专题05 列一元一次方程解应用题课堂学案及配套作业(解析版)

专题5 列一元一次方程解应用题（解析版） 第一部分 学 类型一 行程问题 （一）相遇问题 典例1 甲乙两站的距离为360 千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72 千米，一列慢车从甲站开出，每 小时行驶48 千米，请问： （1）两车同时开出，相向而行，经过多少小时后两车相距40 千米？（不考虑列车长度） （2）快车先开出25 分钟，两车相向而行慢车行驶多长时间后两车相遇？ 思路引领：（1）设经过x 小时后两车相距40 千米，分两种情况：当相遇前相距40 千米；当相遇后相 距40 千米；列出方程求出x 的值； （2）设慢车行驶y 小时两车相遇，等量关系为：慢车（25 60 +¿y）小时的路程+快车y 小时的路程＝360 千米，列方程求出y 的值． 解：（1）设经过x 小时后两车相距40 千米，依题意得： 当相遇前相距40 千米时： 72x+48x＝360 40 ﹣ ， 解得：x¿ 8 3 ； 当相遇后相距40 千米时： 72x+48x＝360+40， 解得：x¿ 10 3 ． 答：经过8 3或10 3 小时后两车相距40 千米； （2）设慢车行驶y 小时两车相遇，依题意得： 72（25 60 +¿y）+48y＝360， 解得：y¿ 11 4 ． 答：慢车行驶11 4 小时两车相遇． 总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系列出方程，再求解． 典例2 一列火车匀速行驶，经过一条长300m 的隧道需要20s 的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光， 灯光照在火车上的时间是10s． （1）设火车的长度为xm，用含x 的式子表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程和这段 时间内火车的平均速度； （2）设火车的长度为xm，用含x 的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程和这段 时间内火车的平均速度； （3）上述问题中火车的平均速度发生了变化吗？ （4）求这列火车的长度． 思路引领：（1）根据火车长度为xm，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）上述问题中火车的平均速度不发生变化； （4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为xm，这段时间内火车的平均 速度x 10m/s； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+300）m，这段时间内火车的平均速度为 x+300 20 m/s； （3）速度没有发生变化； （4）根据题意得：x 10= x+300 20 ， 解得：x＝300， 则这列火车的长度300m． 总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，根据火车的平均速度不变列出方程是解本题的 关键． （二）追击问题 典例3 一队学生去校外参加劳动，以4km/的速度步行前往，走了半小时，学校有紧急通知要传给队长，通 讯员以14km/的速度按原路追上去，则通讯员追上学生队伍所需的时间是（ ） ．10m B．11m ．12m D．13m 思路引领：根据题意知道本题是追及问题，根据等量关系：路程＝速度×时间，路程一定，列出方程式 求解即可得出答． 解：设通讯员追上学生队伍所需时间为x， 学生在半个小时内所走的路程＝速度×时间＝4×05＝2km， 在通讯员所走的x 小时内，学生同样也在走x 小时， 则学生走的路程＝4×x＝4x，通讯员走的路程＝14×x＝14x， 根据学生走的总路程和通讯员所走的路程相等， 得出：2+4x＝14x， 解得x＝02． 即为02 小时，为12m． 故选：． 总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，关键是要找到等量关系，根据等量关系代入相关的数据计 算方程的解即可． 针对训练 1．一列慢车从某站开出，每小时行驶48km，过了45 分，一列快车从同站开出，与慢车同向而行，又经过 15 小时追上了慢车．求快车的时速？ 思路引领：设快车的速度是每小时行驶xkm，根据快车追上慢车时，快车行驶的路程＝慢车行驶的路程 列出方程，求解即可． 解：设快车的速度是每小时行驶xkm，由题意得 15x＝48×（45 60 +¿15）， 解得x＝72． 答：快车的速度是每小时行驶72km． 总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，解答时根据追及问题的数量关系建立方程是关键． （三）环形跑道问题 典例4 运动场的跑道一圈长400 米，甲练习骑自行，平均每分钟骑490 米，乙练习跑步，平均每分钟跑250 米，两人从某处同时同向出发，经过多少分钟两人首次相遇？