期中测试压轴题考点训练（1-3章）（解析版） (1)

期中测试压轴题考点训练（1-3 章） 一、单选题 1．在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，若 平分 ， 轴， 轴，且 ，则 的值为（ ） ．9 B． ． D． 【答】D 【分析】由题意可知 在一、三象限或二、四象限的平分线上即 ，则有 或 （不合题意，舍去）， 在第一象限，结合 轴得 即可求解． 【详解】解：由题意可知， 平分 ， 轴， 轴，且 ， 可知 在一、三象限或二、四象限的平分线上， ， 即 或 （不合题意，舍去）， 解得： ， ， 故： 在第一象限， 轴， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标系内点的特点；解题的关键是结合题意得到 在一、三象 限或二、四象限的平分线上，从而求解． 2．如图有一圆柱，高为8m，底面直径为4m，在圆柱下底面点有一只蚂蚁，它想吃上底面 与相对的B 点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取 )( ) ．10m B．12m ．14m D．20m 【答】 【分析】首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得B 最短，由勾股定理即可 求得需要爬行的最短路程． 【详解】将此圆柱展成平面图得： ∵圆柱的高等于8m，底面直径等于4m（π=3）， =8m ∴ ，B= = 4π=6(m) B= ∴ =10（m）． 答：它需要爬行的最短路程为10m． 故选 【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段 最短，运用勾股定理解答是解题关键． 3．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5 和2 ，则斜边长为（ ） ．10 B．4 ． D．2 【答】D 【分析】根据已知设＝x，B＝y，在Rt D △ 和Rt BE △ 中，根据勾股定理分别列等式，从而求 得，B 的长，最后根据勾股定理即可求得B 的长． 【详解】如图，在△B 中，∠＝90°，D、BE 为△B 的两条中线，且D＝2 ，BE＝5，求B 的 长． 设＝x，B＝y， 根据勾股定理得： 在Rt D △ 中，x2+（ y）2＝（2 ）2， 在Rt BE △ 中，（ x）2+y2＝52，解之得，x＝6，y＝4， ∴在Rt B △中， ， 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理 求第三条边的长度 4．化简二次根式 的结果是（ ） ． B．－ ． D．－ 【答】B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性 质进行化简即可 【详解】 ， 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判 断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号． 5．如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x 轴∥l1，y 轴∥l2，若点的坐标为 (-1，2)，点B 的坐标为(2，-1)，则点在( ) ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】 【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答． 【详解】解：∵点的坐标为 ，点B 的坐标为 ，依题意可画出直角坐标系， ∴点位于第四象限，点B 位于第二象限，∴点位于第三象限．故选：． 【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观， 应用“数形结合”的数学思想是解题的关键． 6．设，b 是实数，定义一种新运算： ．下面有四个推断： ① ，② ，③ ，④ ， 其中所有正确推断的序号是（ ） ．①②③④ B．①③④ ．①③ D．①② 【答】 【分析】各式利用题中的新定义判断即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： ①∵ ， ， ∴ ，故正确； ②∵ ， ， ∴ ，故错误； ③∵ ， ， ∴ ，故正确； ④∵ ， ， ∴ ，故错误． 综上，正确的是①③． 故选：． 【点睛】本题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关 键． 7．如图，四边形BD 中，⊥BD 于，B＝3，B＝4，D＝5，则D 的长为（ ） ．1 B．3 ．4 D．