期中测试压轴题考点训练（11-13章）（解析版）

期中测试压轴题考点训练（11-13 章） 一、单选题 1．如图所示，已知点F、E 分别在B、上，且E=F，当满足下列条件仍无法确定的△BE F ≌△ 是（ ） ．B= B．F=BE ．BF=E D．∠B＝∠ 【答】B 【分析】由条件隐含条件是公共角∠,E=F,然后再逐个添加条件，如果不符合判定法则，即为 答． 【详解】解：结合已知条件：可发现选项满足SS;选项和已知条件E=F，可说明B=,满足SS 即可以；B 选项添加条件后变为SS，但SS 不能证明三角形全等，故B 错误；D 选项满足S; 故选B 【点睛】本题考查添加一个条件让三角形全等，SS 不能证明三角形全等是解答本题的关键． 2．如图，已知∠BD= D=9° ∠ ，D E, ⊥且B+=BE，则∠B 的大小是（ ） ．42° B．44° ．46 ° D．48° 【答】D 【详解】如图，延长B 到F，使F=，连接EF， ∵B+=BE， ∴B+F=BE，即BF=BE， ∴∠F=∠BEF= ， ∵D⊥E，∴∠DE=90°， ∵∠BD=∠D=9°， ∴∠FE=180°-（∠BD+∠DE）=180°-（9°+90°）=81°， ∠E=∠DE-∠D=90°-9°=81°， ∴∠FE=∠E， 在△FE 和△E 中， ， ∴△FE≌△E（SS）， ∴∠F=∠E， 又∵∠E 为△B 的外角， ∴∠E=∠B+∠B=∠B+18°， ∴∠F=∠B+18°， ∴∠B+18°= ， 解得∠B=48°． 故选D 点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性 质，以及三角形的内角和定理，利用了转化的数学思想，根据题意作出如图所示的辅助线， 把B、转化到一条线上是解决本题的关键． 3．如图, 中, ， 垂直 的角平分线于 , 为 的中点,则图中 两个阴影部分面积之差的最大值为( ) ．15 B．3 ．45 D．9 【答】 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S△D，然后由D⊥时，△D 的面积最大求出结论 即可． 【详解】延长BD 交于点．设D 交BE 于点． ∵D⊥B，∴∠DB=∠D=90°，∴∠BD+∠BD=90°，∠+∠D=90°． ∵∠BD=∠D，∴∠BD=∠，∴B=． ∵D⊥B，∴BD=D． ∵D=，∴∠D=∠D． ∵∠D+ =90° ∠ ，∠D+∠D=90°，∴∠D=∠，∴D==． ∵BD=D，=，∴S△D= S△D S△B． ∵E=E，∴S△BE S△B，∴S△D=S△BE． ∵S△BD﹣S△E=S△DB﹣S△BE=S△D﹣S△D=S△D． = ∵D=3，∴当D⊥时，△D 的面积最大，最大面积为 3×3 ． 故选． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是 学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．如图，在 中，点 在 上，点 在 上，如果 ， ， ，那么 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据三角形的面积公式结合 ， 求出与D 的比，再根据 ， 即可求得 的值． 【详解】∵ ， ，且D 边上的高相同， ∴：D=3：2． ∵△和△D 中，D 边上的高相同， S ∴△：S△D= ：D=3：2， ∵ ， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的面积及等积变换，利用同底等高的三角形面积相等是解题的 关键． 5．如图，∠D 与∠E 的平分线相交于点P，且P＝B+，若 ，则∠B 的度数是（ ） ．100° B．105° ．110° D．120° 【答】 【分析】在射线D 上截取 ，连接PM，证明 ，可得 ， ，然后证明 ，利用相似三角形的性质进行求解可得到结论． 【详解】解：如下图，在射线D 上截取 ，连接PM， ∵P 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵P 平分 ， ∴ ． 如下图，延长MB，P 交于点G， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， 180°- P=2 P-60° ∴ ∠ ∠ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定 义，解决本题的关键是得到 ． 6．如图，已知 D 为△B 的高线，D=B，以 B 为底边作等腰 Rt BE △ ，连接 ED， E，延长E 交 D 于F 点，下列结论：①△DE BE ≌△ ；②E DE ⊥ ；③BD=F；④S△BDE=S△E，其中正确的有 （ ） ．①③ B．①②④ ．①②③④ D．