又过多长时间两人第三次相遇？ 思路引领：在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，两人首次相遇等量关系为：甲路程﹣乙路程 ＝400，进而得出方程求出；两人第三次相遇等量关系为：甲路程﹣乙路程＝400×3，进而得出方程求出 即可． 解：设经过x 分钟后甲，乙二人首次相遇，则甲走的路程是490x 米，乙走的路程为250x 米， 据题意得：490x 250 ﹣ x＝400， 解得：x¿ 5 3， 答：经过5 3分钟后两人首次相遇． 设经过y 分钟后甲，乙二人第三次相遇，则甲走的路程是490y 米，乙走的路程为250y 米， 据题意得：490y 250 ﹣ y＝400×3， 解得：x＝5． 答：经过5 分钟后两人第三次相遇． 总结提升：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握追及问题常用的等量关系：甲路程﹣乙路程＝环形 跑道的长度是解题问题的关键． （四）水流问题 典例6 轮船从甲地顺流而行9 到达乙地，原路返回需要11 才能到达甲地．已知水流速度为2km/，求轮船在 静水中的速度及甲、乙两地的距离． 思路引领：设静水速度为xkm/，由轮船顺流和逆流的走过的路程相同列出一元一次方程，解出x 的值， 即可求出甲、乙两地的距离． 解：设静水速度为xkm/，由题意得 9（x+2）＝11（x 2 ﹣）， 解得：x＝20， 则9（x+2）＝198． 答：轮船在静水中的速度为20km/，甲、乙两地的距离是198km． 总结提升：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 针对训练 1．（2012 秋•台安县月考）一架飞机在两城间飞行，顺风要55 小时，逆风要6 小时，风速为24 千米/时， 求两城距离x 的方程是（ ） ．x 5.5−¿24¿ x 6 +¿24 B．x−24 5.5 = x+24 6 ．2 x 5.5+6= x 5.5−¿24 D．x 5.5−x 6 =¿24 思路引领：可让两城距离分别除以顺风时间及逆风时间可得顺风速度和逆风速度，进而用顺风速度，逆 风速度及风速表示出无风时的速度，让其相等列出方程即可． 解：∵两城距离为x，顺风要55 小时，逆风要6 小时， ∴顺风速度¿ x 5.5，逆风速度¿ x 6 ， ∵风速为24 千米/时， ∴可列方程为：x 5.5−¿24¿ x 6 +¿24， 故选：． 总结提升：考查用一元一次方程解决行程问题，用逆风速度和顺风速度表示出无风时的速度是解决本题 的关键；用到的知识点为：顺风速度＝无风时的速度+风速；逆风速度＝无风时的速度﹣风速． 2．船在一段河中行驶，已知顺水速度是逆水速度的2 倍，如果该船在静水中的速度为36 千米/小时． （1）求水流速度； （2）若该船正在逆流而上，突然发现20 分钟前一物体落入水中正漂流而下，立即调转方向，经过多少 时间可以追上该物体？ 思路引领：（1）顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度．设水流速度，分别 表示顺水速度和逆水速度，列方程求解； （2）此为追及问题．可设经过y 小时时间可以追上该物体，根据等量关系：船追及的路程﹣逆水20 分 钟的路程＝物体20 分钟漂流路程+被追及时漂流的路程，列出方程求解即可． 解：（1）设水流速度为x 千米/小时．根据题意得 36+x＝2（36﹣x）， 解得x＝12． 答：水流速度为12 千米/小时； （2）设经过y 小时时间可以追上该物体，根据题意得 （36+12）y﹣（36 12 ﹣ ）× 20 60=¿（y+20 60 ）×12． 解得y¿ 1 3． 答：经过1 3小时时间可以追上该物体． 总结提升：此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出 合适的等量关系列出方程，再求解．难点在理清各个速度及对应的时间关系． 类型二 数字问题 典例7 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的1 5， 求这个两位数． 思路引领：首先设十位数字为x，则个位数字为（x+1），根据题意可得十位上的数字与个位上的数字 之和为x+（x+1），这个两位数是10x+（x+1），再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两 位数的1 5，可得方程x+（x+1）＝[10x+（x+1）]× 1 5，解方程可得x 的值，进而得到答． 解：设十位数字为x，则个位数字为（x+1），由题意得： x+（x+1）＝[10x+（x+1）]× 1 5， 解得x＝4， 故十位数字为4，个位数字为4，这个两位数字是45， 答：这个两位数是45． 总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系列出方程，再求解． 针对训练 1．一个三位数满足以下条件：（1）三个数位上的数字之和为8：（2）百位上的数字比十位上的数字大 4；（3）个位上的数字是十位上的数字的2 倍．