2 【答】B 【分析】设＝，B＝b，＝，D＝d，根据勾股定理求出2+b2＝B2＝9，2+b2＝B2＝16，2+d2＝D2 ＝25，即可证得2+d2＝18，由此得到答 【详解】设＝，B＝b，＝，D＝d， 由勾股定理得，2+b2＝B2＝9，2+b2＝B2＝16，2+d2＝D2＝25， 则2+b2+2+b2+2+d2＝50， ∴2+d2+2（b2+2）＝50， ∴2+d2＝50 16×2 ﹣ ＝18， D ∴＝ ， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定 理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边 8．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向 右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1 次移动到1，第 2 次移动到2，…第次移动到．则△62020的面积是（ ） ．505m2 B．5045 m2 ．5055m2 D．1010 m2 【答】 【分析】由题意结合图形可得4＝2，由2020÷4＝505，推出2020＝2020÷2＝1010，6到x 轴距 离为1，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意知4＝2， 2020÷4 ∵ ＝505， ∴2020＝2020÷2＝1010，6到x 轴距离为1， 则△62020的面积是 ×1010×1＝505（m2）． 故选：． 【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，发现图形得出下标为4 的倍数时对应长度即 为下标的一半是解题的关键． 9．如图，四边形BD，∠D= =90° ∠ ，D=2，点E 在边B，且D=E，BE=B，则E•BE 的值为（ ） ． B．1 ． D． 【答】B 【分析】过作F⊥B 于F，推出四边形FD 是矩形，得到F=D=2，F=D，设D=E=x， BE=B=y，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作F⊥B 于F， ∵∠D= =90° ∠ ，∴四边形FD 是矩形，∴F=D=2，F=D， 设D=E=x，BE=B=y，∴B=x+y，BF=y-x， ∵B2=F2+BF2，∴（x+y）2=（y-x）2+22，∴xy=1，∴E•BE=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是 解题的关键． 10．在平面直角坐标系xy 中，点（0，2），B（，0），（m，），其中m＞，＜1，＞0， 若△B 是等腰直角三角形，且B＝B，则m 的取值范围是（ ） ．0＜m＜2 B．2＜m＜3 ．m＜3 D．m＞3 【答】B 【分析】过点作D⊥x 轴于D，由“S”可证△B≌△BD，可得＝BD＝2，B＝D＝＝，即可求 解． 【详解】解：如图，过点作D⊥x 轴于D， ∵点（0，2）， ∴＝2， ∵△B 是等腰直角三角形，且B＝B， ∴∠B＝90°＝∠B＝∠BD， ∴∠B+∠BD＝90° ∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BD， 在△B 和△BD 中， ， ∴△B≌△BD（S）， ∴＝BD＝2，B＝D＝＝， 0 ∴＜＜1， ∵D＝B+BD＝2+＝m， 2 ∴＜m＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、不等式和坐标等 知识，解题关键是树立数形结合思想，把坐标与线段长联系起来，确定取值范围． 二、填空题 11．x 为任何实数，则 的最小值是 【答】5 【分析】首先构造直角三角形，根据 的最小值即为线段 P 和线段 PD 长度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可 【详解】作线段B=3，分别过点、B，作⊥B，DB B ⊥，使得=1，BD=3， 在B 上取一点P，可设P=x，BP=3-x， 的最小值即为线段 P 和线段 PD 长度之和的最小值， 作点对称点′，连接′D，过′点作′E DB ⊥ ，交于点E， =BE=1 ∵ ，DB=3，B= E=3 ′ ， DE=4 ∴ ， D= ′ =5， ∴最小值为5． 故答为5． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以 及勾股定理得出是解题关键． 12．如图，已知 ， ，第四象限的点 到 轴的距离为，若 ， 满足 ，则 点坐标为 ； 与 轴的交点坐标为 ． 【答】 【分析】根据 和二次根式有意义的条件，得到的值，再 根据第四象限的点 到 轴的距离为得到点的坐标；再把B 直线方程求解出来，即 可得到答． 【详解】解：∵ ， 根据二次根式的定义得到： ， =2 ∴ ， ∴ 并且 ， 即 ， ∴ ， 又∵第四象限的点 到 轴的距离为， ∴ ， 故 点坐标为 ， 又∵ ， ∴B 点坐标为 ， 点坐标为 ， 设B 直线方程为：y=kx+b， 把B、代入直线方程得到 ， 当x=0 时， ， 故 与 轴的交点坐标为 ． 