河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期中考试理科数学试题（原卷）

新乡市高二下学期期中考试 数学（理科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 复数 的共轭复数为（ ） A. 7＋i B. －7－i C. 7－i D. －7＋i 2. （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 矩形的长和宽分别为a，b，其对角线长为 ．将此结论类比到空间中，得到正确的对应结论为 （ ） A. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体积为abc B. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体对角线长为 C. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其表面积为 D. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体对角线长为 4. 已知函数 与 的部分图象如图所示，现推理得到下面四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中错误的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某高校食堂备有5 类不同的菜品，3 类不同的饮料，若要对这些菜品和饮料设计一个排序，要求饮料不 能相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 6. 若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ） A. 不可能为纯虚数 B. 在复平面内对应的点可能位于第二象限 C. 在复平面内对应的 点一定位于第三象限 D. 在复平面内对应的点可能位于第四象限 7. 展开式中的常数项为（ ） A. －70 B. －56 C. 56 D. 70 8. 已知 ，则 （ ） A. 224 B. C. D. 448 9. 观察下列各式： ， ， ，…．根据规律可得的 个位数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 第24 届冬奥会于2022 年2 月4 日在中国北京市和张家口市联合举行．甲、乙等5 名志愿者计划到高山 滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4 个比赛区从事志愿者活动，则下列说法错误的有（ ） A. 若短道速滑赛区必须安排2 人，其余各安排1 人，则有60 种不同的方案 B. 若每个比赛区至少安排1 人，则有240 种不同的方案 C. 安排这5 人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42 种不同的站法 D. 已知这5 人的身高各不相同，若安排5 人拍照，前排2 人，后排3 人，且后排3 人中身高最高的站中间， 则有40 种不同的站法 11. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 在△ABC 中，AC=AB=4， ，D，E 分别在AC，AB 边上，且 ．将△ABC 沿DE 折起 到 位置，使得平面PDE⊥平面BCDE，则当四棱锥 的体积取得最大值时，点A 到直线DE 的距离为（ ） A. B. C. D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1 张，一共可以组成的币值有______种． 14. 一个二元码是由0 和1 组成的数字串 ．（ ），其中 （k＝1，2，…，n）称为第k 位 码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0 变为1 或由1 变为 0）．已知某个二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中 的运算法则： ， ， ， ．若这个二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了 100101，则利用上述校验方程组可判定，这个二元码为______． 15. 若 存在，则称 为二元函数 在点 处对x 的偏导数，记为 ．已知二元函数 ，则 ______， 的最小值为______． 16. 如图，一花坛分成1，2，3，4，5 五个区域，现有4 种不同的花供选种，要求在每个1 区域里面种1 种 花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______． 三、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 ． （1）求z 的虚部； （2）求 ． 19. 已知函数 ． （1）若曲线 切线的斜率为－9，求切点的坐标； （2）求 在区间 上的最大值与最小值． 21. （1）若 ，求 ； （2）证明 ，并求 的值． 22. 已知函数 ． （1）若直线 与曲线 在 上有公共点，求a 的取值范围． （2）当 时，试问曲线 是否存在过坐标原点的切线？若存在，求该切线的方程；若不存在， 请说明理由． 24. 在数列 中， ，且 ． （1）求 ， ， ， ，并猜想 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的 猜想． 26. 已知函数 ． （1）若函数 ，讨论 的单调性． （2）若函数 ，证明： ．