河南省中原名校2021-2022学年高二下学期第二次联考理科数学试题

河南省中原名校2021-2022 学年高二下学期第二次联考联 考 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试时间120 分钟，分数150 分。 一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分） 1. 若是 真命题， 是假命题，则 A. 是真命题 B. 是假命题 C. 是真命题 D. 是真命题 2. 已知抛物线准线方程为 ，则其标准方程为（ ） A. B. C D. 3. 已知正方体 中，E，F 分别是它们所在线段的中点，则满足 平面 的图形个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 方程 表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆 ： 经过点 ， 且 的离心率为 ， 则 的方程 是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点M 是正方体ABCD-A1B1C1D1 的 棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC1所成角的余 弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则 8. 已知F1 （-c， 0） ， F2 （c， 0） 为椭圆 的两个焦点， P 为椭圆上一点且 =c2， 则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线与双曲线交于 两 点， 为坐标原点，若 的面积为 ，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 10. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示， 平面四边形 中， ， ， ， 将其沿 对角线 折成四面体 ， 使平面 平面 ， 则下列说法中不正确的是 （ ） A. 平面 平面 B. C. 平面 平面 D. 平面 12. 设抛物线 的 焦点为 ， 为抛物线上的两个动点，且满足 ， 过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ， 垂足为 ， 则 的最大值 为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4 小题，共20 分） 13．已知向量 ，且 ，则实数 ________________． 14．经过点 且与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程为_________． 15．函数 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______． 16．已知函数 是函数 的导函数, ,对任意实数 都有 , 则不等式 的解集为___________. 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题10 分） （1）请用分析法证明： ； （2）请用反证法证明：设 ， ，则 与 中至少有一个不小于2． 18．（本小题12 分）已知函数 ． （1）求函数 的单调区间． （2）若 对 恒成立，求实数的取值范围. 19． （本小题12 分） 甲、 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球， 命中率分别为 与 ，且乙投球2 次均未命中的概率为 . （Ⅰ）求乙投球的命中率 ； （Ⅱ）若甲投球1 次，乙投球2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望. 20． （本小题12 分） 为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同 的教学方式在甲、 乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级 中各随机抽取20 名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70 分为“成绩 优良”. (1)由以上统计数据填写下面2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认 为“成绩优良与教学方式有关”? 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 (2)从甲、乙两班40 个样本中,成绩在60 分以下(不含60 分)的学生中任意选取2 人,记ξ 为所抽取的2 人中来自乙班的人数,求ξ 的分布列及数学期望. 附:K2= (n=a+b+c+d), P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 21． （本小题12 分） 近年来， 共享单车进驻城市， 绿色出行引领时尚． 某公司计划对未开通共 享单车的 县城进行车辆投放， 为了确定车辆投放量， 对过去在其他县城的投放量情况以及 年使用人次进行了统计， 得到了投放量（单位： 千辆） 与年使用人次（单位： 千次） 的数据如 下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． （1） 观察散点图， 可知两个变量不具有线性相关关系， 拟用对数函数模型 或指 数函数模型 对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为 投放量与年使用人次的回归方程类型 （给出判断即可， 不必说明理由） ， 并求出关于的 回归方程； （2） 已知每辆单车的购入成本为 元， 年调度费以及维修等的使用成本为每人次 元， 按 用户每使用一次，收费元计算，若投入 辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据： 140 其中 ， ． 参考公式： 对于一组数据 ， ， …， ， 其回归直线 的斜率和截 距的最小二乘估计公式分别为 ， ． 22．已知函数 ， . （1）求函数 的单调区间； （2）若 ，且 ，证明： . 理科数学答案 1-12 DCBBA ADCBC DC 13. 2 14. 15. 16. 17．证明：（1）要证： 只需证： 只需证： 只需证： 只需证： 只需证： ，而 显然成立， ∴原不等式得证． （2）假设结论不成立，即 与 都小于2，则 ① 而由基本不等式，知： ， ，当且仅当 时等号成立， ∴ 与①式矛盾， ∴假设不成立，原命题成立． 18．（1）令 ，解得 或 ， 令 ，解得： . 故函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 . （2）由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， ， ∴ ， ∵ 对 恒成立， ∴ ，即 ，∴ 19．（I）设“甲投球一次命中”为事件 ，“乙投球一次命中”为事件 . 由题意得 解得 或 （舍去） ， 所以乙投球的命中率为 . （II）由题设知（I）知 ， ， ， ， 可能取值为 故 ， ， 的分布列为 20.(1)根据茎叶图中的数据作出 列联表如表所示： 甲班 乙班 总计 成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 根据 列联表中的数据,得 的观测值为 , 所以能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)样本中成绩在60 分以下的学生中甲班有4 人,乙班有2 人, 所以的所有可能取值为 , 则 = ， , = , 则随机变量的分布列为： 0 1 2 P 则数学期望 . 21．（1）由散点图判断， 适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由 ，两边同时取常用对数得 ． 设 ，则 ． 因为 ， ， ， ， 所以 ． 把 代入 ，得 ， 所以 ，所以 ， 则 ， 故关于的回归方程为 ． （2）投入千辆单车，则年使用人次为 千人次， 每年的收益为 （千元）， 总投资 千元， 假设需要年开始盈利，则 ，即 ，故需要年才能开始盈利． 22（1） ， ， 由 得 ， 当 时， ；当 时 ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）∵ ，且 ， ∴由（1）知，不妨设 . 要证 ，只需证明 ， 而 ， 在 上单调递减， 故只需证明 . 又 ，∴只需证明 . 令函数 ， 则 ， 当 时， ， ，故 ， ∴ 在 上单调递增， 故在 上 ， ∴ 成立，故 成立.