，连接，BD． （1）求点，B，，D 的坐标； （2）点F 为抛物线对称轴上的动点，且△BEF 与△相似，请直接写出符合条件的点F 的 坐标； （3）点P 为抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使△BDP 是直角三角形？若存在， 请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）对于y＝﹣ x2+x+3，令y＝﹣ x2+x+3＝0，解得x＝6 或﹣2，令x＝0，则y ＝3， 故点、B、的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3）， 则函数的对称轴为直线x＝ （6 2 ﹣）＝2， 当x＝2 时，y＝﹣ x2+x+3＝4，即点D（2，4）； （2）t∠＝ ， 当△BEF 与△相似时，则 ， 即 ， 解得：EF＝6 或 ， 故点F 的坐标为：（2，6）或（2，﹣6）或 或 ； （3）存在，理由： △BDP 是直角三角形只要可能是∠DBP 和∠BDP 为直角， ①当∠DBP 为直角时， 过点B 作y 轴的平行线，交过点P 与x 轴的平行线于点，交过点D 与x 轴的平行线于点 G， ∵DG＝BG＝4，则△BDG 为等腰三角形，∠DBG＝45°， 则∠PB＝45°，即△PB 为等腰直角三角形， 则设P＝B＝m，则点P（6﹣m，﹣m）， 将点P 的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝﹣ （6﹣m）2+（6﹣m）+3， 解得：m＝0（舍去）或12， 故点P 的坐标为（﹣6，﹣12）； ②当∠BDP 为直角时， ∵D＝BD＝3 ，B＝64， 则△BD 为等腰直角三角形，即∠DB＝90°， 即点P 于点重合， 故点P（﹣2，0）； 综上，点P 的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，﹣12）． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，其中（﹣1，0）， （0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线y＝﹣x 1 ﹣交于、E 两点，P 是x 轴上点B 左侧一动点，当以P、B、 为顶点的三角形与△BE 相似时，求点P 的坐标； （3）若F 是直线B 上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF 为等腰直角三角 形，若存在，请直接写出点M 的坐标；否则说明理由． 解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+， 得： ， 解得： ， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）联立直线E 和抛物线的函数关系式成方程组， 得： ， 解得： ， ， ∴点E 的坐标为（4，﹣5）， ∴E＝ ＝5 ， 在y＝﹣x2+2x+3 中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴点B 的坐标为（3，0）， ∵（0，3）， ∴B＝＝3， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝45°，B＝3 ， ∵直线E 的函数表达式为y＝﹣x 1 ﹣， ∴∠BE＝4