②③④ 【答】 【分析】①易证∠BE= DE ∠ ，即可求证：△DE BE ≌△ ；②根据①结论可得∠E= DEB ∠ ，即可求 得∠ED= BEG ∠ ，即可解题；③证明△EF BED ≌△ 即可；④易证△FD 是等腰直角三角形，则 E=EF，S△EF=S△E，由△EF BED ≌△ ，可知S△BDE=S△E，所以S△BDE=S△E． 【详解】∵D 为△B 的高线， BE+ BE+ BD=90° ∴∠ ∠ ∠ ， Rt ∵ △BE 是等腰直角三角形， BE= BE= BD+ DE=45° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ，E=BE， BE+ BD=45° ∴∠ ∠ ， DE= BE ∴∠ ∠ ， 在△DE 和△BE 中， DE BE ∴△ ≌△ （SS）； 故①正确； ② DE BE ∵△ ≌△ ， ED= EB ∴∠ ∠ ， DE+ ED=90° ∵∠ ∠ ， ED+ EB=90° ∴∠ ∠ ， DE=90° ∴∠ ， E DE ∴⊥ ； 故②正确； ③ BDE= DB+ DE ∵∠ ∠ ∠ ，∠FE= D+ ED ∠ ∠ ， BDE= FE ∴∠ ∠ ， BED+ BEF= EF+ BEF=90° ∵∠ ∠ ∠ ∠ ， BED= EF ∴∠ ∠ ， 在△EF 和△BED 中， EF BED ∴△ ≌△ （S）， BD=F ∴ ； 故③正确； ④ D=B ∵ ，BD=F， D=DF ∴ ， D B ∵⊥， FD ∴△ 是等腰直角三角形， DE E ∵ ⊥， EF=E ∴ ， S ∴△EF=S△E， EF BED ∵△ ≌△ ， S ∴△EF=S△BED， S ∴△BDE=S△E． 故④正确； 综上①②③④都正确，故选． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求 证△BFE DE ≌△ 是解题的关键． 7．如图，把ΔB 剪成三部分，边B，B，放在同一直线上，点都落在直线M 上，直线 M∥ B．在ΔB 中，若∠B=125°，则∠B 的度数为（ ） ．70° B．65° ．60° D．85° 【答】 【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点到B、、B 的距离相等，得出为三条角平 分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论． 【详解】如图1，过点作D⊥B 于D，E⊥于E，F⊥B 于F． ∵M∥B，∴D=E=F（平行线间的距离处处相等）． 如图2：过点作D'⊥B 于D'，作E'⊥于E'，作F'⊥B 于F'． 由题意可知：D=D'，E=E'，F=F'，∴D'=E'=F'，∴图2 中的点是三角形三个内角的平分线的 交点． ∵∠B=125°，∴∠B+∠B=180°－125°=55°，∴∠B+∠B=2×55°=110°，∴∠B=180°－110°=70°． 故选． 【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题 的关键是判断出D=E=F． 8．如图，⊥M， 点B 为射线M 上的一个动点，分别以B，B 为直角边，B 为直角 顶点，在M 两侧作等腰直角△BF､等腰直角△BE，连接EF 交M 于P 点，当点B 在射线M 上 移动时，PB 的长度为（ ） ． B．3 ． D．不能确定 【答】 【分析】过点E 作E BM ⊥ ，垂足为点，首先证明△B BE ≌△ ，得到B=E；进而证明 △BPF PE ≌△ ，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点E 作E BM ⊥ ，垂足为点； B= BE= BE=90° ∵∠ ∠ ∠ ， B+ B= B+ BE ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， B= BE ∴∠ ∠ ； BE ∵△ 、△BF 均为等腰直角三角形， B=BE ∴ ，BF=B； 在△B 与△BE 中， ， B BE ∴△≌△ （S）， B=E ∴ ，B=； B=BF ∵ ， BF=E ∴ ； 在△BPF 与△PE 中， ， BPF PE ∴△ ≌△ （S）， BP=P= ∴ B； 而B=， BP= ∴ = × ＝ ，为定值； 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定及其性质,解题的关键是作辅助 线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析、判断或解答． 9．如图，点 P 在∠M 的角平分线上，点 B ， 分别在 M，上，作 PR⊥M， PS⊥，垂足分 别是 R，S．若∠BP ∠P  180，则下面三个结论：① S  R；②P∥ B；③△BRP≌△SP ． 