故答为： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，解题的关键是正确 求解的值和m 的值，解题时应灵活运用所学知识． 13．如图，长方形 中， ， ，点 为射线 上的一个动点， 若 与 关于直线 对称，若 为直角三角形，则 的长为 ． 【答】2 或18 【分析】分点 在线段 上，点 在线段 的延长线上两种情况讨论，由题意可得 ， ， ， ，根据勾股定理和全等三角形的性质，可 求 的长． 【详解】解：若点 在线段 上， 若 与△ 关于直线 对称， ， ， ， △ 为直角三角形， ， ， ， ， ， 点 ，点 ，点 共线， 在 中， ． ， ， 若点 在线段 的延长线上，且点 在 上， 若 与△ 关于直线 对称， ， ， 在 △ 中， ， ， ， ，且 ， ， △ ， ， ， 故答为：2 或18． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质， 熟练运用这些性质解决问题是本题的关键 14．已知 ，则 ． 【答】3 【详解】设 ，则 可化为： ， ∴ ， 两边同时平方得： ，即： ，∴ ，解得： ， ∴ 故答为 点睛：本题的解题要点是：设原式中的 ，从而使原式结构变得简单，这样应用二 次根式的相关运算法则化简变形即可求得 的值，使问题得到解决 15．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形， 且B 与D 是其中的两条线段（如图），则x 可取值得个数共有 个． 【答】6 【分析】首先过B 作BE D ∥ 交D 的延长线于E，根据题意即可得BE＝D，DE＝B，∠E＝90°， 可得B 是最长边，长为9 或x，然后由勾股定理可得B2＝（D+DE）2+BE2＝（D+B）2+D2，， 然后分别从B＝x，D＝9 或5 或1；B＝9，D＝x 或5 或1 去分析求解，即可求得答． 【详解】解：过B 作BE D ∥ 交D 的延长线于E， 根据题意得：BE＝D，DE＝B，∠E＝90°， B ∴ 2＝（D+DE）2+BE2＝（D+B）2+D2， D ∵∠＝∠＝90°， B ∴是最长边，长为9 或x， 若B＝x，D＝9，则x 3 ； 若B＝x，D＝5，则x 5 ； 若B＝x，D＝1，则x ； 若B＝9，D＝x，则x 3 ； 若B＝9，D＝5，则x 1＝2 1； 若B＝9，D＝1，则x 5＝4 5． 故答为6． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用的知识，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想 与分类讨论思想的应用，不要漏掉． 16．如图，已知△B 中，∠B＝90°，B＝B，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上， 且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则的长是 ； 【答】 【分析】首先作D l ⊥3于D,作E l ⊥3于E,再证明△BD BE ≌△ ，因此可得BE=D=3，再结合勾股定 理可得的长 【详解】作D l ⊥3于D,作E l ⊥3于E, B=90°, BD+ BE=90°, ∵∠ ∴∠ ∠ 又∠DB+ BD=90°, ∠ BD= BE, ∴∠ ∠ 又B=B, DB= BE ∠ ∠ BD BE,∴BE=D=3, ∴ ∴ △ △ ≌ 在Rt△BE 中,根据勾股定理,得B= , 在Rt△B 中,根据勾股定理, 得= 故答为 【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是 固定的解法，一定要熟练掌握 17．如图，矩形 中， ， ，点 为 上一个动点，把 沿 折叠， 当点 的对应点 落在 的角平分线上时， 的长为 ． 【答】 或 【分析】连接 ，过 作 ，交 于点 ， 于点 ，作 交 于点 ，先利用勾股定理求出 ，再分两种情况利用勾股定理求出 ． 【详解】解：如图，连接 ，过 作 ，交 于点 ， 于点 ，作 交 于点 点 的对应点 落在 的角平分线上， ， 设 ，则 ， ， 又折叠图形可得 ， ，解得 或 ，即 或 ． 在 中，设 ， 当 时， ， ， ， ， 解得 ，即 ， 当 时， ， ， ， ，解得 ，即 ．故答为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相 等的． 18．如图， ， ，为线段 上一动点，将点绕点逆时针旋转60°得到 ， 连接 ，当 最小时，点D 的坐标为 ． 【答】 【分析】本题通过动点、D 的运动轨迹可以确定BD 的最小值，然后利用勾股定理、含30° 角的直角三角形、相似三角形等性质即可求解． 【详解】由于 ，故以为圆心， 长为半径作 ，连接 ，交 为 ，见 下图． ∵ ，即 ，又 ， ∴ ． 使点在x 轴上滑动，直到D 与D′重合， 此时点、点D、点B 在同一条直线上， 最短，如下图． 自作 ，垂足为G；自D 作 ，垂足为． 在直角三角形 中， ， ∴ ． 设 的半径 ，由已知 ， 为直角三角形， ∴ ， ， ∴ ． 