如果设十位上的数字为x，根据题意可列方程 ． 思路引领：设十位上的数字为x，则个位上的数字是2x，则百位上的数字为x+4，根据三个数位上的数 字之和为8 列出方程即可． 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字是2x，则百位上的数字为x+4，由题意得 x+2x+x+4＝8． 故答为：x+2x+x+4＝8． 总结提升：此题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，找出数位上数字之间的关系，得出等量关系列 出方程即可． 典例8 在日历上任意画一个含有9 个数的方框（3×3），然后把方框中的9 个数加起来，结果等于90，试 求出这9 个数正中间的那个数． 思路引领：设这9 个数字中间的那个数为x，根据日历的排布规律可得这9 个数，从上到下，从左到右 分别是x 7 1 ﹣﹣、x 7 ﹣、x 7+1 ﹣ 、x 1 ﹣、x、x+1、x+7 1 ﹣、x+7、x+7+1，然后根据9 个数字相加，结果 等于90，列出方程求解． 解：设这9 个数字中间的那个数为x， 根据题意得：x 7 1+ ﹣﹣ x 7+ ﹣ x 7+1+ ﹣ x 1+ ﹣ x+x+1+x+7 1+ ﹣ x+7+x+7+1＝90， 解得：x＝10． 答：这9 个数字中间的那个数是10． 总结提升：本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是掌握日历的规律，然后根据题中给出的等量关 系求解． 针对训练 1．（2009 秋•南京期末）某日历上任意圈出有一竖列上相邻的3 个数之和为69，求这几天分别是几号，若 设中间数是x，可列方程为 ． 思路引领：解此题的关键是要知道三数的关系：后一个数比前一个数多7．根据三数的关系和已知条件 即可求解． 解：设中间的一个日期为x，则前一个日期为x 7 ﹣，后一个日期为x+7，依题意得： （x 7 ﹣）+x+（x+7）＝69， 故答为（x 7 ﹣）+x+（x+7）＝69． 总结提升：本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，得到日历中一竖列3 个数之间的关 系是解决本题的难点． 类型三 比赛积分问题 典例9（2021 秋•海淀区校级期末）下表是某次篮球联赛积分榜的一部分： 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 钢铁 14 0 14 14 备注：积分＝胜场积分+负场积分 （1）观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分； （2）设某队胜x 场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含x 的整式填空）； （3）若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值． 思路引领：（1）观察表中数据即可得答； （2）根据（1）的结果，即可得到答； （3）根据负场总积分是胜场总积分的倍列方程，再解方程，用含的代数式表示x，由为正整数，x 为非 负整数即可知2+1＝7，即可得到答． 解：（1）由钢铁队负14 场得14 分知：负一场得1 分， 由前进队胜10 场负4 场得24 分可得：胜一场得分为：24−4×1 10 =¿2 分， 故答为：2，1； （2）某队胜x 场，则胜场总积分为2x 分，负场总积分为（14﹣x）分， 故答为：2x，14﹣x； （3）根据题意得：14﹣x＝2x•， ∴x¿ 14 2n+1， ∵为正整数，x 为非负整数， 2+1 ∴ 是14 的因数， 2+1 ∴ ＝7，解得＝3， 答：的值是3． 总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程，得到2+1 是14 的因数 是解题的关键． 针对训练 1．（221 秋•江汉区期末）如下所示的表格是某次篮球联赛部分球队的积分表，则下列说法不正确的是（ ） 队名 比赛场数 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 21 卫星 14 4 10 b 钢铁 14 0 14 14 … … … … … ．负一场积1 分，胜一场积2 分 B．卫星队总积分b＝18 ．远大队负场数＝7 D．某队的胜场总积分可以等于它的负场总积分 思路引领：、设胜一场积x 分，负一场积y 分，根据前进和光明队的得分情况，即可得出关于x，y 的二 元一次方程组，解之即可得出结论； B、根据总积分＝2×得胜的场次数+1×负的场次数，即可求出b 值； 、由负的场次数＝总场次数﹣得胜的场次数，即可求出值； D、设该队胜了z 场，则负了（14﹣z）场，根据胜场总积分等于负场总积分，即可得出关于z 的一元一 次方程，解之即可得出z 值，由该值不为整数即可得出结论． 