其中正确的是（ ） ．①② B．②③ ．①③ D．①②③ 【答】 【分析】利用角平分线的性质得到PR=PS，再利用L 证明△PR PS ≌△ ，得到S=R，可判断①； 再根据∠BP  P ∠ 180，得到∠BP= PS ∠ ，再利用S 证明△BRP SP ≌△ 可判断③；再说明若要 P∥ B，则需要说明=P，无法达成，从而可判断② 【详解】解：∵点 P 在∠M 的角平分上，PR M ⊥ ， PS⊥， PR=PS ∴ ， RP= SP=90° ∵∠ ∠ ， ∴在Rt PR △ 和Rt PS △ 中， ， PR PS ∴△ ≌△ （L）， S=R ∴ ，故①正确； BP ∵∠  P ∠ 180， BP= PS ∴∠ ∠ ， 又∵PR=PS，∠PRB= PS=90° ∠ ， BRP SP ∴△ ≌△ （S），故③正确； 若∠MP= P ∠，则P B ∥， 则需要=P 得出∠P= P ∠， 从而根据∠MP= P ∠， 得出∠MP= P ∠， 而题中没有条件说明=P，故②错误； 故选：． 【点睛】本题考查三角形全等的性质和线段平行条件．辅助线是解决本题的关键． 10．如图， ， ，P 是射线 上的一个动点，连接 ，以为直角顶点向右 作等腰直角 ，在 上取一点，使 ，当P 在射线 上自向D 运动时， 长度的变化（ ） ．一直增大 B．一直减小 ．先增大后减小 D．保持不变 【答】D 【分析】过点 作 于 ， 于 ，先证明 ，得 ， ，利用等量代换即可求解． 【详解】解：过点 作 于 ， 于 ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的长度保持不变，故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关 键是构造全等三角形进行求解． 二、填空题 11．在矩形BD 中，连结，点E 从点B 出发，以每秒1 个单位的速度沿着B→→的路径运动， 运动时间为t（秒）．过点E 作EF B ⊥于点F，在矩形BD 的内部作正方形EFG．当B＝3，B ＝4 时，若直线将矩形BD 的面积分成1：3 两部分，t 的值为 ． 【答】 或 或 或6． 【分析】分三种情况分别求解：①如图1，设直线交B 于M，当BM＝M＝2 时，直线将矩 形BD 的面积分成1：3 两部分．②如图2，设直线长交D 于M 交B 的延长线于K，当M＝ DM 时，直线将矩形BD 的面积分成1：3 两部分，③如图3，当点E 在线段上时，设直线交 D 于M，交B 的延长线于．当M＝DM 时，直线将矩形BD 的面积分成1：3 两部分． 【详解】解：如图1，设直线交B 于M，当BM＝M＝2 时，直线将矩形BD 的面积分成1： 3 两部分． E BM ∵∥ ， ∴ ， ∴ ， t ∴＝ ． 如图2，设直线长交D 于M 交B 的延长线于K，当M＝DM 时，直线将矩形BD 的面积分成 1：3 两部分， D ∵∠＝∠MK＝90°，∠MD＝∠KM， DM KM ∴△ ≌△ （S）， D ∴＝K＝4， E BK ∵∥ ， ∴ ， ∴ ， t ∴＝ ． 如图3，当点E 在线段上时，设直线交D 于M，交B 的延长线于．当M＝DM 时，直线将矩 形BD 的面积分成1：3 两部分， D ∵∠＝∠M＝90°，∠MD＝∠M， DM M ∴△ ≌△ （S）， D ∴＝＝4． 在Rt B △中，＝ ＝5， EF B ∵ ∥， ∴ ， ∴ ， EF ∴ ＝ （8 t ﹣）， E ∵∥， ∴ ， ∴ ， 解得t＝ ． 如图4，当E 点上，且正方形EFG 在的左边时， 由 ， ∴ ， 解得t＝6． 综上所述，满足条件的t 的值 或 或 或6． 故答为： 或 或 或6． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质、矩形的性质、 平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的数学思想，属于中考压轴 题． 12．如图，在 中， ， ， ，点P，Q 分别是边B，B 上的 一个动点，点P 从 以每秒3 个单位长度的速度运动，同时点Q 从 以每秒 1 个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动 过程中，设运动时间为t 秒，若 为直角三角形，则t 的值为 ． 【答】 或 或 【分析】先利用直角三角形的性质可得 ， ，再根据点P，Q 的运动 路径和速度求出的取值范围为 ，然后分 和 两种情况，分 别利用直角三角形的性质求解即可得出答． 