河南省新乡市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

（北京）股份有限公司 2022~2023 学年新乡市高一期中（下）测试数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册､必修第二册第六章至第七章. 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 ，则 的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 3.已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 4.已知 外接圆的周长为 ，则 （ ） A.4 B.2 C. D. 5.在正 中，向量 在 上的投影向量为（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 6.已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A.3 B.1 C.9 D. 7.在 中，内角 的对边分别为 ，则 的形状一定为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 8.若函数 的两个零点分别为 ，其中 ，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题本题共4 小题，每个小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.已知复数 满足 ，则下列正确的是（ ） A. B. 是纯虚数 C.复数 在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数 在复平面内对应的点在角 的终边上，则 10.已知函数 的最小正周期为 ，则（ ） A. （北京）股份有限公司 B. 的图象经过点 C. 的定义域为 D.不等式 的解集为 11.在平行四边形 中， 与 交于点 ，设 ，则（ ） A. B. C. D. 12.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为 （其中常数 是距震中100 公里处接收到的0 级地震的地震波的最大振幅， 是指我们关注 的这次地震在距震中100 公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量 （单位：焦耳）是指当地震发生 时，以地震波的形式放出的能量.已知 ，其中 为地震震级.下列说法正确的是（ ） A.若地震震级 增加2 级，则最大振幅 增加到原来的20 倍 B.若地震震级 增加2 级，则放出的能量 增加到原来的1000 倍 C.若最大振幅 增加到原来的100 倍，则放出的能量 增加到原来的1000 倍 D.若最大振幅 增加到原来的100 倍，则放出的能量 增加到原来的100 倍 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知复数 满足 ，则 __________. 14.已知 ，则 __________. 15.位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300 多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔 （北京）股份有限公司 增添了诸多神秘色彩.双塔山无法樊登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离.如图，在与两座山峰､山脚 同一水平面处选一点 ，从 处看塔尖 的仰角是 ，看塔尖 的仰角是 ，又测量得 ， 若塔尖 到山脚底部 的距离为 米，塔尖 到山脚底部 的距离为 米，则两塔塔尖之间的距 离为__________米. 16.已知函数 且 有且仅有3 个零点，则 的取值范围为_____ _____. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 设 是两个不共线的向量. （1）若 ，求 ； （2）若 ，求 的值. 18.（12 分） 已知复数 是方程 的一个复数根，且 的虚部大于零. （1）求 ； （2）若 为虚数单位），求 . 19.（12 分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 . （1）求角 的大小； （北京）股份有限公司 （2）若角 的角平分线 与 交于点 ，求 的面积. 20.（12 分） 已知函数 的部分图象如图所示. （1）求 的解析式. （2）先将 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，得到 函数 的图象.当 时，求 的值域. 21.（12 分） 为了响应国家改善民生､给老百姓创造更好的生活环境的号召，某地的南湖公园准备再建一个花坛，种植花卉 以供老百姓观赏.花坛的设计图如图所示， 与 的长均为20 米， . （1）如果 ，求 的长； （2）新建花坛的周长的最大值是多少？ 22.（12 分） 已知函数 . （北京）股份有限公司 （1）判断 在 上的单调性，并说明理由； （2）若 对 恒成立，求 的取值范围. 2022~2023 学年新乡市高一期中（下）测试 数学参考答案 1.B 由 ，解得 ，即 ，又因为 ，所以 . 2.B ，则 的共轭复数 . 3.D ，且 ，所以 ，所以 . 4.B 因为 外接圆的周长为 ，所以 外接圆的半径为2，则根据正弦定理可得 ，解得 . 5.B 在 上的投影向量为 . 6.B 因为 ，所以 .由题意得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 7.B 在 中， ，则 ，由正弦定理可得 （北京）股份有限公司 ，即（ ，因为 ，所以 ，则 的形状 一定为等腰三角形. 8.C 令 ，得 ， 作出函数 和 的大致图象，如图所示， 因为 有两个零点，所以这两个函数的图象有两个交点，其交点的 横坐标分别为 ，由 ，可得 ， 因为由图可得 ，所以 ， 即 ，所以 . 9.AB 正确； ，为纯虚数，B 正确； ，其在复平面 内对应的点为 ，在第一象限，C 错误； 错误. 10.BCD 由 ，解得 .因为 ，所以 的图象经过点 .令 ，得 ，即 的定义域为 .令 ，则 ，所以 （北京）股份有限公司 ，得 ，即不等式 的解集为 . 11.AC 在平行四边形 中， ，所以 ，则 ，A 正确，B 错误.设 与 交于点 ， 则在平行四边形 中， 与 相似，所以 ，则 ，即 ，因为 三点共线， 三点共线，设 ，则 ，即 ，所以 ，C 正确，D 错误. 12.BC 因为 ，所以 ，故A 错误； 因为 ，所以B 正确； 因为 ，所以 ， 所以C 正确，D 错误. 13. 由题意可得 ，则 . （北京）股份有限公司 14. 因为 ，所以 ，得 ，则 ，所以 . 15.20 在Rt 中， 米， ，则 米.同理，在Rt 中， 米，在 中， 米， 米， ，由余弦定理，得 米 16. 当 时， 在 上没有零点，则 在 上有且仅有3 个零点.由 ，可得 ，所以 ，即 .当 时， 在 上恰有1 个零点，故 在 上有且仅有2 个零点， ，即 .故 的取值范围为 . 17.解：（1）因为 ，所以 . （2）因为 ，所以设 ， 即 ， 则 ， 即 ， （北京）股份有限公司 解得 . 18.解：（1）由 ，即 ， 可得 ，解得 ， 因为 的虚部大于零，所以 . （2）由（1）知 ， 因为 ，所以 ， 则 ， 解得 ， 所以 . 19.解：（1）因为 ， 所以根据正弦定理可得 ，即 ， 由余弦定理可得 因为 ，所以 . （2）由三角形的面积公式可得 ， 解得 ， 所以 的面积为 . 20.解：（1）根据图象可得 ， （北京）股份有限公司 ，则 ，因为 ，所以 . 将 代入 的解析式，得 ， 则 ， 得 . 因为 ，所以 ， 所以 . （2）由（1）知 ， 将 的图象向左平移 个单位长度得 ， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍， 得 的图象 因为 ，所以 ， 则 ， 所以 ， 故 在 上的值域为 . 21.解：（1）连接 ，因为 ，所以 是等边三角形， （北京）股份有限公司 所以 米， 在 中， ， 所以由正弦定理得 ， 即 ，所以 米. （2）在 中，设 ，由正弦定理得 ，即 ， 所以 米，同理 米， 所以 ， 因为 ，所以当 时， 取得最大值 ， 所以花坛周长的最大值为 米. 22.解：（1） 在 上单调递增. 因为 ，所以 . ， （北京）股份有限公司 因为 在 上单调递增， 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增. （2）因为 为偶函数且在 上单调递增， 所以由 ， 可得 ， 即 所以 ， 令 ，则 ， 所以 ， 所以 在 时恒成立，所以 . 令 ， 当 时， 取得最大值 ， 可得 ， 所以 且 ，即 且 ， 故 的取值范围为 . （北京）股份有限公司