解：、设胜一场积x 分，负一场积y 分， 依题意，得：{ 10 x+4 y=24 9 x+5 y=23 ， 解得：{ x=2 y=1， ∴选项正确； B、b＝2×4+1×10＝18，选项B 正确； 、＝14 7 ﹣＝7，选项正确； D、设该队胜了z 场，则负了（14﹣z）场， 依题意，得：2z＝14﹣z， 解得：z¿ 14 3 ， ∵z¿ 14 3 不为整数， ∴不存在该种情况，选项D 错误． 故选：D． 总结提升：本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元 一次方程（或二元一次方程组）是解题的关键． 类型四 盈亏问题 典例10 一批课外读物分送给若干个课外兴趣小组，若每组8 本，还多3 本；若每组10 本，有一个小组只 分到1 本，求课外兴趣小组有几个？这批课外读物有几本？ 思路引领：设课外兴趣小组有x 组，再根据这批课外读物的数量列等量关系得到8x+3＝10（x 1 ﹣）+1， 然后解方程求出x，再计算8x+3 即可． 解：设课外兴趣小组有x 组， 根据题意得8x+3＝10（x 1 ﹣）+1， 解得x＝6， 8x+3＝8×6+3＝51． 答：课外兴趣小组有6 个，这批课外读物有51 本． 总结提升：本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求 的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x 的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、 求解、作答，即设、列、解、答． 针对训练 1．某工人原计划在规定的时间内加工一批零件，如果每小时加工20 个零件，就可以多完成8 个；如果每 小时加工22 个零件，就可以提前1 完成．这批零件有多少个？按原计划需多少小时完成？ 思路引领：根据题意设出未知数，然后列出相应的方程，即可解答本题． 解：设按原计划需要x 小时完成， 20x 8 ﹣＝22（x 1 ﹣） 解得，x＝7 20x 8 ﹣＝20×7 8 ﹣＝132， 即这批零件有132 个，按原计划需7 小时完成． 总结提升：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 类型五 调配问题 典例11 在甲处劳动的有27 人，在乙处劳动的有19 人，现在另调20 人去支援甲、乙两处，使在甲处的人 数为在乙处人数的2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 思路引领：设应调往甲处x 人，调往乙处的人数是y，调动后甲处的人数是（27+x），乙处的人数是 （19+y），根甲处人数为在乙处的人数的2 倍，就可以列出方程组，解这个方程组，可求出应调往甲、 乙两处各多少人． 解：应调往甲处x 人，调往乙处的人数是y， 依题意得：{ x+ y=20 27+x=2(19+ y)， 解得{ x=17 y=3 ． 答：应调往甲处17 人，调往乙处3 人． 总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 针对训练1 1．在甲处劳动的有27 人，在乙处劳动的有19 人，现在另调20 人去支援，使在甲处的人数与在乙处的人 数相等，应调往甲、乙两处各多少人？ 思路引领：设应调往甲处x 人，那么调往乙处的人数是（20﹣x），调动后甲处的人数是27+x，乙处的 人数是19+（20﹣x），根据甲处的人数与在乙处的人数相等，就可以列出方程，解这个方程，可求出 应调往甲、乙两处各多少人． 解：设应调往甲处x 人， 根据题意列方程得：27+x＝19+（20﹣x）， 解得：x＝6． 答：应调往甲处6 人，调往乙处20 6 ﹣＝14 人． 总结提升：本题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系， 用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题． 类型六 配套问题 典例12（2021 秋•江岸区校级月考）某车间有22 名工人，每人每天可以生产1200 个螺柱或2000 个螺母， 要求每天生产的螺柱和螺母刚好配套． （1）若1 个螺柱需要配2 个螺母，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ （2）若3 个螺柱需要配5 个螺母，则安排生产螺母的工人有 名． 思路引领：（1）设安排生产螺母的工人有x 名，则安排生产螺柱的工人有（22﹣x）名，由1 个螺柱需 要配2 个螺母可知螺母的个数是螺柱个数的2 倍，从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． （2）设安排生产螺母的工人有y 名，则安排生产螺柱的工人有（22﹣y）名，由3 个螺柱需要配5 个螺 母可知螺母个数：螺柱个数＝5：3，从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 解：（1）设安排生产螺母的工人有x 名，则安排生产螺柱的工人有（22﹣x）名， 由题意得：2