【详解】解： 在 中， ， ， ， ， ， 点 从点 运动到点 所需时间为 （秒），最后返回到点 所需时间为 （秒）； 点 从点 运动到点 所需时间为 （秒）， 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ， 由题意，分以下两种情况： （1）如图，当 时， 为直角三角形， ①当 时， ， ， ， ， 在 中， ，即 ， 解得 ，符合题设； ②当 时， ， 在 中， ，即 ， 解得 ，不符题设，舍去； （2）如图，当 时， 为直角三角形， ①当 时， ， ， ， ， 在 中， ，即 ， 解得 ，符合题设； ②当 时， ， 在 中， ，即 ， 解得 ，符合题设； 综上，的值是 或 或 ， 故答为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了含 角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点， 正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键． 13．在四边形 中， 与 的角平分线交于点 ， ，过点 作 交 于点 ， ， ，连接 ， ，则 ． 【答】4 【分析】根据∠DE 的度数以及角平分线的定义算出∠+ B=230° ∠ ，再结合D BF ∥，得出 ∠BF=50°，利用 算出∠BF=90°，最后根据 和 算出结果 【详解】解：∵ ， ED+ ED=180°-115°=65° ∴∠ ∠ ， 又∵ 与 的角平分线交于点 ， D+ BD=65°×2=130° ∴∠ ∠ ， + B=360°-130°=230° ∴∠∠ ， D BF ∵∥ ， + BF=180° ∴∠∠ ， BF=230°-180°=50° ∴∠ ， ∵ ， BE=40° ∴∠ ， BF=90° ∴∠ ， ∵ ，BF＞0， ∴ ， 解得：x=2， 即E=2×2=4 故答为：4 【点睛】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义， 有一定难度，解答本题的关键是通过角的运算得到∠BF=90° 14．P 是△B 内一点，∠PB＝30°，∠PB＝8°，且∠PB＝∠P＝22°，则∠P 的度数为 ． 【答】142° 【分析】在的延长线上截取F=B，连BF，PF，延长P 交B 于D，交BF 于E，证得 △PB PF ≌△ ，则P 为BF 的垂直平分线，由∠PB=8°可得∠BF=30°= BP ∠ ，∠BFP=60°= BPF ∠ ，可 得B 平分PF，进一步可求出∠P 的度数． 【详解】在的延长线上截取F＝B，连BF，PF，延长P 交B 于D，交BF 于E， 在△PB 和△PF 中， ， ∴△PB≌△PF（SS）， ∴B＝F，PB＝PF，∠FP＝∠BP＝8°， ∴P 垂直平分BF，∠BPE＝∠BP+∠BP＝30°°，∠FPE＝∠P+∠FP＝30° EP= FEP=90° ∴∠ ∠ ， PBF= PFB=60° ∴∠ ∠ ∵∠PB＝30° ∴∠BF＝30°＝∠PB，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°， ∴三角形BPF 是等边三角形，B 平分∠PBF ∴B 垂直平分PF P=PF ∴ ∴∠PF＝∠FP＝8° ∴∠DP＝38° ∴∠P＝142°； 故答为：142°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的 关键是作辅助线，证明△PB PF ≌△ ． 15．如图，已知点是△B 的角平分线的交点．若B＋B＝，设∠B＝α，则∠B＝ （用含α 的式子表示） 【答】 【分析】在上截取D=B，易证△B D ≌△，所以B=D，由B＋B＝，可得D=D， 设∠D=β，则∠D= B=2β ∠ ，然后用三角形内角和可推出β 与α 的关系，进而求得∠B 【详解】解：如图所示，在上截取D=B，连接D， 点是△B 的角平分线的交点 所以有∠B= D ∠，∠B= B ∠，∠= B ∠， 在△B 和△D 中， B D ∴△≌△（SS） D=B ∴ 又∵B＋B＝，B+D= D=D ∴ D= D ∴∠ ∠ 设∠D= D=β ∠ 则∠B= D=2 D=2β ∠ ∠ 在△B 中， B+2 B+2 D=180° ∠ ∠ ∠ ，即 ， ∴ 在△B 中， 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全 等三角形是解题的关键 16．如图，把△B 纸片沿M 折叠，使点落在四边形BM 的内部时，则∠1、∠2 和 ∠之间有一 种数量关系始终保持不变 这个关系是 【答】2 = 1+ 2 ∠∠ ∠ 【分析】根据三角形内角和定理得出∠′=180°- M- M ∠′ ∠′ ，再由图形翻折变换的性质即可得 出结论． 【详解】解：在△′M 中， + M+ M=180° ∵∠′ ∠′ ∠′ ， =180°- M- M ∴∠′ ∠′ ∠′ ， 由折叠的性质得：∠1+2 M=180° ∠′ ，∠2+2 M=180° ∠′ ， 1+2 M+ 2+2 M=360° ∴∠ ∠′ ∠ ∠′ ，∠=∠′， 1+ 2=360°-2 M-2 M=2 ∴∠ ∠ ∠′ ∠′ （180°