在直角△B 与直角△GB 中， ， ∴ ． ∴ ，即 ， 解得： ． 设D 点的坐标为 ，则 ， ， 即 ， 解得： ． 由 得， ， 即： ， ∴ ． 因此，D 点的坐标为 ． 【点睛】本题考查最值问题、解直角三角形、相似三角形等相关知识点，利用相似三角形 的性质将已知量与未知量集中在一起是解题的关键． 19．如图，在等边△B 中，B＝6，＝2，∠B 的平分线交B 于点D，M 是D 上的动点，则 BM+M 的最小值是 ． 【答】2 【分析】通过作辅助线转化BM，M 的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：连接，与D 交于点M．则就是BM+M 的最小值．取B 中点E，连接DE，如 图所示： ∵等边△B 的边长为6，＝2， ∴B＝﹣＝6 2 ﹣＝4， ∴BE＝E＝＝2， 又∵D 是B 边上的中线， ∴DE 是△B 的中位线， ∴＝2DE，∥DE， 又∵为E 的中点， ∴M 为D 的中点， ∴M 是△DE 的中位线， ∴DE＝2M， ∴＝2DE＝4M， ∴M＝ ． 在直角△DM 中，D＝ B＝3，DM＝ D＝ ， ∴M＝ ， ∴＝ ． ∵BM+M＝， ∴BM+M 的最小值为2 ． 故答是：2 ． 【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用． 20．若 ， ，是实数，且 ，则 ． 【答】21 【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得 ， ，的值， 从而得到答． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ，∴ ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、 完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 21．如图，已知点 在 轴正半轴上，点 在 轴的正半轴上， 为等腰直角 三角形， 为斜边 上的中点若 ，则 【答】2 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得P 与B 的关系，根据垂线的性质，可得答 【详解】如图：作P⊥x 轴于点P，由余角的性质，得∠B=∠P， 在Rt B △和Rt P △中， ， Rt B Rt P △ △ ≌ （S）， P=B=b ∴ ，P==． 由线段的和差，得P=+P=+b，即点坐标是（+b，）， 由B（0，b），（+b，），D 是B 的中点，得D（ ， ）， ∴D= ∴ = ，∴+b=2 故答为2 【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性 质；③利用了线段中点的性质 22．如图中的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、 ⑤…，则第7 个直角三角形的斜边长为 【答】 【详解】如图，由题意根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合“勾 股定理”进行计算可得： 第1 个直角三角形的斜边长为2； 第2 个直角三角形的斜边长为 ； 第3 个直角三角形的斜边长为 ； 第4 个直角三角形的斜边长为 ； ……； 由此可知：若第1 个直角三角形的斜边长为 ，则第个直角三角形的斜边长为： ， ∴第7 个直角三角形的斜边长为： 故答为 点睛：本题的解题要点是：由已知确定第1 个直角三角形的斜边长为2 后，观察图形可知， 后面每一个直角三角形的斜边刚好是前一个直角三角形中与30°角相邻的直角边，由此即可 推得第个直角三角形的斜边为： 23．已知数轴上 ， 两点，且这两点间的距离为 ，若点 在数轴上表示的数为 ， 则点 表示的数为 ． 【答】 或 【分析】设点 表示的数为 ，由 、 两点之间的距离为 ，根据两点间的距离公式 列出方程 ，解方程即可． 【详解】解：设点 表示的数为 ，由题意，得 ， 则 ，或 ， 所以 或 ． 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键． 24．如图， 度， ， ，且 ，F 平分 交B 于F， 若 ， ，则线段D 的长为 ． 【答】 【分析】由“SS”可证 ≌ ， ≌ 可得 ， ， ， 由勾股定理可求EF 的长，即可求B 的长，由勾股定理可求D 的长． 【详解】解：如图，连接EF，过点作 于点G， ， ， 又 ， ， 在 和 中 ， ≌ ． ， ， ， ∴ ， ， ， ， 平分 ， ， 在 和 中 ， ≌ ． ． ． ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ 故答为 【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．如图，在 中， ，点 为 的中点，点 为 上一点，把 沿 折叠得到 ，连接 ．若 ，则 的长为 ． 【答】 【分析】过点作F DE ⊥ 于点